Witamy ! Zapraszamy do obejrzenia prezentacji na temat : Twierdzenia matematyczne, o których warto pamiętać.

Pola figur płaskich

W naszym otoczeniu jest wiele figur płaskich W naszym otoczeniu jest wiele figur płaskich. Praktycznie wszystko, co nas otacza, składa się z figur płaskich. Wystarczy się tylko dobrze rozejrzeć.

KWADRAT Pole kwadratu możemy obliczyć z wzoru: P=a2 a

Pole prostokąta jest równe iloczynowi jego wymiarów. P=a*b

Trójkąt Znając długość boku trójkąta i wysokość opuszczoną na ten bok możemy obliczyć jego pole korzystając ze wzoru : P= a h b c .

Jeśli mamy podane boki trójkąta lecz nie znamy jego wysokości, to pole możemy obliczyć, że Wzoru Herona:

Równoległobok Pole równoległoboku obliczamy, mając daną długość boku i odpowiadającą mu wysokość. Wzór: P=a*h a b h .

Romb Pole rombu możemy obliczyć tak, jak pole równoległoboku : P=a*h Jeśli dane są przekątne rombu to pole możemy obliczyć w taki sposób P= h a . 1 ²

Trapez Obliczając pole trapezu musimy mieć dane długości podstaw oraz jego wysokość. Wzór: h a b .

Deltoid Obliczając pole deltoidu musimy mieć dane długości dwóch przekątnych. Wzór: P= d 1 2 .

Koło Pole koła jest równe: P=πr2 π- w przybliżeniu 3,14 r - promień koła r

A teraz kilka zadań, byś mógł sprawdzić swoją wiedzę oraz pamięć.

Zadanie 1 Narysuj kwadrat o boku równym 4 cm. Oblicz jego pole Zadanie 1 Narysuj kwadrat o boku równym 4 cm. Oblicz jego pole. Dane: Szukane: a= 6 cm P= ? 4cm P=a2 P=42 P=16 cm2 Odp : Pole kwadratu wynosi 16 cm2

Zadanie 2 Obwód kwadratu wynosi 64 cm Zadanie 2 Obwód kwadratu wynosi 64 cm. Oblicz ile wynosi bok tego kwadratu oraz ile wynosi jego pole. Dane : Szukane Ob= 64 cm P= ? a= ? Ob= 4*a a= 64/4 a=16 P=a2 P= 162 P=256 cm2 Odp: Bok tego kwadratu wynosi 16 cm ,a jego pole 256 cm2

Zadanie 3 Narysuj prostokąt którego boki wynoszą 5 cm i 6 cm Zadanie 3 Narysuj prostokąt którego boki wynoszą 5 cm i 6 cm. Oblicz jego pole. Dane: Szukane : a= 5 cm P= ? b= 6 cm 5cm 6cm P=a*b P=5*6 P=30 cm2 Odp: Pole tego prostokąta wynosi 30 cm2

Zadanie 4 Pole prostokąta wynosi 70 cm2. Jeden bok ma 7 cm Zadanie 4 Pole prostokąta wynosi 70 cm2 . Jeden bok ma 7 cm. Oblicz ile wynosi drugi bok tego prostokąta. Dane: Szukane: P= 70cm2 b= ? a= 7cm Sprawdzenie: P= a*b P=a*b 702 =7*b P=7*10 b=70/7 P=70 cm2 b=10cm Odp : Bok prostokąta wynosi 10 cm .

Odp : Pole tego trójkąta wynosi 20cm2 Zadanie 5 Podstawa trójkąta wynosi 4 cm, zaś wysokość opuszczona na tą podstawę ma 10 cm. Oblicz pole tego trójkąta i narysuj go. Dane : Szukane: a=4cm P = ? h=10cm P=1/2 a*h P=1/2*4*10 P=20cm2 Odp : Pole tego trójkąta wynosi 20cm2

Narysuj trójkąt o wymiarach a=6 cm, zaś h=10cm. Oblicz jego pole. Zadanie 6 Narysuj trójkąt o wymiarach a=6 cm, zaś h=10cm. Oblicz jego pole. Dane : Szukane: a=6cm P= ? h=10cm P=1/2 a*h P=1/2*6*10 P=30cm2 Odp: Pole tego trójkąta wynosi 30cm2

Oblicz pole równoległoboku, którego wymiary to a=6cm, h=7cm. Zadanie 7 Oblicz pole równoległoboku, którego wymiary to a=6cm, h=7cm. Dane: Szukane: a=6cm P= ? h=7cm P=a*h P=6*7 P=42cm2 Odp : Pole równoległoboku wynosi 42cm2

Zadanie 8 Oblicz pole równoległoboku którego wymiary to a=10cm i h=7 cm. Narysuj ten równoległobok. Dane: Szukane: a=10cm P = ? h=7cm P=a*h P=10*7 P=70cm2 Odp : Pole tego równoległoboku wynosi 70cm2

Wymiary rombu to a=10cm i h=7cm. Narysuj i oblicz pole tego rombu. Zadanie 9 Wymiary rombu to a=10cm i h=7cm. Narysuj i oblicz pole tego rombu. Dane: Szukane: a=10cm P= ? h=7cm P=a*h P=10*7 P=70cm2

Przekątne rombu wynoszą równo 7 i 9 cm. Oblicz pole tego rombu. Zadanie 10 Przekątne rombu wynoszą równo 7 i 9 cm. Oblicz pole tego rombu. Dane: Szukane: e=7cm P= ? f=9cm P=e*f/2 P=7*9/2 P=31,5 cm2 Odp : Pole rombu wynosi 31,5 cm2

Narysuj trapez o wymiarach a=6, b=10, h=12. a=6cm b=10cm h=12cm Zadanie 11 Narysuj trapez o wymiarach a=6, b=10, h=12. a=6cm b=10cm h=12cm

Przekątne deltoidu wynoszą 10 i 12 cm. Oblicz jego pole. Zadanie 12 Przekątne deltoidu wynoszą 10 i 12 cm. Oblicz jego pole. Dane: Szukane : e=10cm P = ? f=12cm P=e*f/2 P=10*12/2 P=60cm 2 Odp: Pole deltoidu wynosi 60cm 2

Zadanie 13 Pole deltoidu wynosi 30 cm2 zaś jedna z przekątnych 10 cm Zadanie 13 Pole deltoidu wynosi 30 cm2 zaś jedna z przekątnych 10 cm. Oblicz ile wynosi druga przekątna. Narysuj ten deltoid. Odpowiedz: P= 30 cm2 f=6 e=10cm Sprawdzenie: P=e*f/2 P=e*f/2=10*6/2 30=10*f/2 P=30 cm2 30=5*f f=30/5

Zadanie 14 Promień koła wynosi 10 cm. Narysuj te koło i oblicz ile wynosi jego pole. Dane: Szukane: r=10cm P= ? P=πr2 P102π P=100 π Odp: Pole koła wynosi 100 π

Zadanie 15 Obwód prostokąta wynosi 24 cm. Jeden z jego boków jest trzy razy większy od drugiego. Oblicz boki i pole tego prostokąta. Dane: Szukane: x-długość  jednego boku| 3 cm a= ? 3x-długość drugiego boku | 3cm *3=9 cm b= ? x+x+3x+3x = 24 8x=24 | :8 x=3 P= ?

P = 21 cm2 Odp :Boki tego prostokąta wynoszą 9 cm i 3 cm a pole 21 cm2 Zadanie 15 P = a * b P = 3 cm * 9 cm P = 21 cm2 Odp :Boki tego prostokąta wynoszą 9 cm i 3 cm a pole 21 cm2

Twierdzenie Pitagorasa

Pitagoras Pitagoras- matematyk i filozof grecki, żył w VI –V wieku p.n.e. Był założycielem słynnej szkoły pitagorejskiej, twórcą kierunku filozoficzno-religijnego nazywanego pitagoreizmem. Pitagorejczycy szczególnie znaczenie przypisywali liczbom. Ich mottem było : „wszystko jest liczbą”. Od pitagorejczyków pochodzi podział na liczby parzyste i nieparzyste. Opracowali również teorię wraz z twierdzeniem o sumie kątów trójkąta, czworokąta i wielokątów foremnych. Pitagorejczycy odkryli wiele właściwości liczb i można ich uznać za twórców początków teorii liczb. Oto słynne twierdzenie Pitagorasa :

Twierdzenie Pitagorasa TWIERDZENIE Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat długości przeciwprostokątnej c jest równy sumie kwadratów długości jego przyprostokątnych a i b.

Twierdzenie Pitagorasa Zadanie1 Oblicz długość przeciw prostokątnej trójkąta prostokątnego jeżeli długości jego przyprostokątnych są równe 15 cm i 20 cm Rozwiązanie :

Twierdzenie odwrotne do twierdzenie Pitagorasa Jeżeli kwadrat długości najdłuższego boku trójkąta jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, to ten trójkąt jest prostokątny.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenie Pitagorasa Zadanie 2 : Oblicz długość jednej przyprostokątnej jeżeli dana jest długość przeciw prostokątnej i długość drugiej przyprostokątnej : a = 13 cm , b = 12cm Rozwiązanie :

Twierdzenie odwrotne do twierdzenie Pitagorasa Zadanie3 Oblicz długość przekątnej kwadratu którego obwód jest równy 28 cm. Szukane: Rozwiązanie d= ? Ob. = 28 cm a = 28 cm : 4= 7 cm Korzystamy ze wzoru na przekątną kwadratu Odp : Przekątna kwadratu ma długość cm

Zadanie 4 : Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 10 cm

Rozwiązanie: korzystamy ze wzoru na długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a . _____ 6 6 __ ____

Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia Kwadrat sumy:

Wzory skróconego mnożenia Kwadrat różnicy:

Wzory skróconego mnożenia Różnica kwadratów:

W matematyce występują jeszcze inne wzory skróconego mnożenia, lecz wykorzystywane są one głównie w szkołach ponad gimnazjalnych.

Zadanie 1. Oblicz : (20+3) = 20 +2*20*3+3=400+120+9=529 (30-1) =30 -2*30*1+1=900-60+1=841 (30+2) =30 +2*30*2+2=900+120+4=1024 (20-1) =20 -2*20*1+1=400-40+1=361 Do wykonania tych zadań skorzystaliśmy z kwadratu sumy i kwadratu różnicy.

Zadanie 2. Dane iloczyny przekształć na sumy: a). (x-4) * (x+4)= x -4 b). (4x-2y) * (4x+2y)=4x -2y c). (3ax+b) * (3ax-b)=3ax -b

Zadanie 3. Dane sumy przekształć na iloczyny : a). 2 - a = (2-a)*(2+a) b). xz - 5 =(xz-5)*(xz+5) c). 7 – 4x =(7-4x)*(7+4x)

Przekształcanie wzorów

Aby przekształcić wzór należy, pomnożyć lub podzielić w zależności jaki stoi znak obustronnie wszystkie symbole. Równanie, które powstanie po pomnożeniu lub podzieleniu daje nam wzór, który jest nam potrzebny. Pamiętaj!! Zawsze mnożymy przez odwrotny znak niż stoi pomiędzy symbolami potrzebnymi do wyliczenia wzoru.

Przekształcanie wzorów Oto kilka przykładowych przekształceń wzorów. V= s: t | *t V* t= s Aby otrzymać wzór potrzebny do obliczenia s, należy: 1. Pomnożyć obustronnie przez t. 2. Po stronie gdzie znajduje się V powstaje potrzebne działanie, a po drugiej to co jest nam potrzebne.

Przekształcanie wzorów F= m * g | :g F : g= m Aby przekształcić ten wzór tak aby otrzymać m, należy: 1.Podzielić obustronnie przez g, gdyż we wzorze F= m *g jest mnożenie. 2. Powstaje nam potrzebny wzór na obliczenie m.

Przekształcanie wzorów a= V : t | *t a * t= V Aby obliczyć V z tego wzoru, należy: Pomnożyć obustronnie przez t, ponieważ w tym wzorze występuje dzielenie . Powstaje potrzebny wzór.

Przekształcanie wzorów p= F : S | * S p * S= F Aby przekształcić wzór tak, aby obliczyć F, należy: Pomnożyć obustronnie przez S. Powstały wzór służy do obliczenia F.

QUIZ 1.Kto sformułował twierdzenie o trójkątach prostokątnych ? : a) Pitagorasa b) Euklides c) Kartezjusz

Poprawna odpowiedź to a QUIZ Poprawna odpowiedź to a

QUIZ 2. Jaki jest wzór na pole równoległoboku ? : a) (a+b) :2 b) P = a+ b c) P=a*h

Poprawna odpowiedź to : c QUIZ Poprawna odpowiedź to : c

QUIZ 3.Wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów to : a) b) c)

Poprawna odpowiedz to : b QUIZ Poprawna odpowiedz to : b

QUIZ 4.Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa : a) 180° b) 360° c) 150°

Poprawna odpowiedź to a QUIZ Poprawna odpowiedź to a

QUIZ 5 .Obwód prostokąta wynosi 24 cm. Jeden z jego boków jest trzy razy większy od drugiego. Oblicz boki i pole tego prostokąta a) 3 cm b) 5 cm c ) 2 cm

Poprawna odpowiedź to a QUIZ Poprawna odpowiedź to a

QUIZ 6. Ile wynosi długość jednej przyprostokątnej jeżeli dana jest długość przeciw prostokątnej i długość drugiej przyprostokątnej : a = 13 cm , b = 12cm ? a) 10 cm c) 3 cm d) 5 cm

Poprawna odpowiedź to : c QUIZ Poprawna odpowiedź to : c

Źródła Podręcznik do matematyki „ Z Pitagorasem przez gimnazjum 2 ”

Autorzy Pracę wykonali: Anna Krajewska Andżelika Krajewska Kinga Kuskowska Kamil Jachymowski Dziękujemy.