Figury w układzie współrzędnych. ©M © M ©M

y = ax + b Ax + By + C = 0 Prosta a=tg 1.Postać kierunkowa współczynnik kierunkowy  a=tg 2.Postać ogólna Ax + By + C = 0 gdzie a2+b2 0 © M

Półpłaszczyzna Jeżeli krawędź półpłaszczyzny jest równoległa do jednej z osi to opisuje ją jedna z czterech nierówności. x y x y y  b x=a y = b x  a półpłaszczyzna domknięta półpłaszczyzna domknięta © M

x y x y y = b x = a x < a y < b półpłaszczyzna otwarta półpłaszczyzna otwarta !!! zwracaj zawsze uwagę na znak nierówności, jeżeli nierówność jest słaba ( lub  ) to półpłaszczyzna jest domknięta, natomiast nierówność mocna (< lub >) daje nam półpłaszczyznę otwartą. © M

x y x y y = x -1 y=3/4x+1 y  x-1 y < 3/4x+1 Prosta o równaniu Ax+By+C=0 jest wspólnym brzegiem dwóch półpłaszczyzn domkniętych. Jedną z tych półpłaszczyzn opisuje nierówność Ax +By +C  0, a drugą – nierówność Ax+By +C  0. Nierówności Ax + By + C < 0, Ax + By +C > 0 opisują półpłaszczyzny otwarte. y=3/4x+1 Aby zaznaczyć właściwą półpłaszczyznę najwygodniej sprowadzić prostą do postaci kierunkowej. © M

Jeśli chcemy opisać część wspólną pewnych podzbiorów płaszczyzny, możemy to zrobić za pomocą koniunkcji równań lub nierówności. Za pomocą alternatywy możemy opisać sumę zbiorów. przykłady x y x y y= -x+4 y =x+2 y  -x+4 y < x+2 y < - x+ 2 y< x+2 y  -1 y  -x + 4 y < x+2 y < - x+2 y < x+2 lub y  -1 © M

. . Okrąg (x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2 Równanie S(a,b) r . P(x,y) . Równanie (x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2 opisuje na płaszczyźnie kartezjańskiej okrąg o środku S(a ,b) i promieniu r. © M

x 2 + y 2 - 2ax - 2 by + c = 0 Równanie ogólne okręgu Przykład Znaleźć współrzędne środka i długość promienia okręgu danego wzorem x 2 – 4x + y 2 + 2y - 20 = 0 Sprowadzimy równanie do postaci (x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2 © M

Jest to równanie okręgu o środku S(2,-1) Dopełniamy w tym celu wyrażenia po lewej stronie równania do kwadratów. Do wyrażenia x2 – 4x trzeba dodać 4, by uzyskać (x -2 ) 2 . Z kolei do y2 +2 y należy dodać 1, by otrzymać (y + 1)2. Skoro do lewej strony równania dodaliśmy 4 i 1 to do prawej również musimy je dodać. x2 – 4x + 4 + y2 + 2 y +1- 20 = 4 + 1 (x – 2 ) 2 + ( y + 1) 2 = 5 + 20 (x – 2 ) 2 + ( y + 1) 2 = 25 Jest to równanie okręgu o środku S(2,-1) i promieniu 5. © M

.S(a,b) Koło (x - a) 2+(y - b) 2  r 2 Nierówność opisuje na płaszczyźnie kartezjańskiej koło o środku S(a,b) i promieniu r. © M

.S(a,b) (x - a) 2+(y - b) 2 > r 2 Nierówność opisuje na płaszczyźnie kartezjańskiej zbiór punktów leżących na zewnątrz koła o środku S(a,b) i promieniu r. © M

Zapisz, jakie warunki spełniają współrzędne punktów należących do zaznaczonych obszarów zad1 zad2 x y x y 1 1 1 1 © M

Zad3 Zad4 x y 1 x y 1 1 1 1 © M

( x + 1 ) 2 + ( y – 1 ) 2 < 2 lub ( x - 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2  1 Rozwiązania y  2 (x + 2,5) 2 + ( y - 1,5) 2 = 1,5 Zad.1 Zad.2 ( x – 1 ) 2 + ( y – 1 ) 2  3 ( x – 1 ) 2 + ( y – 1 ) 2  1 Zad.3 ( x + 1 ) 2 + ( y – 1 ) 2 < 2 lub ( x - 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2  1 Zad.4 x 2 + y 2  9 lub y  x lub y  0 © M

© M