A23

GRUPY SYMETRII W LINIACH RYTMICZNYCH WACŁAWA SZPAKOWSKIEGO Anna Hnat Judyta Tasiemska Instytut Matematyczny specjalność nauczycielska rok III Anna Hnat Judyta Tasiemska Instytut Matematyczny Specjalność nauczycielska III rok GRUPY SYMETRII W LINIACH RYTMICZNYCH WACŁAWA SZPAKOWSKIEGO 2

PODSTAWOWE DEFINICJE 3

GRUPA Zbiór z działaniem taki, że: 1) działanie jest łączne 2) w zbiorze jest element neutralny 3) dla każdego elementu istnieje element do niego odwrotny

(C, +) (a + b) + c = a + (b + c) elementem neutralnym jest liczba 0 elementem odwrotnym do liczby a jest liczba -a

(W\{0}, ·) (a · b) · c = a · (b · c) elementem neutralnym jest liczba 1 elementem odwrotnym do liczby a jest liczba 1/a

GRUPA SYMETRII FIGURY Elementami grupy są przekształcenia figury na siebie (identyczność, translacja, symetria osiowa, obrót, symetria z poślizgiem). Działaniem grupowym jest składanie przekształceń. Składanie przekształceń jest łączne, ale nie jest przemienne. Elementem neutralnym jest identyczność. Dla każdego elementu istnieje element do niego odwrotny. 7

TRANSLACJA

OBRÓT

SYMETRIA OSIOWA

SYMETRIA Z POŚLIZGIEM Jest to złożenie symetrii osiowej z translacją o pewien wektor równoległy do osi symetrii.

FRYZ Figura płaska, nieograniczona o symetrii translacyjnej. Translacja jest realizowana tylko w jednym kierunku. 12

IZOMETRIE WŁASNE FRYZU

TYPY FRYZÓW 14

TYP I translacja 15

TYP II translacja symetria względem osi pionowej 16

TYP III translacja symetria względem osi poziomej 17

TYP IV translacja symetria z poślizgiem 18

TYP V

TYP VI translacja symetria względem osi pionowej symetria z poślizgiem obrót o 180° 20

TYP VII translacja symetria względem osi pionowej symetria względem osi poziomej obrót o 180°

TWIERDZENIE Istnieje dokładnie 7 typów fryzów wymienionych wcześniej. 22

PODSTAWOWE OBSERWACJE  

DOWÓD Istnieje 16 podzbiorów 4-elementowego zbioru symetrii własnych fryzu. 1) Tr 2) Tr SI 3) Tr S_ 4) Tr S→ 5) Tr O 6) Tr SI S→ O 7) Tr SI O S_ 8) Tr S_ S→ 9) Tr S_ S→ SI 10) Tr S_ S→ O 11) Tr S_ S→ SI O 12) Tr SI S_ 13) Tr SI O 14) Tr S_ O 15) Tr SI S→ 16) Tr O S→ 24

TAPETA Figura płaska, nieograniczona o symetrii translacyjnej. Translacja jest realizowana w dwóch kierunkach. 25

IZOMETRIE WŁASNE TAPETY

Istnieje dokładnie 17 typów tapet. TWIERDZENIE Istnieje dokładnie 17 typów tapet. 27

Analogiczny jak w przypadku fryzów, ale żmudny. DOWÓD Analogiczny jak w przypadku fryzów, ale żmudny. 28

29

SYMETRIE LINII RYTMICZNYCH 30

WACŁAW SZPAKOWSKI ur. 09.10.1883 Warszawa, zm. 07.02.1973 Wrocław 31

WACŁAW SZPAKOWSKI C.D. architekt artysta plastyk z zamiłowania muzyk prekursor op-artu, sztuki geometrycznej i minimal-artu

ŹRÓDŁA INSPIRACJI

Autoportret wielokrotny, 1912 WACŁAW SZPAKOWSKI Autoportret wielokrotny, 1912

Witkacy, Portret wielokrotny, 1915 Marcel Duchamp, Portret wielokrotny, 1917

SZTUKA GEOMETRYCZNA kryzys tradycyjnej sztuki mimetycznej przeciwieństwo abstrakcji organicznej operowanie różnymi formami geometrii

SZTUKA GEOMETRYCZNA C.D. Piet Mondrian (1872-1944) Composition II in Red, Blue and Yellow

OP-ART oddziaływanie na oko widza, a nie na jego intelekt czy emocje złudzenia optyczne wywołujące wrażenia głębi oraz ruchu rozwibrowaniem pola widzenia abstrakcyjne kombinacje linii

OP-ART C.D. Victor Vasarely (1908-1997) Rzeźba w Peczu

MINIMAL-ART ograniczenie w dziele środków plastycznych, wyeliminowanie „śladu autorskiego”, tworzenie prac o anonimowej atmosferze uproszczona bryła, podstawowe kształty (okrąg, trójkąt, prostokąt), gładkie powierzchnie spokój, kontemplacja, medytacja, bezruch, cisza

Kazimierz Malewicz (1879-1935) MINIMAL-ART C.D. Kazimierz Malewicz (1879-1935) ICzarny kwadrat

LINIE RYTMICZNE powstawały w latach 1900-1954 są podzielone na serie: A0, A, B, C, D, E, F, S były wystawiane: Łódź (1978), Wrocław (1979, 1994), Paryż (1983), Budapeszt (1989), Warszawa (1991, 1993), Lyon (1992), Bruksela (1992), Słupsk (1994), Poznań (1997), Lublin (1998)

CECHY LINII RYTMICZNEJ ciągłość linii stały kąt załamania 90° długości odcinków są współmierne między sobą łamana daje się kontynuować w nieskończoność 5) powtarzalność motywów – np. jodełki, grzebyka, członów meandra itp. 6) wielokrotne zastosowanie symetrii

„(…)Linearną prawidłowość swoich światów, do której doszedł, chciał udowodnić matematyką i geometrią. Porządek świata, porządek przyrody, budowy liści, drzew, formy znajdowane w przyrodzie, instynktownie znajdowane u ludów prymitywnych w budownictwie, wzorach ludowych, to wszystko potwierdzało tę drogę. Teraz to były linie geometryczne...” Anna Szpakowska-Kujawska

„(…)pomysły liniowe zbliżają się do twórczości muzycznej, a w szczególności do jej pewnego rodzaju - melodii, gdyż posiadają rytmikę…” Wacław Szpakowski

A23

TYP VI (32 przykłady) Tr SI S→ O 48

D8 1928

A0 1930 A000 1930 A0000 1926 A00000 1927

A000000 1927 A8 1923-1924 A6 1924-1925 A7 1924-1925

A10 1924 A11 1924 A12 1924 A13 1924

A14 1924-1925 Seria A, poz. 23, ok. 1924 B11 1924-1925 Seria B, poz. 31, ok. 1924

B8 1925 B6 1924 B1 1925 B7 1924

C1 1924 Seria D, poz. 47, 1925 D3 1925

E1 1926 E2 1926 E3 1926 E5 1926

Seria F, poz. 68, ok. 1925 F1 1925-1926 Seria S, poz. 78, ok. 1939-1943 F2 1925-1926

TYP V (9 przykładów) Tr O 58

D6 1926

A00 1930 A1 1930 A2 1924 A3 1924

B9 1926 Seria B, poz. 30, ok. 1924

D4 1925 D5 1926

TYP IV (5 przykładów) Tr S→ 63

Seria F, poz. 67, 1924-1925 64

A4 1923-1924 A5 1923-1924

C4 1924 D11 1928

TYP II (3 przykłady) Tr SI

B13 1926

C2 1924

F3 1925

TYP I (1 przykład) Tr 71

D7 1928

TYP III Tr S_

TYPU III NIE DA SIĘ ZREALIZOWAĆ METODĄ SZPAKOWSKIEGO a) linia rytmiczna w całości pokrywa się z poziomą osią symetrii: powstaje linia bez załamań (linia Szpakowskiego ma załamania) b) linia rytmiczna na żadnym odcinku nie pokrywa się z poziomą osią symetrii - linia w ogóle nie przecina osi symetrii: powstają dwie rozłączne linie (linia Szpakowskiego jest pojedynczą linią) - linia przecina oś symetrii: powstaje łamana zamknięta (linia Szpakowskiego nie jest łamaną zamkniętą) c) linia rytmiczna na pewnych odcinkach pokrywa się z poziomą osią symetrii: powstaje łamana zamknięta (linia Szpakowskiego nie jest łamaną zamkniętą)

TYP VII Tr SI O S_

TYPU VII NIE DA SIĘ ZREALIZOWAĆ METODĄ SZPAKOWSKIEGO Nie da się go zrealizować, ponieważ symetria względem osi poziomej nie jest możliwa do zrealizowania.

FAKTYCZNIE II POZORNIE VI

FAKTYCZNIE IV POZORNIE VI

FAKTYCZNIE V POZORNIE VI

WNIOSKI Ulubionym typem symetrii Szpakowskiego jest typ VI (translacja, symetria względem osi pionowej, symetria z poślizgiem). W symetriach pozornych również typ VI występuje najczęściej. W Liniach rytmicznych niemożliwe jest zrealizowanie typu III oraz typu VII. Podział Linii rytmicznych na serie nie jest oparty na typie ich symetrii. Pozorne typy symetrii w Liniach rytmicznych Wacława Szpakowskiego wskazują na jego zainteresowanie op-artem.

PROGRAM KALI http://www.geometrygames.org/Kali/index.html 81

WYDARZENIA KULTURALNE wystawa monograficzna Wacław Szpakowski (1883-1973) Linie rytmiczne w Muzeum Miejskim Wrocławia – Pałac Królewski (08.06.2016 – 31.07.2016) koncert Adama Bałdycha w Muzeum Miejskim Wrocławia – Stary Ratusz (09.06.2016) wystawa prac Wacława Szpakowskiego w galerii Łącznik – Wydział Matematyki i Informatyki UWr (wrzesień 2016) 82

Dziękujemy za uwagę. 83