Modele nieliniowe sprowadzane do liniowych przykład

Model nieliniowy – często wykorzystywany do opisu wielu zjawisk ekonomicznych. Występuje tutaj ograniczona możliwość estymacji, jednak można ją przezwyciężyć poprzez przekształcanie modelu nieliniowego na liniowy, wówczas powstaje model linearyzowany. Będzie to pomocniczy model, który pomoże opisać zjawiska ekonomiczne, a występujące w nim zmienne to zmienne pomocnicze.

Model hiperboliczny teoria

Przykładowe zastosowanie modelu hiperbolicznego Szacowanie jednostkowego kosztu całkowitego jako funkcji wielkości produkcji

ZADANIE

Analiza zależności średniej wielkości produkcji od średnich kosztów całkowitych w pewnym przedsiębiorstwie w latach 2000-2010 X – średni koszt jednostkowy w tys zł Y – średnia wielkość produkcji w tys szt

lata X Y 2000 30 1 2001 26 1,25 2002 20 2 2003 18 2,5 2004 14 5 2005 12 10 2006 12,5 2007 11 2008 25 2009 50 2010 100

Ponieważ zebrane dane mają postać

Z wykresu wynika, że jest to model nieliniowy, w tym przypadku hiperboliczny, którego postać ogólna jest dana równaniem:

Aby oszacować parametry równania, sprowadzamy dotychczasowe równanie do równania liniowego…

Podstawiamy więc…

I otrzymujemy… lata y x Z 2000 1 30 0,0333 2001 1,25 26 0,0385 2002 2 0,0500 2003 2,5 18 0,0556 2004 5 14 0,0714 2005 10 12 0,0833 2006 12,5 2007 11 0,0909 2008 25 0,1000 2009 50 2010 100

Po podstawieniu nowe równanie ma postać… Model ten jest liniowy względem nowej zmiennej objaśniającej Z

Wyznaczanie parametrów równania za pomocą metody najmniejszych kwadratów

n = 11

Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy parametry równania b = -32,4356 Więc model ma postać

-32,4356 – wartość teoretycznego, średniego poziomu produkcji w tys. zł. przy założeniu że średni koszt jednostkowy produkcji w tys. zł. jest równy zero. 735,0659 – jeśli średni koszt produkcji zwiększy się o 1 tys. zł. to wartość średniego poziomu produkcji wzrośnie o 735,0659 tys. zł.

Model pierwotny

-32,4356 – wartość teoretycznego, średniego poziomu produkcji w tys. zł. przy założeniu że średni koszt jednostkowy produkcji w tys. zł. jest równy zero. 735,0659 – jeśli średni koszt produkcji zwiększy się o 1 tys. zł. to wartość średniego poziomu produkcji wzrośnie z odwrotnością o 735,0659 tys. zł.

Weryfikacja modelu

Cel: badanie czy zbudowany model dobrze opisuje badane zależności Weryfikacja modelu Cel: badanie czy zbudowany model dobrze opisuje badane zależności Weryfikacja sprowadza się do zbadania trzech właściwości: Stopnia zgodności modelu z danymi empirycznymi Jakości ocen parametrów strukturalnych Rozkładu odchyleń losowych

Ocena zgodności modelu z danymi empirycznymi Wariancja odchyleń losowych Gdzie e jest różnicą wartości empirycznej i teoretycznej wynikającej z modelu

Odchylenie standardowe

= 649,6459 S = 25,48815 – zaobserwowane wartości zmiennej objaśnianej (średniej wielkości produkcji) przeciętnie różnią się od teoretycznych wartości tych zmiennych o 25,49 tys. zł. Taka wartość świadczy o stosunkowo dobrym dopasowaniu modelu do danych empirycznych.

Wskaźnik średniego względnego poziomu reszt

P = 0,338 – reszty modelu stanowią 0,338 teoretycznych wartości zmiennej objaśnianej. W związku z tym można uznać, że dopasowanie modelu do danych jest stosunkowo dobre

Współczynnik zbieżności

= 0,6467 – oznacza to że ok. 64,67% całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej nie jest wyjaśniona przez model, oznacza to że 64,67% zmienności całkowitego średniego poziomu wielkości produkcji nie jest wyjaśniana przez zmienne średnich kosztów. Wysoka wartość tego wskaźnika świadczy o tym że model nie jest dobrze dopasowany do danych.

Współczynnik determinacji

= 0,3533 – oznacza to że wartości teoretyczne zmiennej objaśniającej stanowią 35,33% całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej. Jest to część zdeterminowana przez zmienne objaśniające. Wynika stąd, że 35,33% zmienności całkowitego średniego poziomu produkcji jest wyjaśniana przez zmienne średnich kosztów. Niska wartość tego wskaźnika wskazuje na złe dopasowanie modelu do danych.

Badanie istotności parametrów strukturalnych Standardowe błędy szacunku parametrów modelu – wartość względna Standardowe błędy szacunku parametrów modelu – wartość bezwzględna

Standardowe błędy szacunku parametrów modelu – wartość względna Dla parametru a Dla parametru b

Standardowe błędy szacunku parametrów modelu – wartość bezwzględna Dla parametru a Dla parametru b

S(a) = 331,486 – szacując parametr a na poziomie 735,0659, popełniamy średni błąd 331,486, co stanowi 45,1%. Błąd w tym przypadku jest stosunkowo mały. S(b) = 25,2248 – szanując parametr b na poziomie -32,4356, popełniamy średni błąd 25,2248, co stanowi 77,77%. Błąd w tym przypadku jest stosunkowo duży.

Określenie relatywnego wpływu zmiennych objaśniających na zmienną objaśnianą Współczynnik ważności

b = 2,5563 – taka wartość tego wskaźnika świadczy o tym, że zmienna objaśniająca ma relatywnie większy wpływ na wartość zmiennej objaśnianej. Oznacza to że wartość średnich kosztów produkcji ma większy wpływ na średnią wielkość produkcji.

Prognozowanie

Predykcja ekonometryczna Cel: oszacowanie wartości nieznanej zmiennej w określonym czasie w przyszłości na podstawie danego modelu ekonometrycznego.

Ponieważ model jest nieliniowy, a jego posrać sprowadza się do funkcji hiperbolicznej, to model trendu będzie miał postać…

Po sprowadzeniu modelu do postaci liniowej, czyli to model będzie miał postać

lata t y 2000 1 2001 2 1,25 2002 3 2003 4 2,5 2004 5 2005 6 10 2006 7 12,5 2007 8 20 2008 9 25 2009 50 2010 11 100

Do oszacowania parametrów funkcji trendu posługujemy się wzorami

Po oszacowaniu parametrów model ma postać a pierwotna postać modelu

a=-64,138 – z każdym rokiem w latach 2000-2010 średnia wielkość produkcji malała z roku na rok przeciętnie o 64,138 tys. szt. b= 38,449 – teoretyczna wielkość produkcji w okresie t=0 czyli w 1999r wynosiła 38,449 tys. szt.

Na podstawie modelu trendu możemy wyznaczyć jaka będzie prognozowana wielkość produkcji w roku 2012 czyli w okresie T=13

= 33,5153 – prognozowana wielkość produkcji w roku 2012 czyli w okresie T=13 wynosi 33,5153 tys. szt.

Średni błąd prognozy

Wariancja resztowa

Po podstawieniu…

Względny błąd prognozy

St=31,3844 – szacując wielkość produkcji w okresie T=13 na poziomie 33,5153 tys. Szt. Mylimy się średnio o 31,3844 tys. Szt, co stanowi ok. 93,64%. Ponieważ błąd ten jest stosunkowo duży możemy prognozę tą odrzucić.