Pakiety numeryczne Optymalizacja Łukasz Sztangret Katedra Informatyki Stosowanej i Modelowania

Optymalizacja „Dążenie człowieka do perfekcji znajduje swój wyraz w optymalizacji. Zajmuje się ona tym, jak opisać i osiągnąć Najlepsze, gdy wiemy już jak mierzyć i zmieniać Dobre i Złe […].” Beightler C. S., Phillips D. T., Wilde D. J., Foundations of optimization, Englewood Cliffs, N.J., Prentice-Hall, 1979.

Zadanie optymalizacji

Zbiór rozwiązań dopuszczalnych

Funkcja celu

Minimum globalne

Metody optymalizacji Programowanie liniowe, Metody bezgradientowe (bezpośredniego szukania), Metody gradientowe, Metody niedeterministyczne.

Problem binarny Wektor x może przyjmować jedynie wartości 0 lub 1. Szukamy maksimum funkcji celu: przy ograniczeniach: [x_opt y_opt] = bintprog(f,A,b,Aeq,beq) Funkcja bintprog szuka minimum funkcji celu przy ograniczeniach nierównościowych (zmienne A i b) oraz równościowych (zmienne Aeq i beq). Wartości zwracane to wektor zmiennych decyzyjnych x_opt oraz wartość funkcji celu y_opt.

Dyskretny problem plecakowy Przy podanym zbiorze elementów o podanej wadze i wartości, należy wybrać taki podzbiór by suma wartości była możliwie jak największa, a suma wag była nie większa od danej pojemności plecaka. Lp.WartościWaga

Dyskretny problem plecakowy f=-[ ]; A=[ ]; b=10; [x_opt y_opt]=bintprog(f,A,b) Optimization terminated. x_opt = y_opt = -285 LpWartościWaga Znak minus jest konieczny ponieważ szukamy maksymalnej wartości plecaka a funkcja bintprog szuka wartości minimalnej

Dyskretny problem plecakowy Dodatkowe ograniczenie: zabierając przedmiot nr 3 musimy zabrać przedmiot nr 5 i odwrotnie. f=-[ ]; A=[ ]; b=10; Aeq=[ ]; beq=0; [x_opt y_opt]=bintprog(f,A,b,Aeq,beq) Optimization terminated. x_opt = y_opt = -270 LpWartościWaga

Problem linowy Szukamy maksimum funkcji celu: przy ograniczeniach: [x_opt y_opt] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) Funkcja linprog szuka minimum funkcji celu przy ograniczeniach nierównościowych (zmienne A i b), równościowych (zmienne Aeq i beq) oraz kostkowych (zmienne lb i ub). Wartości zwracane to wektor zmiennych decyzyjnych x_opt oraz wartość funkcji celu y_opt.

Ciągły problem plecakowy f=-[ ]; A=[ ]; b=10; [x_opt y_opt]=linprog(f,A,b) Exiting: One or more of the residuals, duality gap, or total relative error has grown times greater than its minimum value so far: the dual appears to be infeasible (and the primal unbounded). (The primal residual < TolFun=1.00e-008.) x_opt = 1.0e+014 * y_opt = e+016

Ciągły problem plecakowy f=-[ ]; A=[ ]; b=10; lb=[ ]; [x_opt y_opt]=linprog(f,A,b,[],[],lb) Optimization terminated. x_opt = y_opt =

Poszukiwanie minimum funkcji jednej zmiennej z ograniczeniami lb=-2; ub=5; [x_opt y_opt]=fminbnd(f,lb,ub) x_opt = 2 y_opt = 0 Uchwyt do funkcji celu Dolne ograniczenie Górne ograniczenie Funkcja fminbnd wykorzystuje metodę złotego podziału oraz aproksymacji kwadratowej

Poszukiwanie minimum funkcji wielu zmiennych bez ograniczeń function y=fun_celu(x) y=(x(1)-5).^2+(x(2)-5).^2; [x_opt x_opt = y_opt = e-009 Uchwyt do funkcji celu Punkt startowy Funkcja celu jest zdefiniowana w osobnym pliku o nazwie fun_celu Funkcja fminsearch wykorzystuje metodę sympleks Neldera-Meada

Poszukiwanie minimum funkcji wielu zmiennych bez ograniczeń [x_opt y_opt]=fminunc(f,[2;2]) Warning: Gradient must be provided for trust-region algorithm; using line-search algorithm instead. > In fminunc at 365 Local minimum found. Optimization completed because the size of the gradient is less than the default value of the function tolerance. x_opt = 0 0 y_opt = 0 Funkcja fminunc wykorzystuje metodę gradientową

Poszukiwanie minimum funkcji wielu zmiennych bez ograniczeń 2*x(2)]; opcje=optimset('GradObj','on'); [x_opt y_opt]=fminunc({f;g},[2;2],opcje) Local minimum found. Optimization completed because the size of the gradient is less than the default value of the function tolerance. x_opt = 0 0 y_opt = 0

Poszukiwanie minimum funkcji wielu zmiennych bez ograniczeń function [y dy]=fun_celu(x) syms X Y f=X.^2+Y.^2; g=gradient(f); X=x(1); Y=x(2); y=eval(f); dy=eval(g); opcje=optimset('GradObj','on'); [x_opt Local minimum found. Optimization completed because the size of the gradient is less than the default value of the function tolerance. x_opt = 0 0 y_opt = 0 Utworzenie dwóch zmiennych symbolicznych Zdefiniowanie funkcji celu (również zmienna symboliczna) Zdefiniowanie gradientu funkcji f Zmiennym X oraz Y przypisujemy konkretne wartości liczbowe Obliczamy wartość funkcji i jej gradientu w punkcie o współrzędnych X oraz Y

Poszukiwanie minimum funkcji wielu zmiennych z ograniczeniami [x_opt Uchwyt do funkcji celu Punkt startowy Ograniczenia nierównościowe Ograniczenia równościowe Ograniczenia kostkowe Ograniczenia nieliniowe function [c ceq]=ograniczenia(x) c=x(1).^2+x(2).^2-4; ceq=[];

Poszukiwanie minimum funkcji wielu zmiennych z ograniczeniami function y=fun_celu(x) y=(x(1)-5).^2+(x(2)-5).^2; function [c ceq]=ograniczenia(x) c=x(1).^2+x(2).^2-4; ceq=[]; [x_opt x_opt = y_opt = Funkcja celu Funkcja z ograniczeniami nieliniowymi

Poszukiwanie minimum funkcji wielu zmiennych z ograniczeniami Algorytm genetyczny [x_opt Rozmiar przestrzeni poszukiwań function [c ceq]=ograniczenia(x) c=x(1).^2+x(2).^2-4; ceq=[];

Poszukiwanie minimum wielu funkcji wielu zmiennych z ograniczeniami [x_opt Argumenty jak przy funkcji fmincon. Minimalizowana funkcja celu zwraca wektor (wiele funkcji celu). Funkcja fminimax poszukuje rozwiązania minimalizującego wszystkie funkcje celu. function y=fun_celu(x) y(1)=(x-1).^2; y(2)=(x+1).^2; [x_opt x_opt = e-016 y_opt =

Dwukryterialna optymalizacja belki Belka o długości l i przekroju kołowym o średnicy d jest obciążona siłą P. Ugięcie belki pod wpływem działania siły wynosi: występujące naprężenie wynosi:

Dwukryterialna optymalizacja belki Zadanie polega na wyznaczeniu wymiarów belki: aby zapewnić minimalną masę belki oraz minimalne ugięcie. Dodatkowymi ograniczeniami są maksymalne ugięcie belki oraz maksymalne naprężenie wynoszące odpowiednio:

Dwukryterialna optymalizacja belki ro=7800; P=1e3; E=207e9; u_max=5e-3; sigma_max=300e6; l_lim=[200,1000]*1e-3; d_lim=[10,50]*1e-3;

Dwukryterialna optymalizacja belki l=linspace(l_lim(1),l_lim(2),100); d=linspace(d_lim(1),d_lim(2),100); D=[]; P=[]; for i=1:length(l) for j=1:length(d) if u([l(i);d(j)])<u_max && sigma([l(i);d(j)])<sigma_max D(:,end+1)=[l(i);d(j)]; P(:,end+1)=[m([l(i);d(j)]);u([l(i);d(j)])]; end

Dwukryterialna optymalizacja belki figure('Color',[1 1 1]); plot(D(1,:),D(2,:),'.'); set(gca,'FontSize',28); xlabel('l[m]'); ylabel('d[m]'); figure('Color',[1 1 1]); plot(P(1,:),P(2,:),'.') set(gca,'FontSize',28); xlabel('m[kg]'); ylabel('u[m]');

Normalizacja max_m=m([l_lim(2);d_lim(2)]); min_m=m([l_lim(1);d_lim(1)]); max_u=u([l_lim(2);d_lim(1)]); min_u=u([l_lim(1);d_lim(2)]);

Optymalizacja dwukryterialna x_opt=fminimax(f,… [range(l_lim)*rand+l_lim(1);range(d_lim)*rand+d_lim(1)],... function [c ceq]=limits(x,u,sigma,u_max,sigma_max) ceq=[]; c=[u(x)-u_max;sigma(x)-sigma_max]; x_opt=[200mm; 18.9mm] m(x_opt)= kg u(x_opt)= mm

Metoda sumy ważonej w=0:0.01:1;n=length(w); M=zeros(1,n); U=zeros(1,n); for i=1:n x_opt=fmincon(f,… [range(l_lim)*rand+l_lim(1);range(d_lim)*rand+d_lim(1)],... M(i)=m(x_opt); U(i)=u(x_opt); end

Metoda sumy ważonej figure('Color',[1 1 1]); plot(M,U,'*','MarkerSize',20,'LineWidth',3) set(gca,'FontSize',28); xlabel('m[kg]'); ylabel('u[m]');

Prezentacja udostępniona na licencji Creative Commons: Uznanie autorstwa, Na tych samych warunkach 3.0. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów. Zezwala się na dowolne wykorzystywanie treści pod warunkiem wskazania autorów jako właścicieli praw do prezentacji oraz zachowania niniejszej informacji licencyjnej tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Tekst licencji dostępny jest na stronie: