W KRAINIE TRAPEZÓW

W "Szkole Myślenia" stawiamy na umiejętność rozumowania, zadawania pytań badawczych, rozwiązywania problemów oraz wykorzystania wiedzy w praktyce. Program realizowany jest w ramach prowadzonej od sześciu lat akcji "Szkoła z klasą". Pragniemy zachęcić nauczycieli do stosowania metod rozwijających myślenie, w tym uczniowskich projektów edukacyjnych, zarówno z zakresu nauk matematyczno - przyrodniczych, jak i humanistyczno - społecznych. Jak wynika z międzynarodowych badań, polscy uczniowie dobrze wypadają w zadaniach wymagających prostych umiejętności, np. odtwarzania informacji, a znacznie gorzej w rozwiązywaniu problemów, formułowaniu wniosków i sądów, myśleniu krytycznym, twórczym czy naukowym. Celem jest, by program przyczynił się do popularyzacji atrakcyjnych dla uczniów - a zarazem skutecznych - sposobów uczenia tych umiejętności. Program realizuje idee zawarte w projekcie Podstawy Programowej Kształcenia Ogólnego, przygotowanym przez Ministerstwo Edukacji Narodowej. Program skierowany jest do szkół podstawowych, gimnazjów oraz szkół ponadgimnazjalnych z całej Polski. Prezentacja ta jest efektem końcowym naszej pracy.

Co to jest TRAPEZ ??? Trapez jest to czworokąt mający parę równoległych boków – podstawy oraz ramiona. Suma miar kątów: Wysokością trapezu nazywamy odległość między podstawami (odcinek DE).

nazywamy taki trapez, który ma jedno z ramion prostopadłe do podstaw. Prostopadłe ramię jest jednocześnie wysokością.

nazywamy taki trapez, który ma ramiona równej długości. W trapezie równoramiennym kąty przy podstawie są równe. Przekątne trapezu równoramiennego są równe. Wysokości poprowadzone z końców mniejszej podstawy odcinają dwa przystające trójkąty prostokątne.

Pole trapezu a, b - długości podstaw trapezu h - wysokość trapezu Odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw tego trapezu i równy jest połowie sumy długości obu podstaw.

n liczb jest to pierwiastek ze średniej arytmetycznej kwadratów tych liczb. Na przykład, średnią kwadratową liczb 2, 2, 5 i 7 jest :

n liczb dodatnich nazywamy liczbę: Na przykład średnią harmoniczną liczb 2, 2, 5 i 7 jest:

Średnia harmoniczna jest wówczas, gdy pierwsza liczba przewyższa drugą o ułamek siebie samej, podczas gdy druga przewyższa trzecią o ten sam ułamek trzeciej. I tak na przykład 4 jest średnią harmoniczną 6 i 3, ponieważ 6 przewyższa 4 o 2, która stanowi trzecią część 6 i ponieważ 4 przewyższa 3 o 1, czyli jedną trzecią 3. Średnią harmoniczna (dla liczb różnych od zera) nazywamy odwrotność średniej arytmetycznej odwrotności tych liczb. Średnia harmoniczna jest zawsze mniejsza od średniej geometrycznej, która jest zawsze mniejsza niż średnia arytmetyczna.

n dodatnich liczb nazywamy liczbę: Średnia geometryczna n liczb, to pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu tych liczb. Średnia geometryczna dwóch liczb eksponuje mnożenie i dzielenie. Liczba b jest średnią geometryczną liczb a i c i spełnia równanie

Średnią geometryczną dwóch liczb można opisać: pierwsza ma się do drugiej tak, jak druga do trzeciej. Na przykład średnią geometryczną liczb 2, 2, 5 i 7 jest:

dwóch liczb znana jest po prostu jako średnia. Jest to połowa sumy dwóch liczb. Średnią arytmetyczną n liczb nazywamy liczbę: Inaczej mówiąc jest to iloraz sumy n liczb i n (gdzie n to ilość sumowanych liczb).

Na przykład średnią liczb - 5,-3, 0 i 1 2 jest: Liczba b jest średnią arytmetyczną liczb a i c i spełnia równanie a - b = b - c. Nadwyżka pierwszej liczby w stosunku do drugiej równa się nadwyżce drugiej w stosunku do trzeciej.

Rozważamy trapezy, w które można wpisać okrąg. Wtedy suma długości podstaw takiego trapezu jest równa sumie długości jego ramion. Korzystając z tej własności oraz z twierdzenia Pitagorasa wyraź długość wysokości trapezu w zależności od długości podstaw a i b, jeżeli trapez jest: a) równoramiennym Własność:

Aby obliczyć długość wysokości korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: Po przekształceniu wzoru i pierwiastkowaniu otrzymujemy wzór na długość wysokości, jest to równocześnie wzór średniej geometrycznej długości podstaw:

b) Prostokątny Własność: Z twierdzenia Pitagorasa: Po przekształceniu otrzymujemy wzór na długość wysokości, jest to równocześnie wzór średniej harmonicznej:

Zadanie 1 Oblicz długość odcinka dzielącego na 2 części o równych polach. Stąd:

Stąd: Po przekształceniach otrzymujemy: Wniosek: Długość odcinka dzielącego trapez na dwie części o równych polach jest średnią kwadratową długości podstaw tego trapezu.

Zadanie 2 Oblicz długość odcinka równoległego do podstaw i przechodzącego przez punkt przecięcia przekątnych. Z (1): Z (2):

Wniosek: Długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i przechodzącego przez punkt przecięcia przekątnych jest średnią harmoniczną długości jego podstaw.

Zadanie 3 Wykaż, że długość odcinka łączącego środki ramion w trapezie jest średnią arytmetyczną długości podstaw tego trapezu. Z treści zadania wiemy, że |FC| = |BF|. A zatem obracając trójkąt FCD wokół punktu F o 180 o, otrzymamy trójkąt BFG. Zauważmy, że |AG| = a + b. Ponadto odcinek EF łączy środki boków w trójkącie AGD. Stąd wynika, że |EF| = ½ (a + b). Otrzymana wartość to średnia arytmetyczna długości podstaw trapezu ABCD.

Zadanie 4 Na okręgu opisano trapez równoramienny ABCD, w którym długości podstaw wynoszą a oraz b. a) Oblicz długość ramienia trapezu. b) Oblicz długość wysokości trapezu. c) Wykaż, że pole trapezu jest nie mniejsze niż kwadrat długości wysokości. d) Wykaż, że średnia harmoniczna długości podstaw w trapezie ABCD jest nie większa niż średnia geometryczna długości podstaw w tym trapezie.

Ad a) Z twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu oraz z własności trapezu równoramiennego mamy: Stąd: Czyli długość ramienia to średnia arytmetyczna długości podstaw.

Ad b) Z własności trapezu równoramiennego i z tzw. Pitagorasa otrzymamy: Okazuje się, że długość wysokości to średnia geometryczna długości podstaw. Ad c) Z poprzednich równości wynika, że:

Ad d) Korzystając z tego, że h 2 = ab oraz z poprzedniej nierówności otrzymamy: A stąd po przekształceniach: To oznacza, że średnia harmoniczna długości podstaw w trapezie ABCD jest nie większa niż średnia geometryczna długości podstaw w tym trapezie.

Średnia harmoniczna Średnia arytmetyczna Średnia geometryczna Średnia kwadratowa