Mierniki dynamiki zjawisk. Indeksy dr Marta Marszałek Zakład Statystyki Stosowanej Instytut Statystyki i Demografii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa w Warszawie

Szereg czasowy

Źródło: Rocznik Statystyczny Handlu Zagranicznego Polski 2011, GUS

Dane portalu: dlakierowcow.policja.pl Liczba wypadków drogowych oraz ich skutki w latach

Indeksy

Indeksy – wskaźniki dynamiki Cel: wyznaczane do liczbowego określania zmian obserwowanego zjawiska na podstawie szeregu czasowego. Indeksy wykorzystywane do czasowych indywidualneporównań zjawisk wyrażonych przy użyciu mierników naturalnych (zł, kg) Indeksy wykorzystywane do czasowych agregatoweporównań zjawisk niejednorodnych, niesumowalnych ilościowo.

Indeksy indywidualne Szereg czasowy: 1. Przyrosty absolutne – informują o zmianach bezwzględnych: Δ t = y t – y t-1 2. Przyrosty względne – informują o tempie zmian δ t = Δ t /y t * gdzie y t * poziom badanego zjawiska w pewnym wybranym momencie czasu momenty czasut1t1 t2t2 t3t3 t4t4 t5t5 t6t6 …..tntn poziom zjawiskay1y1 y2y2 y3y3 y4y4 y5y5 y6y6 …..ynyn

Przykład Przykład: Zbadano spożycie owoców (w kg) w pewnej szkole w 3 tyg. Należy: 1.Ocenić zmiany (przyrosty) absolutne 2.Ocenić zmiany (przyrosty względne Dzień tygodnia Tydzień PoniedziałekWtorekŚrodaCzwartekPiątek Tydzień Tydzień Tydzień

Indeksy indywidualne 3. Wskaźniki dynamiki: i t/t* = y t / y t * jeśli y t * =y t-1 indeksy łańcuchowe jeśli y t * = const. indeksy jednopodstawowe momenty czasut1t1 t2t2 t3t3 t4t4 t5t5 t6t6 …..tntn poziom zjawiskay1y1 y2y2 y3y3 y4y4 y5y5 y6y6 …..ynyn

Indeksy łańcuchowe indeksy łańcuchowe Momenty czasut1t1 t2t2 t3t3 t4t4 t5t5 t6t6 …..tntn Poziom zjawiskay1y1 y2y2 y3y3 y4y4 y5y5 y6y6 …..ynyn

Indeksy jednopodstawowe indeksy jednopodstawowe Jeśli podstawą jest y 1, to ciąg tych indeksów ma postać: momenty czasut1t1 t2t2 t3t3 t4t4 t5t5 t6t6 …..tntn poziom zjawiskay1y1 y2y2 y3y3 y4y4 y5y5 y6y6 …..ynyn

Indeksy łańcuchowe spadek o 1% w stosunku do roku poprzedniego spadek o 6% spadek o 0,5% spadek o 3,7% lata liczba urodzeń w Polsce (tys.)417,6413,3388,4386,3372

Indeksy jednopodstawowe spadek o 10,9% lata liczba urodzeń w Polsce (tys.)417,6413,3388,4386,3372

Przeliczanie indeksów łańcuchowych na jednopodstawowe Indeksy łańcuchowe0,9900,9400,9950,963 Indeksy jednopodstawowe0,9900,9300,9250,891

Przeliczanie indeksów jednopodstawowych na łańcuchowe Indeksy łańcuchowe0,9900,9400,9950,963 Indeksy jednopodstawowe0,9900,9300,9250,891

Średnie tempo zmian Momenty czasut1t1 t2t2 t3t3 t4t4 t5t5 t6t6 …..tntn Poziom zjawiskay1y1 y2y2 y3y3 y4y4 y5y5 y6y6 …..ynyn

Średnie tempo zmian Średnia geometryczna: Interpretacja: Interpretacja: W latach 2009 – 2013 (5 lat) liczba urodzeń w Polsce spadała z roku na rok średnio o 2,8 %. Indeksy łańcuchowe0,9900,9400,9950,963 Indeksy jednopodstawowe0,9900,9300,9250,891

Indeksy agregatowe

Indeksy agregatowe wartości, ilości i cen Oznaczenia: w j0, w j1 - wartość j-tego produktu w momencie podstawowym i badanym; q j0, q j1 - ilość (masa fizyczna) j-tego produktu w momencie podstawowym i badanym; p j0, p j1 - cena j-tego produktu w momencie podstawowym i badanym. indywidualny indeks cen indywidualny indeks ilości

Agregatowy indeks wartości

Przykład: Analiza sprzedaży trzech gatunków parkietu przez pewnego producenta w styczniu i marcu br. Produkt Cena (zł/m 2 )Ilość (tys. m 2 )Wartość styczeńmarzecstyczeńmarzecstyczeńmarzec p 0j p 1j q 0j q 1j w 0j =p 0j q 0j w 1j =p 1j q 1j Parkiet dąb , Parkiet jesion , ,5 Parkiet akacja125 0,80, ,5

Formuły standaryzacyjne Na zaobserwowaną dynamikę wartości sprzedaży wpłynęły zarówno zmiany cen poszczególnych produktów, jak i zmiany wielkości sprzedaży (ilości). Pytania: -co i w jakim stopniu (zmiany cen czy ilości) przyczyniło się do zmiany poziomu wartości sprzedaży -jak zmieniłaby się wartość sprzedaży, gdyby ceny (bądź ilości) w obu okresach nie zmieniły się.

Formuły standaryzacyjne W odpowiedzi na te pytania pomoże standaryzacja, polegająca na wyeliminowaniu wpływu jednego z czynników (cen bądź ilości), po to aby zauważyć wpływ drugiego z nich na zmiany wartości. Dwie formuły standaryzacyjne: Laspeyres’a – gdy stabilizacja cen lub ilości następuje na poziomie z momentu podstawowego Paaschego - gdy stabilizacja cen lub ilości następuje na poziomie z momentu badanego

Agregatowy indeks cen Ogólna postać standaryzacyjna: Standaryzacja według formuły a) Laspeyres’ab) Paaschego c) Fishera

Zapamiętajmy oznaczenia indeksów cen: L I p P I p Laspeyres’a cen Paaschego cen Zaprezentujemy dalej inne postaci indeksów cen.

Agregatowe indeksy cen Standaryzacja według formuły a)Laspeyres’a: b) Paaschego j i p - indywidualny indeks cen

Indeks Laspeyres’a cen (formuła wynikająca z definicji) p0p0 p1p1 q0q0 q1q1 w 0 =p 0 q 0 w 1 =p 1 q 1 p1q0p1q0 dąb , ∙5=550 jesion , ,5105∙2=210 akacja125 0,80, ∙0,8= ,5860

Indeks Laspeyres’a cen (formuła w postaci średniej arytmetycznej z wagami wartościowymi) p0p0 p1p1 q0q0 q1q1 w 0 =p 0 q 0 w 1 =p 1 q 1 ipip ipwoipwo dąb , :100=1,1550 jesion , ,5105:100=1,05210 akacja125 0,80, :125= ,5860

Indeks Laspeyres’a cen (formuła z wagami udziałowymi) p0p0 p1p1 q0q0 q1q1 w 0 =p 0 q 0 w 1 =p 1 q 1 ipip u0u0 ipuoipuo d , ,1500:800=0,6250,6875 j , ,51,05200:800=0,2500,2625 a125 0,80, :800=0,1250, ,511,075

Indeks Laspeyres’a cen - interpretacja L I p = 1,075 Gdyby założyć, że w obu miesiącach wielkość sprzedaży (q) była jednakowa i taka jak w styczniu, to ceny tych trzech produktów łącznie wzrosłyby w marcu w stosunku do stycznia średnio o 7,5%. (lub) Gdyby wartość sprzedaży parkietu kształtowała się tylko pod wpływem zmian cen, to odnotowanoby wzrost sprzedaży średnio o 7,5%, przy założeniu stałych ilości ze stycznia.

Agregatowy indeks ilości (masy fizycznej) Ogólna postać standaryzacyjna: Standaryzacja według formuły a)Laspeyres’ab) Paaschego c) Fishera

Zapamiętajmy oznaczenia indeksów ilości: L I q P I q Laspeyres’a ilości Paaschego ilości Zaprezentujemy dalej inne postaci indeksów ilości.

Agregatowe indeksy ilości ( masy fizycznej) Standaryzacja według formuły a)Laspeyres’a: a) Paaschego j i q - indywidualny indeks ilości

Indeks Paaschego ilości (formuła wynikająca z definicji) p0p0 p1p1 q0q0 q1q1 w 0 =p 0 q 0 w 1 =p 1 q 1 p1q0p1q0 dąb , ∙5=550 jesion , ,5105∙2=210 akacja125 0,80, ∙0,8= ,5860

Indeks Paaschego ilości (formuła z wagami wartościowymi) p0p0 p1p1 q0q0 q1q1 w 0 =p 0 q 0 w 1 =p 1 q 1 iqiq w 1 /i q dąb , ,1:5=1,02550 jesion , ,52,1:2=1,05210 akacja125 0,80, ,6:0,8=0, ,5860

Indeks Paaschego ilości (formuła w postaci średniej harmonicznej z wagami udziałowymi) p0p0 p1p1 q0q0 q1q1 w 0 =p 0 q 0 w 1 =p 1 q 1 iqiq u1u1 u 1 /i q d , ,02561:856,5=0,6550,642 j , ,51,05220,5:856,5=0,2570,245 a125 0,80, ,7575:856,5=0,0880, ,511,004

Indeks Paaschego ilości - interpretacja P I q = 0,9959 Gdyby założyć, że w obu miesiącach ceny (p) były jednakowe i takie jak w marcu, to wielkość sprzedaży badanych produktów łącznie spadłaby w marcu w stosunku do stycznia średnio o 0,41%. (lub) Gdyby wartość sprzedaży parkietu kształtowała się tylko pod wpływem zmian ilości, to odnotowanoby spadek sprzedaży średnio o 0,41%, przy założeniu stałych cen z marca.

Równość indeksowa Agregatowy indeks cen Laspayres’aPaaschego Agregqatowy indeks ilości Laspayres’aPaaschego

Równość indeksowa 1,0706 = 1,075 ∙ 0,9959

Dziękuję dr Marta Marszałek Instytut Statystyki i Demografii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa w Warszawie Kontakt:

POWODZENIA NA EGZAMINIE!