Funkcja produkcji Funkcja produkcji – zależność między wielkością zastosowanych czynników produkcji a wielkością produkcji. gdzie: y – wielkość produkcji, r i – ilość i-tego czynnika produkcji. Funkcja produkcji ma sens głównie w analizie długookresowej, gdyż dopiero wtedy czynniki produkcji stają się w stosunku do siebie substytucyjne. W analizie krótkookresowej substytucja czynników produkcji jest ograniczona. Jeżeli przyjmiemy uproszczenie, że analizujemy produkcję dobra, gdzie występują tylko dwa czynniki produkcji, to funkcja produkcji przybierze postać:

Funkcję produkcji dwóch czynników produkcji można przedstawić w postaci jej 3 rzutów na odpowiednie płaszczyzny. y r1r1 y r2r2 r1r1 r2r2 r 21 r 22 r 11 r 12 y1y1 y2y2 r 22 > r 21 Funkcja produkcji 1 czynnika produkcji r 12 > r 11 Funkcja produkcji 2 czynnika produkcji y 2 > y 1 Izokwanty produkcji

Izokwanta produkcji (krzywa produkcji) pokazuje wszystkie najlepsze sposoby połączenia dwóch czynników produkcji, których zastosowanie spowoduje wytworzenie produktu w danej ilości. Produkcyjność czynnika produkcji Produkcyjność przeciętna i – tego czynnika produkcji mierzymy: Produkcyjność krańcową i – tego czynnika produkcji określa wzór:

Produkcyjność krańcowa pokazuje o ile zmieni się wielkość produkcji, gdy zwiększymy o jednostkę ilość danego czynnika produkcji. Matematycznie ujmując produkcyjność krańcowa i – tego czynnika produkcji, to pochodna cząstkowa funkcji produkcji po i – tym czynniku produkcji. Przebieg funkcji produkcyjności przeciętnej i krańcowej dla typowego przebiegu funkcji produkcji.

Izokwanta produkcji pokazuje substytucję dwóch czynników produkcji. Do pomiaru tej substytucji służy krańcowa stopa substytucji. Jest to ten sam miernik, który służył do pomiaru substytucyjności dwóch dóbr. Krańcowa stopa substytucji pierwszego czynnika produkcji względem drugiego pokazuje o ile trzeba zmienić ilość 1 czynnika produkcji, gdy zmienimy ilość 2 o jednostkę i wielkość produkcji ma pozostać na stałym poziomie. Matematycznie ujmując krańcowa stopa substytucji 1 czynnika produkcji względem 2, to pochodna izokwanty produkcji zapisanej w postaci: r 1 = f(r 2 ).

Wybór optymalnej metody produkcji Metoda produkcji Dwa sposoby połączenia ze sobą czynników produkcji są odmienne, gdy różnią się produkcyjnością przynajmniej jednego czynnika produkcji. Takie odmienne sposoby połączenia ze sobą czynników produkcji nazywamy metodą produkcji. Czyli jeżeli do wytworzenia y = 10 wykorzystamy r 1 = 5 i r 2 = 20 a do uzyskania y = 20 będziemy potrzebowali r 1 = 10 i r 2 = 40, to posługujemy się nadal tą samą metodą produkcji, gdyż produkcyjność przeciętna obu czynników jest taka sama. W dalszej analizie ograniczymy się do badania przypadków, gdy wszystkie czynniki produkcji pogrupujemy w 2 zbiory: kapitał rzeczowy i pracę ludzką.

Substytucja pracy i kapitału Zakres substytucji jest tym większy w im dłuższym okresie prowadzimy analizę. Substytucję pracy i kapitału najlepiej widać, gdy rozpatrujemy przypadek, kiedy chcemy wytworzyć produkt o danej wielkości i najpierw staramy się dowiedzieć jakimi metodami produkcji możemy osiągnąć dany cel. Prezentuje to izokwanta produkcji. P K y

Optymalna metoda produkcji Poszukajmy optymalnej metody produkcji, czyli takiej, która maksymalizuje zysk, na danej izokwancie produkcji. W tym celu rozpatrzmy najprostszy przypadek oparty o założenia: 1.Dana jest wielkość produkcji y, którą mamy otrzymać. 2.Dana jest cena, po której będziemy sprzedawali ten produkt. 3.Dostępne są wszystkie znane w danej chwili metody produkcji. 4.Dane są ceny obu czynników produkcji i są one stałe. Wnioski z założeń. 1.Z założenia 1 i 2 wynika, że dany jest przychód E. 2.Jeżeli E jest daną, to maksymalizacja zysku sprowadza się do minimalizacji kosztu całkowitego wytworzenia produktu o wielkości y.

Aby zobaczyć na rysunku, która z metod produkcji jest optymalna, czyli która z nich pozwala wytworzyć dany produkt przy minimalnych nakładach potrzebne będzie nam dodatkowe narzędzie ukazujące koszt zastosowania danej metody produkcji. Będzie to tzw. izokosta lub linia jednakowego kosztu.

Izokostę definiujemy jako linię, która łączy wszystkie metody produkcji, których zastosowanie powoduje powstanie kosztu całkowitego o danej wielkości. Aby zobaczyć jak będzie wyglądała izokosta w naszym przypadku wyprowadźmy wzór na koszty całkowite. q P – cena jednostki pracy, q K – cena jednostki kapitału Dlaczego w tym wzorze nie ma kosztów stałych? W związku z tym, że prowadzimy analizę długookresową, to wszystkie koszty są zaliczone do kosztów zmiennych. Wyprowadźmy wzór na izokostę, pozwalający narysować ją w układzie współrzędnych prezentującym izokwantę produkcji.

Jeżeli ceny obu czynników produkcji są dane, chcemy narysować izokostę, czyli linię, gdzie K c też jest daną, to obrazem graficznym są: 1.Proste o ujemnym nachyleniu określonym przez relację q K /q P. 2.Im dalej od środka układu współrzędnych leży izokosta, tym większy koszt całkowity jest jej przypisany. P K K c2 > K c1

Przypomnijmy: mamy daną izokwantę produkcji i szukamy optymalnej metody produkcji, czyli w tym wypadku, takiej która minimalizuje koszt całkowity uzyskania produkcji o wielkości y. Jak ją znaleźć? P K y Szukamy takiej izokosty, która będzie z jednej strony leżała najbliżej środka układu współrzędnych a z drugiej strony będzie miała punkt wspólny z daną izokwantą produkcji. P* K* Optymalna metoda produkcji

Jak zmieni się położenie optymalnej metody produkcji, gdy np. praca zdrożeje w stosunku do kapitału, czyli gdy relacja q K /q P zmaleje? P K y P1*P1* K1*K1* P2*P2* K2*K2* Do wytworzenia tego samego produktu będzie wykorzystywana metoda produkcji, która w porównaniu do poprzedniej mniej zużywa pracy a więcej kapitału. Tym samym wzrośnie przeciętna przeciętna produktywność pracy a spadnie produktywność kapitału, czyli wzrośnie kapitałochłonność produkcji.

Wyprowadzenie warunku, który musi spełniać optymalna metoda produkcji Optymalną metodą produkcji na danej izokwancie produkcji był ten punkt, który był punktem styczności tej izokwanty z izokostą. Tym samym możemy powiedzieć, że styczna do izokwanty dla optymalnej metody produkcji musi mieć to samo nachylenie jak izokosta. Nachylenie izokosty pokazuje relacja - q K /q P. Nachylenie izokwanty produkcji pokazuje krańcowa stopa substytucji. Dla rysowanego na tym wykładzie układu współrzędnych jest to krańcowa stopa substytucji pracy względem kapitału

Tym samym możemy zapisać, że dla optymalnej metody produkcji musi być spełniona równość: Znak minus z prawej strony równania zniknął, gdyż po lewej pojawił się moduł od wartości, która też jest ujemna. Jeżeli przypomnimy wyprowadzone na wcześniejszym wykładzie twierdzenie na krańcową substytucję jednego czynnika produkcji względem drugiego i zestawimy z powyższym równaniem, to otrzymamy postać: lub

Jeżeli odejdziemy od założenia, że są tylko 2 czynniki produkcji, to ostatnią postać warunku na optymalną metodę produkcji można uogólnić do postaci: Warunek konieczny na wybór optymalnej metody produkcja można zapisać: produkcyjność krańcowa pieniądza wydanego na zakup wszystkich czynników produkcji musi być taka sama. Produkcyjność krańcowa pieniądza wydanego na dany czynnik produkcji pokazuje, o ile wzrośnie wielkość produkcji, gdy zwiększymy ilość tego czynnika produkcji o ilość, którą możemy kupić za 1 złotówkę.

Gdy np. to bardziej opłacalne jest zwiększenie zakupów czynnika produkcji,2 gdyż za 1 złotówkę kupimy tyle 2 czynnika produkcji, że y wzrośnie o 12 a wydając tą samą złotówkę na 1 czynnik produkcji uzyskamy wzrost y tylko o 10. Zwiększając zakupy 2 czynnika produkcji powodujemy, że krańcowa produkcyjność tego czynnika produkcji maleje i tym samym produkcyjność krańcowa pieniądza wydanego na ten czynnik też maleje. Dopóki jednak będzie ona większa od krańcowej produkcyjności pieniądza wydanego na 1 czynnik produkcji, to bardziej opłaca się zwiększać nakłady 2 czynnika produkcji.

Postęp techniczny Postęp techniczny jest pojęciem bardzo trudnym do zdefiniowania, gdyż jest procesem wielowymiarowym. Zdefiniujemy go objawowo. Postępem technicznym są wszystkie te zmiany, których efektem jest przesunięcie izokwanty produkcji, określonej dla danego poziomu produkcji w stronę środka układu współrzędnych. Takie przesunięcie izokwanty oznacza, że tą samą wielkość produkcji potrafimy wytworzyć przy mniejszych nakładach wszystkich czynników produkcji.

Jeżeli w okresie t 1 znaliśmy metody produkcji, które pozwalały wytworzyć produkt o wielkości y, co obrazuje izokwanta produkcji y, t 1 i była stosowana metoda produkcji A, to z chwilą kiedy postęp techniczny pozwala, ten sam produkt y wytworzyć, przy pomocy metod produkcji z izokwanty y, t 2, to: P K y, t 1 A y, t 2 A’ A’’ wybierając metodę A’ uzyskujemy, że ten sam produkt otrzymamy przy mniejszym nakładzie K i stałym P. Wybierając metodę A’’ cała oszczędność skupia się na pracy. Wybierając metodę między A’ i A’’ zmniejszamy nakłady P i K. Tym samym rośnie produktywność obu tych czynników produkcji. Jeżeli wybierzemy metodę A’’’, to wystąpi postęp techniczny, który prowadzi do wzrostu produktywności pracy i spadku produktywności kapitału. A’’’