1 Dr Galina Cariowa

2 Legenda Iteracyjne układy kombinacyjne Sumatory binarne Sumatory - substraktory binarne Funkcje i układy arytmetyczne Układy mnożące

3 Układy arytmetyczne Układ arytmetyczny jest to kombinacyjny układ logiczny, który wykonuje operacje arytmetyczne: dodawanie; odejmowanie; mnożenie; dzielenie liczb binarnych lub liczb dziesiętnych przedstawionych za pomocą kodu binarnego. Podstawowe bloki arytmetyczne : półsumator (ang. half adder) pełny sumator (ang. full adder), Z tych bloków projektowane inne układy arytmetyczne.

4 Układy iteracyjne Jeśli w rozwiązywanym zadaniu nie jest określona liczba zmiennych, wtedy można zaprojektować układ dla jednej lub kilku zmiennych, a następnie łączyć takie układy ze sobą. Takie układy przyjęto nazywać układami iteracyjnymi. Zaleta układów iteracyjnych : możliwość ich łatwego rozbudowywania dla większej liczby zmiennych. Wady układów iteracyjnych: - nie stanowią one minimalnego rozwiązania pod względem liczby bramek; - wnoszą znacznie większe opóźnienie niż klasycznie projektowane układy.

5 Sieć iteracyjna Układy iteracyjne są zbudowane z sieci komórek kombinacyjnych. Podstawowe bloki funkcjonalne realizujące proste funkcje składowe są określane jako komórki, A całą implementację określamy jako sieć komórek. Komórki w sieci są często identyczne Cały blok funkcjonalny jest określany jako sieć iteracyjna.

6 Symbol i-tej komórki dwóch liczb

7 Schemat blokowy układu iteracyjnego

8 Układ wykonujący działania na dwóch wektorach n -bitowych wejściowych A,B i tworzy n -bitowy wektor wyjściowy C.

9 Układ iteracyjny Między każdą parą komórek sieci istnieją dwa boczne połączenia. Liniami przerywanymi zaznaczone opcjonalne połączenia na prawym i lewym krańcu sieci komórek. Liczba zastosowanych połączeń i ich funkcji wpływa zarówno na koszt, jak i na szybkość układu iteracyjnego. Zdefiniujemy komórki wykonujące dodawanie bitów na pojedynczej pozycji, a następnie zdefiniujemy układ realizujący dodawanie dwóch liczb binarnych.

10 Układ realizujązujący dodawanie dwóch liczb binarnych Dodawanie składa się z czterech możliwych operacji elementarnych: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10 Wynik dodawania jest zawsze reprezentowany dwoma bitami, bitem przeniesienia i sumy. Przeniesienie jest dodawane do następnej pary bardziej znaczących bitów. Układ kombinacyjny realizujący dodawanie dwóch bitów jest nazywany półsumatorem. Sumator realizujący sumę trzech bitów (dwóch bitów znaczących i bitu przeniesienia z poprzedniej pozycji) jest nazywany pełnym sumatorem.

11 Półsumator (dodawanie jednobitowych liczb dwójkowych) Tablica prawdy półsumatora i 2 tablicy Karnaugha Wejście – bity dodajnej A i dodajnika B. Wyjście – bity sumy S i przeniesienia C (ang. carry) Z tablicy prawdy można odczytać funkcję boolowskie dla obu wyjść.

12 Schemat logiczny półsumatora Półsumator można zrealizować na jednej bramce EXOR i jednej bramce AND

13 Pełny sumator - Przy dodawaniu bitów oprócz bitów wejściowych trzeba uwzględniać przeniesienie z mniej znaczącej pozycji. Funkcje boolowskie sumatora jednopozycyjnego są funkcjami trzech zmiennych: wartości danych X i Y oraz przeniesienia z mniej znaczącej pozycji Z. Operacja jednobitowego dodawania (dodawania dwóch bitów wraz z przeniesieniami) polega na obliczaniu wartości dwóch funkcji: S –jest binarnym wynikiem dodawania trzech bitów X,Y i Z; C –jest wartością przeniesienia (wyjściowego) na następną pozycję. generuje sumę trzech bitów wejściowych.

14 Pełny sumator Układ generuje sumę trzech bitów wejściowych (dwóch bitów znaczących i bitu przeniesienia z poprzedniej pozycji) suma Tablica prawdy dla funkcji C i S: Przeniesienie wyjściowe Przeniesienie z poprzedniej pozycji

15 Pełny sumator Tablica Karnaugcha dla wyjścia sumy Tablica Karnaugha dla wyjścia przeniesienia Dwupoziomowa implementacja wymaga siedmiu bramek AND i dwóch bramek OR.

16 Pełny sumator Funkcja wyjścia S jest funkcją kontroli nieparzystości : Funkcja wyjścia C może być tak przekształcona, by zawierała operację EXOR na zmiennych X i Y: Schemat logiczny wielopoziomowej implementacji pełnego sumatora.

17 Implementacja 1 –bitowego sumatora na dekoderze i bramce OR

18 Implementacja 1 –bitowego sumatora na dekoderze i bramce OR

19 Przykład. Sumator dwóch czterobitowych liczb binarnych. Projektowanie zwykłego układu kombinacyjnego realizującego podaną funkcję polega na utworzeniu tablicy Karnaugha dla ośmiu zmiennych wejściowych i 4 zmiennych wyjściowych. Już dla niewielkiej liczby sumowanych bitów tablica Karnaugha jest bardzo rozbudowana.

20 Sumator dwóch czterobitowych liczb binarnych W celu uzyskania sumatora dla słów czterobitowych wystarczy: połączyć 4 bloki wyznaczone powyżej, odpowiednio upraszczając blok pierwszy (przeniesienie =0) i ostatni blok (brak przeniesienia).

21 Sumator kaskadowy Równoległy sumator jest układem, który tworzy sumę dwóch liczb binarnych tylko za pomocą kombinacyjnego układu logicznego. Sumator równoległy zawiera n pełnych sumatorów, połączonych równoległe, a by wygenerować sumę wszystkie bity wejściowe są podawane równocześnie. Pełne sumatory połączone w kaskadzie, a wyjście przeniesienia jednego pełnego sumatora jest podawane na wejście przeniesienia następnego pełnego sumatora. Sumator równoległy jest określany jako sumator kaskadowy.

22 4-bitowy sumator kaskadowy tworzy cztery bloki pełnych sumatorów połączonych ze sobą:

23 4-bitowy sumator kaskadowy Układ ma 9 wejść (wejścia dwóch 4-bitowych liczb i wejście przeniesienia C 0 ). kwadratów w tablicy prawdy przy projektowaniu klasyczną metodą 4 sumatory połączonych kaskadowo Nieskomplikowana implementacja Wielokrotne wykorzystywanie identycznych elementów Wykorzystanie układów iteracyjnych Wejście przeniesienia C 0 i wyjście C 4 służą dla dalszej rozbudowy.

24 Sumator kaskadowy Długi czas opóźnienia Duża liczba bramek na ścieżce propagującej przeniesienia Najdłuższa ścieżka przez n- bitowy sumator ma opóźnienie równe opóźnieniu 2n+2 bramek. Alternatywne rozwiązanie- sumator z przeniesieniami jednoczesnymi (ang.carry look-ahead adder).

25 Sumator z przeniesieniami jednoczesnymi (antycypowanymi) Znacznie mniejsze opóźnienie Bardziej skomplikowana struktura sprzętowa Sumator kaskadowy Sumator z przeniesieniami jednoczesnymi Przekształcenie części układu realizującej propagację przeniesień do dwupoziomowego układu logicznego (praca własna)

26 Układ wykonujący odejmowanie A-B Układ składa się z sumatora równoległego i inwerterów umieszczonych między każdym zaciskiem B a odpowiednim wejściem sumatora. 1 Wykonywana operacja : A plus uzupełnienie do 1 liczby B plus 1. To odpowiada A plus uzupełnienie do 2. Uzyskamy A-B, gdy lub uzupełnienie do 2 różnicy B-A, gdy A<B Substraktor- specjalny układ odejmujący

27 Sumator- substraktor Operacje dodawania i odejmowania mogą być połączone w jednym wspólnym sumatorze binarnym. Dla tego celu wprowadza się bramki EXOR dla każdego pełnego sumatora.

28 4-bitowy sumator- substraktor Wejście S steruje operacjami:

29 4-bitowy sumator- substraktor Gdy S=0, mamy. Oraz C 0 =0 Układ realizuje dodawanie A+B Gdy S=1, mamy. Gdy S=1, mamy oraz C 0 =1 Układ wykonuje operacje A plus uzupełnienie do 2 B Wejście S steruje operacjami. Na wejścia każdej bramki EXOR są podawane: sygnał S i jeden z sygnałów B,Bi.

30 Wykrywanie przepełnienia Przepełnienie (nadmiar) – sytuacja, gdy wynik dodawania lub odejmowania dwóch n- bitowych liczb zajmuje n+1 bitów. Logiczny układ do wykrywania przepełnienia w dodawaniu i odejmowaniu.

31 Układ mnożący Iloczyny częściowe są zrealizowane za pomocą bramek AND, sumowane w dwóch półsumatorach HA. Mnożenie dwóch liczb dwubitowych: iloczyn Najmłodszy bit iloczynu powstaje na wyjściu bramki AND nie przechodzi przez sumator

32 Układ mnożący liczbę 4-bitową przez 3 - bitową B 3 B 2 B 1 B 0 - mnożna A 2 A 1 A 0 - mnożnik Aby utworzyć 7- bitowy iloczyn potrzebne są 12 bramek AND i dwa 4 –bitowe sumatory.

33 Inne funkcje arytmetyczne  inkrementowanie  dekrementowanie  mnożenie przez stałą wartość  dzielenie przez stałą wartość  porównywanie z wykrywaniem liczby mniejszej i większej

34 DZIĘKUĘ ZA UWAGĘ