CZY ROŚLINY UMIEJĄ MATEMATYKĘ? Agata Wagner Karina Wasilewska KLASA 1C

ZŁOTY PODZIAŁ ODCINKA Wśród różnych możliwych podziałów odcinka na dwie części jest jeden, który już starożytni Grecy uznali za najdoskonalszy pod względem estetycznym i nazwali złotym albo boskim podziałem

ZŁOTY PODZIAŁ ODCINKA a Punkt dzielący odcinek leży na nim w takim miejscu, że cały odcinek tak się ma do swojej większej części, jak większa część do mniejszej. Stosunek długości odcinków a : x nazywamy liczbą złotą i oznaczamy grecką literą φ (fi). x a-x a x x a-x a

Zauważmy że czyli Stąd możemy już obliczyć wartość złotej liczby. Przekształcając ostatnie równanie otrzymujemy równoważne równanie kwadratowe, którego dodatnim rozwiązaniem jest φ to liczba niewymierna, więc jej rozwinięcie można podać tylko w przybliżeniu.

ZŁOTY PODZIAŁ W ARCHITEKTURZE Partenon, Świątynia Ateny na Akropolu w Atenach, zbudowana w latach 448-432 p.n.e. Fronton świątyni mieścił się w prostokącie, w którym stosunek boków wyrażał się liczbą złotą (φ).

Egipt - Piramidy w Gizie Jeżeli weźmiemy przekrój Wielkiej Piramidy, to otrzymamy trójkąt prostokątny, nazywany Trójkątem Egipskim. Stosunek przeciwprostokątnej (wysokości ściany bocznej) do podstawy (połowa wymiaru podstawy) wynosi 1,61804 i różni się od liczby φ tylko o jeden na piątym miejscu po przecinku.

Leonardo Fibonacci Podróżnik i kupiec z Pizzy Autor „Liber abaci” – kompendium ówczesnej wiedzy matematycznej (1202 r.), Zwolennik i propagator dziesiątkowego systemu pozycyjnego, Autor słynnego zadania o królikach.

Zadanie Fibonacciego: Ile par królików może spłodzić jedna para w ciągu roku, jeśli: każda para rodzi nową parę w ciągu miesiąca, para staje się płodna po miesiącu, króliki nie zdychają?

W jaki ciąg układają się liczby par królików w kolejnych miesiącach?

Ciąg Fibonacciego 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … Liczby z ciągu nazywane są liczbami Fibonacciego, pierwszy i drugi wyraz to 1, każdy następny to suma dwóch poprzednich, postać rekurencyjna ciągu (fn – n-ty wyraz ciągu):

Ciąg Fibonacciego 1,1,2,3,5,8,13,21,34,… a złota liczba Dzieląc każdą z liczb tego ciągu przez poprzednią otrzymujemy coraz lepsze przybliżenia złotej liczby: 3:2=1,5 5:3=1,(6) 8:5=1,6 13:8=1,625… 89:55=1,61818… 144:89=1,61797…

Liczby Fibonacciego w przyrodzie Ciąg Fibonacciego ma liczne odpowiedniki w zjawiskach przyrody, np. w biologii, w botanice; ma je więc także liczba φ .

ZADANIE Drzewo co roku wypuszcza nowe pędy, a każda nowa gałąź wypuszcza nowy pęd dopiero po dwóch latach. Ile gałęzi będzie miało drzewo po 6 latach?

Złota spirala Wpisując zaś w kolejno odcinane kwadraty ćwiartki okręgów, otrzymujemy złotą spiralę.

Kolejne punkty wyznaczające podział leżą na spirali równokątnej

Muszle ślimaków zwijają się zgodnie ze spiralą Fibonacciego Świat zwierząt Muszle ślimaków zwijają się zgodnie ze spiralą Fibonacciego

Ciąg Fibonacciego 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,… Mimo pozornej symetrii liczby spiral w obu kierunkach nie są jednakowe. Jeśli je policzymy, otrzymamy kolejne liczby Fibonacciego. W większości tarcz słonecznika jest to 34 i 55, choć u pewnych gatunków bywa 21 i 34 lub 55 i 89.

Ciąg Fibonacciego 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,… Kwiat kalafiora(5,8)

Ciąg Fibonacciego 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,… Z brokułami (21 i 13)

Ciąg Fibonacciego 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,… Z szyszkami (13,8)

CZYM JEST FILOTAKSJA? Filotaksja (z greckiego: phyllo = liść, taxis = porządek) to sposób ułożenia powtarzających się elementów budowy rośliny (takich jak liście, pędy boczne, kwiaty, płatki, ziarna) charakterystyczny dla danego gatunku. Tworzą one najczęściej układy spiral, których parametry są związane z liczbami Fibonacciego i złotą liczbą.

a. skrętoległa b. nakrzyżległa c. naprzeciwległa d. okółkowa FILOTAKSJA: a. skrętoległa b. nakrzyżległa c. naprzeciwległa d. okółkowa

Ulistnienie okółkowe Występuje u roślin, u których z węzła wyrasta więcej niż jeden liść. W zależności od liczby liści wyrastających z węzła wyróżnia się okółki dwulistne, trójlistne itd. W przypadku okółków złożonych z dwóch liści wyrastających naprzeciw siebie – układ taki nazywa się ulistnieniem naprzeciwległym. Gdy takie pary liści ułożone są w kolejnych węzłach pod kątem prostym względem siebie mówi się o ulistnieniu nakrzyżległym.

Ulistnienie okółkowe u moczarki kanadyjskiej

Ulistnienie okółkowe u jałowca pospolitego

Ulistnienie skrętoległe Występuje wówczas, gdy liście wyrastają pojedynczo kolejno w linii mającej kształt helisy. Układ liści skrętoległych opisywany jest za pomocą ułamka zwanego dywergencją. Jego licznik wyraża liczbę obrotów helisy dookoła łodygi występujących między dwoma liśćmi rosnącymi pionowo nad sobą. W mianowniku wstawia się liczbę liści wyrastających na helisie pomiędzy tymi liśćmi. Najprostszy układ skrętoległy określany jest mianem ulistnienia naprzemianległego. Liczba obrotów helisy wokół łodygi pomiędzy dwoma liśćmi rosnącymi w tej samej prostnicy należy zwykle do liczb Fibonacciego.

Ulistnienie skrętoległe u wierzby szarej

Ulistnienie naprzemianległe u kliwii cynobrowej

Bibliografia Podręcznik do Biologii ‘Biologia 1’ wydawnictwa Operon; www.wikipedia.pl http://www.biolog.pl/encyclopedia-387.html http://portalwiedzy.onet.pl/95990,,,,filotaksja,haslo.html http://calcoolator.pl/ciag_fibonacciego.html https://www.youtube.com/watch?v=wb7kPaM8cfg ‘Biologia na 6’ wydawnictwa Nowa Era; http://mathworld.wolfram.com/Phyllotaxis.html Church, A. H. The Relation of Phyllotaxis to Mechanical Laws.  http://www.kaktusy-sukulenty.pl/Gola_E_ki_6%281%29.pdf Inne źródła własne;

DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ 