Efektywność w algorytmice i zarządzaniu mgr inż. Marek Malinowski Zespół Matematyki i Fizyki Wydz. BMiP PW Płock - wybrane aspekty teorii złożoności obliczeniowej.

Prezentacja na temat: "Efektywność w algorytmice i zarządzaniu mgr inż. Marek Malinowski Zespół Matematyki i Fizyki Wydz. BMiP PW Płock - wybrane aspekty teorii złożoności obliczeniowej."— Zapis prezentacji:

1

2 Efektywność w algorytmice i zarządzaniu mgr inż. Marek Malinowski Zespół Matematyki i Fizyki Wydz. BMiP PW Płock - wybrane aspekty teorii złożoności obliczeniowej

3 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski Wstęp do prezentacji u O sobie u dorobek, doświadczenie zawodowe u Cel prezentacji u motto u Uwagi ogólne u nietypowość

4 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski Wstęp do prezentacji Wstęp do prezentacji – dorobek, doświadczenie zawodowe  „Badania statystyczne i numeryczne oraz automatyzacja procesów obliczeniowych z wykorzystaniem maszyn liczących do oceny wytrzymałości i funkcjonalności kombajnu zbożowego o wysokiej wydajności”. OBR Maszyn Żniwnych, Płock, 1978-81.  „System informowania kierownictwa dla ZT Telkom-Telfa w Bydgoszczy”. ZT Telkom-Telfa Bydgoszcz, 1981.  „Opracowanie systemu obsługi sfery zbytu na minikomputerze MERA-305 dla ZT Telkom-Telfa w Bydgoszczy”. ZT Telkom-Telfa, Bydgoszcz, 1982.  „Badania pługów dużej wydajności”. Przemysłowy Instytut Maszyn Żniwnych, Poznań, 1982-85.  „Opracowanie projektu i zainstalowanie przepływomierza korelacyjnego w kanale ściekowym”. Przedsiębiorstwo Wodociągów i Kanalizacji, Płock, 1986-89.  „Projekt, wykonanie i uruchomienie zestawu pomiarowego zapewniającego ciągłe wskazania wartości stężenia zawiesiny w aparatach sekcji polimeryzacji wydziału polipropylenu”. MZRiP, Płock, 1988-89.  „Projekt, wykonanie i uruchomienie zestawu pomiarowego zapewniającego ciągłe wskazania wartości stężenia zawiesiny w aparatach sekcji polimeryzacji wydziału polipropylenu”II oraz prowadzenie bilansu surowcowo-energetycznego”. MZRiP, Płock, 1988-89.  Projekty, budowa i modernizacja sieci LAN PW Filii w Płocku. Lata 1993 i nadal.

5 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski Wstęp do prezentacji Wstęp do prezentacji – motto … Nie mogła być błędna tylko dlatego, że była prosta … Nie było dokładnie wiadomo, do czego prowadzi, jednak było dość oczywiste, że powinna być udostępniona, W zasadzie chciałem opublikować ten pomysł I powiedzieć: Oto zgrabna koncepcja – wyjaśnia na czym polega ten problem, wyjaśnia to, że jego rozwiązanie jest osiągalne i staje się jasno zdefiniowanym Problemem badawczym. Teraz niech wkroczą inni i zobaczymy, co jeszcze będziemy mogli znaleźć …. [cytat słów Ralpha Merkle – Steven Levy, „rewolucja kryptografii”, WNT, W-wa, 2002, s. 89-90] CEL  Zainspirowanie prób wykorzystania metodologii teorii złożoności w zarządzaniu  Refleksja nad przyszłością zastosowań informatyki

6 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski Wstęp do prezentacji Wstęp do prezentacji – nietypowość (3 wymiary dylematów) PrzekazWymiar ludzkiKTO dla KOGO Wymiar merytoryczny o CZYM CEL (Nie)poprawność warsztatowa  Kilka lat i kilka problemów w 20 minut  „prapremiera” tematu

7 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski Wstęp do prezentacji Wstęp do prezentacji – nietypowość (3 wymiar) kSAT  jednostajna sieć wielomianowa kSAT kSAT  uogólniony model referencyjny kSAT kSAT  algorytm wielomianowy kSAT kSAT  równoległy algorytm kSAT nwd(a,b)  równoległy algorytm nwd(a,b) mult(n)  równoległy algorytm mult(n)  mult(n)primesNP-zupełne  mult(n) i primes są NP-zupełne  P=NP  NC=P=NP  NC=P  NC=P=NP

8 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski Wstęp do prezentacji Wstęp do prezentacji krok po kroku plan prezentacji Wyjaśnienie tytułu Glosarium W kręgu faktoryzacji Przyszłość bez niedeterminizmu (w algorytmice) Kontekst badań Wybór zadania badawczego Koncepcja modelu MFK Metoda badawcza Wyniki badań Wnioski (novum pracy, wkład do nauki) versus

9 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski Wyjaśnienie tytułu Glosarium W kręgu faktoryzacji Przyszłość bez niedeterminizmu (w algorytmice) Wstęp - geneza tematu, inspiracje Dziedzina i przedmiot badań Aktualny status problemu - przegląd Cel i tezy pracy F ACTORING MFK koncepcja modelu MFK metodyka badań wyniki badań P v NP Wnioski – P v NP nowa perspektywa Bibliografia Wstęp do prezentacji Wstęp do prezentacji krok po kroku plan prezentacji versus

10 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski Wyjaśnienie tytułu Wyjaśnienie tytułu – geneza i inspiracje Artykuł prof. Ryszarda Tadeusiewicza „O potrzebie naukowej refleksji nad rozwojem społeczeństwa informacyjnego” Wizja Społeczeństwo informacyjne Wszystko będzie lepsze: - działanie przedsiębiorstw i firm - e-handel, e-usługi (bankowe) - nowe formy demokracji - dostęp do dóbr kultury i nauki - telepraca - telemedycyna - teleedukacja......... Warunki urzeczywistnienia  bezpieczeństwo wymiany informacji  nowe prawodawstwo Zagrożenia  niepewność kryptografii cyfrowej  nieprzystawalność systemów prawnych

11 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski Wyjaśnienie tytułu Wyjaśnienie tytułu – geneza i inspiracje

12 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski Wyjaśnienie tytułu Wyjaśnienie tytułu – dlaczego efektywność Efektywność – bo wspólnota algorytmiki i zarządzania Zarządzanie – klasyczna definicja:  Sztuka bądź praktyka rozumnego stosowania środków dla osiągnięcia wyznaczonych celów.  Zarządzanie to działania polegające na dysponowaniu zasobami  Zarządzanie to zestaw działań (planowanie, organizacja, motywowanie, kontrola) skierowanych na zasoby i wykorzystywanych z zamiarem osiągnięcia celów. Algorytmika – klasyczna definicja algorytmu: Opis uporządkowanych jednoznacznych działań, określających skończony proces i prowadzących do uzyskania zamierzonego rezultatu

13 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski Wyjaśnienie tytułu Wyjaśnienie tytułu – efektywność w zarządzaniu Przyjęcie zamówienia weryfikacja zamówienia Sprawdzenie zapasów magazynowych Skierowanie do produkcji Realizacja zamówienia Wysyłka zamówienia Przyjęcie, weryfikacja, sprawdzenie, skierowanie zamówienia Realizacja zamówienia Wysyłka zamówienia

14 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski Wyjaśnienie tytułu Wyjaśnienie tytułu – efektywność w algorytmice „Ogradzanie śpiących tygrysów” – zbudować najmniejszy wielobok (powłokę wypukłą) Dla każdego potencjalnego odcinka sprawdzamy, czy (N – 2) punktów leży po tej samej stronie. (N punktów to N 2 odcinków) znajdź „najniższy” punkt posortuj pozostałe punkty wg kąta, który tworzy z linią poziomą połączenie ich z P 1 zacznij od punktów P 1 i P 2 jako należących do bieżącej powłoki wykonaj co następuje dla I od 3 do N:.....

15 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski Wyjaśnienie tytułu Wyjaśnienie tytułu – dlaczego faktoryzacja Faktoryzacja – bo problem znany powszechnie Towarzyszy nam od ponad 2 tys. lat; dla małych liczb – łatwy, dla dużych – trudny Faktoryzacja – bo na założeniu trudnej rozwiązalności bazuje szereg rozwiązań współczesnej kryptografii cyfrowej Szyfrowanie z kluczem publicznym, podpis elektroniczny

16 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski Fakt 1: Kluczowe dziedziny teorii obliczeń teoria automatów - definiuje i bada własności modeli obliczeń obliczalność - klasyfikuje problemy na rozwiązywalne i nierozwiązywalne złożoność -klasyfikuje problemy na łatwe i trudne Fakt 2: Charakterystyki obliczeń definiowane są przez sparametryzowanie modeli obliczeń -automaty skończone i automaty ze stosem tryb obliczeń -obliczenia deterministyczne i niedeterministyczne zasoby - czas i pamięć ograniczenia - funkcje na zbiorze liczb naturalnych ( w notacji O(.) ) Te cztery elementy składają się na wykorzystywany aparat formalny Glosarium Glosarium – domena teorii złożoności

17 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski Fakt 3: Kwestia P versus NP Kwestia P versus NP - wynik braku rozstrzygnięcia relacji między dwiema klasami zdefiniowanymi w oparciu o formalizm deterministycznego i niedeterministycznego atomatu, klasą P (problemy łatwe z wielomianowym czasem rozstrzygnięcia) i klasą NP (problemy trudne z wykładniczym czasem rozstrzygnięcia i wielomianowym czasem weryfikacji). P versus NP Dwie możliwe sytuacje P versus NP P NP P = NP Drogi rozstrzygnięcia kwestii P v NP (wynik twierdzenia Cooka-Levina): l dowód, że dla dowolnego z licznych problemów NP-zupełnych dolne ograniczenie złożoności algorytmicznej ma postać wykładniczą l skonstruowanie algorytmu wielomianowego dla dowolnego z licznych problemów NP-zupełnych Glosarium Glosarium – aktualny status badań

18 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski Cooka - Levina Fakt 4: Twierdzenie Cooka - Levina u Między pewnymi problemami NP zachodzi związek - ich złożoność czasowa związana jest ze złożonością całej klasy. Wszystkie takie problemy nazywane są problemami NP - zupełnymi. u Pierwotnym problemem NP - zupełnym jest problem spełnialności SAT. u Przynależność problemu do klasy NP - zupełnych ustalana jest poprzez mechanizm redukcji wielomianowej. SAT jest NP - zupełny SAT € P P = NP Ogólnie redukcja to sposób przekształcenia jednego problemu w drugi tak, by z rozwiązania drugiego problemu można było skorzystać przy rozwiązaniu pierwszego problemu. Fakt 5: Redukcja przez odwzorowanie Redukcja przez odwzorowanie oznacza, że istnieje obliczalna funkcja, która przekształca przykłady problemu A w przykłady problemu B. Jeśli jeden problem redukuje się przez odwzorowanie do drugiego, wcześniej rozwiązanego, to można to wykorzystać do uzyskania rozwiązania pierwszego problemu. Glosarium Glosarium – aktualny status badań (cd)

19 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski *) Willam I. Gasarch, 2002, The P =? NP. Poll Omówienie sondażu - Willam I. Gasarch, 2002, The P =? NP Poll 3 pytania, 100 respondentów - nie wszyscy udzielili odpowiedzi na każde z postawionych pytań. 1 0 When Do You Think P =? NP Will Be Resolved? 2 0 How Will it Be Resolved?- 61P ≠ NP 9P = NP 8odpowiedzi niejednoznaczne 3 0 What Techniques Will be Used? 11kombinatoryka i teoria złożoności 9logika 10matematyka 6mieszane (w tym 2 - przez konstrukcję algorytmu wielomianowego) 16nowe - jeszcze nie wypracowane Znamienne, że 36 respondentów twierdzi, że techniki są już znane, tylko nie potrafimy ich zastosować 51213105124010 5 2002- 2009 2010- 2019 2020- 2029 2030- 2039 2040- 2049 2050- 2059 2060- 2069 2070- 2079 2080- 2089 2090- 2099 późniejnigdy Glosarium Glosarium – aktualny status badań (cd)

20 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski Glosarium Glosarium – notacja (.) 5N N3N3 N5N5 1.2 N 2N2N N 10 25 bilion miliard Liczba mikrosekund od „wielkiego wybuchu” Liczba mikrosekund w jednym dniu 248163264128256512 „LEPSZY” dla nas jest algorytm, gdy czas nieznacznie rośnie dla rosnących znacznie danych Czy jest to możliwe ??? Subtelność notacji O ( )  nie mówimy np., że to dotyczy operacji porównań, chociaż właśnie je liczyliśmy  nieistotny jest współczynnik, tj. nie obchodzi nas czy algorytm zajmie czas N, 3N, 100N czy N/6. Każdy z nich ma własność taką, że liniowo rośnie wraz z N czas= f ( N danych)

21 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski Glosarium Glosarium – hierarchia klas LOGTIME PTIME NPC co-NPTIME NPTIME EXPTIME NC  P  NP Klasa NC Klasa NC – czas logarytmiczny przy całkowitej pracy wielomianowej (algorytmy równoległe) Klasa NPC Klasa NPC – wprost trudno rozwiązywalne – potwierdzenia łatwe NP-zupełne Reprezentatywne problemy NP-zupełne Ustalanie prawdy logicznej, problemy grafowe, planowanie, (zagadnienia transportowe, „układanki”)

22 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski Glosarium Glosarium – równoległość Nazwa Rozmiar (liczba procesorów) Czas (najgorszy przypadek) Iloczyn (czas x rozmiar) Sortowanie bąbelkowe 1O ( N 2 ) Sortowanie przez scalanie 1O ( N log N ) Zrównoleglone sortowanie przez scalanie O ( N ) O ( N 2 ) Sieć sortująca parzysto- nieparzyście O ( N (log N) 2 )O ( ( log N ) 2 )O ( N (log N) 4 ) „Optymalna” sieć sortująca O ( N )O ( log N )O (N log N ) Równoległość pomaga, ale kosztuje

23 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski W kregu faktorzyacji W kregu faktorzyacji – problem mult(n) W klasycznym ujęciu teorii liczb, problem faktoryzacji liczby oznacza jej rozkład na czynniki pierwsze. Problem mult(n) może być traktowany jako szczególny przypadek problemu faktoryzacji ((dla znanego iloczynu n dwóch liczb pierwszych p i q należy ustalić ich wartości).

24 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski W kregu faktorzyacji W kregu faktorzyacji – koncepcja modelu MFK  Każdą liczbę nieparzystą można przestawić w postaci 2∙k+1, gdzie kєN  Iloczyn n dwóch liczb pierwszych p=2∙m+1 oraz q=2∙k+1 można przedstawić w postaci n = p∙q = 4∙m∙k+2∙(m+k)+1  Iloczyn dwóch liczb pierwszych - suma dwóch członów, multiplikatywnego i addytywnego  Interpretacja członu multiplikatywnego - hiperbola równoosiowa  Interpretacja członu addytywnego – prosta

25 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski W kregu faktorzyacji W kregu faktorzyacji – koncepcja modelu MFK  Wyrażenie n = 4∙m∙k+2∙(m+k)+1 po elementarnym przekształceniu można traktować jako rodzinę sum członu multiplikatywnego i addytywneg0 Prawa strona reprezentuje całą rodzinę sum członów multiplikatywnych b i i członów a i addytywnych, Zmniejszenie członu multiplikatywnego dla zachowania relacji równości z lewą stroną zwiększa odpowiednio człon addytywny.

26 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski W kregu faktorzyacji W kregu faktorzyacji – koncepcja modelu MFK Ciągi {a i }, {b i } tworzą ciągi arytmetyczne, a odpowiednie wyrazy a i =m i +k i oraz b i =m i ∙k i mogą być interpretowane jako prosta i gałąź hiperboli równoosiowej. Wtedy w układzie O(mk) punkty przecięcia prostej z hiperbolą są rozwiązaniem układu równań m+k=a i oraz m∙k=b i, które sprowadza się do równania kwadratowego k 2 -a i ∙k+b i =0. brbr bibi b0b0 a0a0 aiai arar mrmr krkr a0a0 aiiaii b0b0 bibi b0ib0i a0a0

27 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski W kregu faktorzyacji W kregu faktorzyacji – koncepcja modelu MFK Zbiór par {a i,b i } reprezentuje rodzinę równań kwadratowych zawierające szukane rozwiązanie m r i k r ( liczby p=2∙m r +1 i q=2∙k r +1 są czynnikami iloczynu n=p∙q). Warunek istnienia rozwiązań dla tak zdefiniowanej rodziny równań. Pamiętając, że {a i } oraz {b i } tworzą ciągi arytmetyczne warunek ten przyjmie postać Δ i =(a 0 +2∙i) 2 -4∙(b 0 -i) ≥ 0, a po uporządkowaniu wyrazów lewej strony uzyskamy 4∙i 2 +4∙(a 0 +1)∙i+(a 0 2 -4∙b 0 ) ≥ 0. Tak więc w oparciu o tą nierówność możemy ustalić wartości dla których w zbiorze liczb rzeczywistych R zwracane są rozwiązania m i oraz k i rozpatrywanej rodziny równań.

28 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski W kregu faktorzyacji W kregu faktorzyacji – koncepcja modelu MFK Podstawowe własności modelu Fakt 1: ciąg rozwiązań {m i } jest ciągiem rosnący (tj. m i+1 >m i ), ciąg rozwiązań {k i } jest ciągiem malejącym. Fakt 2: różnica m i -k i jest określana przez pierwiastek kwadratowy równania reprezentowanego przez parę {a i, b i }. Fakt 3: dla iloczynu n czynników p i q takich, że ich różnica jest mała (nie jest większa niż 4 √n), w modelu MFK rozwiązanie zwracane jest w czasie O(1). Uwaga: nie przesądza to jeszcze kompromitacji szyfrowania z kluczem publicznym. Algorytmy szyfrowania wykorzystujące liczby pierwsze do ustalania kluczy, nakładają na nie pewne ograniczenia:, w tym różnica p-q nie powinna być zbyt mała.

29 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski W kregu faktorzyacji W kregu faktorzyacji – koncepcja modelu MFK

30 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski W kregu faktorzyacji W kregu faktorzyacji – analiza przydatności modelu w pytaniach Pytanie: Czy model MFK posiada cechy algorytmów logarytmicznych?  uporządkowany zbiór danych (wyszukiwanie w posortowanej liście)  ustalony zakres(y) pełnego obszaru rozwiązań  zawężanie obszaru rozwiązań wg ustalonego kryterium Odpowiedź: spełniane są dwa pierwsze wymogi Pierwszy – bo ciągi rozwiązań {m i } i {k i } rodziny równań kwadratowych modelu są monotonicznie rosnące i malejące odpowiednio. Drugi – bo zakładając, że Iloczyn n=p.q należy do przedziału (2 2k-1, 2 2k -1), możemy rozpatrywać nie więcej niż 2k przypadków (gdy dwie liczby całkowite zapisane binarnie mają długości w 1 i w 2, to długość liczby binarnej będącej ich iloczynem jest równa w=w 1 +w 2 lub w=w 1 +w 2 -1). Sprawdzenie spełnienia trzeciego wymogu konstrukcji algorytmu logarytmicznego dla problemu mult(n) staje się tezą badawczą.

31 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski W kregu faktorzyacji W kregu faktorzyacji – metodyka badań Podstawowa metoda badawcza  Planowanie eksperymentów

32 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski W kregu faktorzyacji W kregu faktorzyacji – wyniki symulacji w modelu MFK Przykład 1: Dany jest iloczyn n= 98722727 szukanych dwóch liczb pierwszych (w przykładzie są to liczby p=9973 oraz q=9899). W tym przypadku a 0 =1, b 0 =24680681, a wyznaczony przez i b =4968 punkt bazowy modelu MFK zwraca rozwiązanie m=4986 oraz k=4949. iAiAi bibi ΔiΔi mimi kiki 0124680681-98722723 --- … ……… ……… 4967993324675715-38371 --- 496899352467571413693749864949 496999372467571341117202,7732725069,8874867,113 497099392467571280873284,3817865111,6914827,309 … ……… ………

33 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski W kregu faktorzyacji W kregu faktorzyacji – wyniki symulacji w modelu MFK Przykład 2: Dany jest iloczyn n= 32920873 szukanych dwóch liczb pierwszych (w przykładzie są to liczby p=9973 oraz q=3301). W tym przypadku a 0 =0, b 0 =8230218, a rozwiązanie m=4986 oraz k=1650 zwracane jest dla i=3318 istotnie oddalonego od punktu bazowego i b =2869. iaiai bibi ΔiΔi mimi kiki 00 8230218-32920872 --- ………… ……… 2868 57368227350-7704 --- 2869 5738822734915248123,4827922930,7412807,259 2870 5740822734838208195,4686682967,7342772,266 … ……… ……… 3317 66348226901111023523332,019214983,011650,99 3318 6636822690011128896333649861650 3319 66388226899111554483339,977254988,9891649,011 … ……… ………

34 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski W kregu faktorzyacji W kregu faktorzyacji – wyniki symulacji w modelu MFK Przykład 3: Dany jest iloczyn n= 98762619. W przykładzie jest to iloczyn liczby pierwszej p=9973 oraz liczby złożonej q=9903=3∙3301 (różnica p i q jest mała – rozwiązanie więc powinno być zwrócone w punkcie bazowym i b ). W tym przypadku a 0 =1, b 0 =24690654, a rozwiązanie w punkcie bazowym m=4986 określa liczbę p natomiast k=4951 iaiai bibi ΔiΔi mimi kiki 01 24690654-98762615 --- … ……… ……… 4967 993524685687-38523 --- 4968 99372468568612253549864951 4969 99392468568540981202,4376455070,7194868,281 ………… ……… 8303 166072468235117706304513306,503914956,751650,248 8304 166092468235017712948113309149591650 8305 166112468234917719592513311,49614961,251649,752 … ……… ………

35 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski W kregu faktorzyacji W kregu faktorzyacji – podstawowe wnioski Podstawowe wnioski  Model MFK jest przydatny nie tylko przy rozwiązywaniu problemu mult(n) jako szczególnego przypadku faktoryzacji – jest modelem ogólnego problemu rozkładu liczb na czynniki pierwsze.  Cała przestrzeń rozwiązań zawiera w sobie wszystkie możliwe kombinacje iloczynów czynników pierwszych zadanej liczby n i zwraca je w sposób uporządkowany.  W ogólnym przypadku dla n=p 1 p 2 …p l, model MFK zawiera rozwiązania określające wszystkie możliwe kombinacje iloczynów po 2, 3 do (l-1) czynników.  Model charakteryzuje mechanizm „bąbelkowy” – umożiwiający poprzez „pozorne komplikowanie” problemu pierwotnego sprowadzenie rozwiązania do punktu bazowego określanego przez pierwszy nieujemny wyróżnik rodziny równań kwadratowych.

36 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek Malinowski Przyszłość bez niedeterminizmu Przyszłość bez niedeterminizmu – wizja UTOPII Co jeśli P = NP? Jeśli P = NP – w szczególności, jeśli problem NP–zupełny, jak 3SAT, miałby bardzo efektywny algorytm w czasie O(n 2 ), wtedy świat musiałby być jakąś Utopią.  Matematyków można by zastąpić programami efektywnie wyszukującymi twierdzenia (na co wskazał Kurt Gödel w swoim liście w 1956 r., a co dopiero odkryto 3 dziesięciolecia później).  Wynalazcy i inżynierowie byliby wspomagani przez pakiety software, które projektowałyby od ręki idealne części lub „gizmo” dla danego celu.  Projektanci VLSI mogliby projektować optymalne układy przy minimalnych wymaganiach mocy.

37 Wydz. BMiP Zakład Matematyki i Fizyki - Marek MalinowskiLiteratura  Harel D., Rzecz o istocie informatyki. Algorytmika, WNT, 1992  Papadimitriou H. Ch.,Złożoność obliczeniowa, WNT, 2007  Brookshear G. J., Informatyka w ogólnym zarysie,WNT, 2003