autorzy: Michał Przykucki Małgorzata Sulkowska

Prezentacja na temat: "autorzy: Michał Przykucki Małgorzata Sulkowska"— Zapis prezentacji:

1 Wybór wierzchołka przy losowym przeszukiwaniu grafu (PRZYPADEK GRAFU SKIEROWANEGO)
autorzy: Michał Przykucki Małgorzata Sulkowska promotor: dr hab. Michał Morayne

2 Klasyczny problem wyboru najlepszej sekretarki
Algorytm optymalny: „czekaj do chwili Tn=min {i: 1/i+1/(i+1)+...+1/(n-1)<1} i w tym lub po tym czasie wybierz pierwszą kandydatkę, która jest najlepsza spośród przesłuchanych (ewentualnie ostatnią)”. Asymptotyka prawdopodobieństwa sukcesu: Po raz pierwszy rozwiązanie ww. problemu opisał w 1961 D.Lindley w pracy Dynamic programming and decision theory.

3 Analiza przykładowej permutacji sześcioelementowej

4 Wyszukiwanie jednego z dwóch skrajnych wierzchołków
Algorytm optymalny: „zatrzymaj się, gdy obserwowany wierzchołek jest w danej chwili maksymalny bądź minimalny oraz prawdopodobieństwo tego, że poszukiwany wierzchołek znajduje się wśród oczekujących, wynosi zero”. Asymptotyka prawdopodobieństwa sukcesu:

5 Wyszukiwanie jednego z dwóch najwyższych wierzchołków
Algorytm optymalny: „zatrzymaj się, gdy obserwowany wierzchołek jest w danej chwili pierwszy bądź drugi oraz prawdopodobieństwo tego, że wierzchołek drugi całego grafu znajduje się wśród oczekujących, wynosi zero”. Oszacowanie prawdopodobieństwa sukcesu:

6 Dowodzenie optymalności zaprojektowanych algorytmów
Funkcja swobody permutacji Sn: Funkcja swobody drugiego rzędu permutacji Sn: Po sprawdzeniu m wierzchołków ścieżki mamy:

7 Dowodzenie optymalności zaprojektowanych algorytmów, c.d.
Niech teraz m będzie wierzchołkiem maksymalnym grafu indukowanego przez {1 , …, m }. Mamy W sytuacji, gdy m jest drugim wierzchołkiem swojej komponenty, mamy

8 Dowodzenie optymalności zaprojektowanych algorytmów, c.d.
Zatem gdy oraz m jest pierwszym lub drugim wierzchołkiem swojej komponenty, mamy Aby pokazać, iż zatrzymanie się wcześniej, niż nakazuje nasza reguła, nie może dać większego p-stwa sukcesu, stosujemy metodę zliczania prawdopodobieństw zdarzeń elementarnych sprzyjających naszemu algorytmowi. Ostatecznie dostajemy

9 Dziękuję za uwagę!