Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

1 macierzy. Sposoby Macierz odwrotna odwracania Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "1 macierzy. Sposoby Macierz odwrotna odwracania Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym."— Zapis prezentacji:

1

2 1 macierzy. Sposoby Macierz odwrotna odwracania Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym.

3 2 W prezentacji w której wprowadziliśmy trochę dziwne mnożenie macierzy, zdefiniowaliśmy pojęcie macierzy odwrotnej i podaliśmy sposoby konstruowania macierzy odwrotnej dla macierzy drugiego stopnia. Przypomnijmy je. Jak znaleźć macierz odwrotną do macierzy : 1. Z definicji, szukamy takiej macierzy, by ich iloczyn był równy macierzy jednostkowej. Z definicji mnożenia macierzy otrzymamy układ równań : Rozwiązując go otrzymamy : Zatem macierzą odwrotną do macierzy jest macierz Sprawdź.

4 3 2. Wyprowadziliśmy ogólny wzór na automatyczne budowanie macierzy odwrotnej 2-go stopnia. Przypomnijmy je : W myśl tych wzorów, podajmy macierz odwrotną do Sprawdź. * * * Jak znaleźć macierz odwrotną do macierzy : Tak jak poprzednio, ale zdajemy sobie sprawę, że będzie więcej obliczeń a przy wyprowadzeniu ogólnych wzorów, bardziej skomplikowane. Czy również tak łatwo będzie wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy trzeciego i wyższych stopni ? Tego chyba nikt nie oczekuje. ? ? ? ? jest przekształcenia algebraiczne

5 4 Czy wzory na tą macierz odwrotną, warto wyprowadzać jak to zrobiliśmy Nie, bo nawet gdybyśmy bezbłędnie przebrnęli przez tasiemcowe przekształcenia, to z otrzymanych wzorów nie zauważylibyśmy sposobu na znalezienie macierzy odwrotnej. Studenci na wykładach, w podręcznikach, skryptach dostają gotowy przepis na otrzymanie macierzy odwrotnej. Ale sądzę, że każdy jest ciekaw, jak samodzielnie znaleźć Na studiach, nie ma czasu na taką dociekliwość. My mamy czas, więc spróbujmy. Ale powróćmy jeszcze do macierzy odwrotnej 2-go stopnia. Drugi wyznacznik zapiszmy wygodniej. Teraz zastanówmy się jak z pierwszej macierzy uzyskać trzecią. podany przez wykładowców wzór. dla macierzy drugiego stopnia ?

6 5 Zastosowane przekształcenia wyraźmy za pomocą terminów związanych z pojęciem macierzy, czyli wykorzystajmy pojęcia : wiersz, być może, potrzebne będzie określenie położenia wyrazu macierzy, bądź operacja jaką stosowaliśmy przy obliczaniu wyznacznika, a mianowicie brania dopełnienia algebraicznego wyrazu. Jak przekształcićaby otrzymać kolumna, Jeżeli dobrze przyjrzymy się macierzy, weźmiemy pod uwagę i zauważymy, że w miejsce a występuje d to można zauważyć, że może pierwszą macierz należy zastąpić macierzą dopełnień. Zobaczmy : Niestety, nie uzyskaliśmy drugiej macierzy. Ale ….jesteśmy blisko tej macierzy, należy tylko ….. przestawić kolumny jako wiersze !! podane sugestie prawie ją mamy, ? ? ?

7 6 W teorii macierzy, operację zamiany kolumn na wiersze Macierz transponowaną do macierzy oznaczamy Jeżeli wyznacznik macierzy oznaczymy macierz dopełnień przeza macierz odwrotną to tworzymy macierz dopełnień przestawiamy kolumny z wierszami i otrzymujemy macierz odwrotną. nazywamy transponowaniem macierzy.lub odwrotnie Samodzielnie znaleźliśmy trzeci sposób konstruowania macierzy odwrotnej dla macierzy 2-go stopnia. Czy ten wzór sprawdzi się dla macierzy 3-go stopnia ? Sprawdźmy. Mamy

8 7 Sprawdźmy dla macierzy : Tworzymy macierz dopełnień. ??? ??? ???

9 8 Sprawdźmy, czy otrzymaliśmy macierz odwrotną. Zgadza się. Udało się. Czy każdą macierz można odwrócić ? Sądzę, że śledzących moje prezentacje nie trzeba uczulać na zero. Ze wzoru na macierz odwrotną widać, jest równy zero. że nie można odwrócić macierzy, której wyznacznik Mamy Obliczmy wyznacznik macierzy

10 9 Czy ten wzór jest dobry dla każdej macierzy 3-go stopnia ? Tego w tej chwili nie jesteśmy pewni, ale każdy może uzasadnić przeprowadzając obliczenia dla dowolnej macierzy ( symbole ) np. Powodzenia. * * * Czy ten wzór sprawdzi się dla macierzy wyższych stopni ? Mamy satysfakcję, bo samodzielnie znaleźliśmy trzeci sposób konstruowania macierzy odwrotnej dla macierzy 2-go i 3-go stopnia. Oto wzór który pozwala znaleźć macierz odwrotną. Mamy nadzieję, że tak, ale upewnimy się, zaglądając do dowolnego akademickiego podręcznika z matematyki.

11 10 Mamy satysfakcję z wyprowadzenia wzoru na budowanie macierzy odwrotnej. Ale wyznaczając macierz odwrotną nawet dla macierzy 3-go stopnia należało wykonać niemało obliczeń. Warto, wręcz należy postawić pytanie : czy nie można tego uzyskać mniejszym nakładem pracy i czasu, bardziej ekonomicznie ? Nie jest przypadkiem, że takimi poszukiwaniami zajmowali się wielcy matematycy.Właśnie Gauss, genialny matematyk, macierzy odwrotnej. a który studenci przyjmują na wiarę ! Ci którzy prześledzili potrafią znaleźć macierz odwrotną do macierzy 4-go i wyższych stopni. Warto pamiętać wzór, który sami znaleźliśmy, * * * przez współczesnych nazwany księciem matematyki, Pomysł bazuje na wiedzy, którą już mamy, a dotyczy własności wierszy macierzy. podał prosty sposób wyznaczania

12 11 W Definicja macierzy, działania na wykazaliśmy jakie przekształcenia na macierzach nie wpływają na rozwiązanie układu równań, odpowiadający tej macierzy. Przypomnijmy te własności : Przekształceniami elementarnymi macierzy, są : 1. przestawienie wierszy, 2. pomnożenie wiersza przez liczbę różną od zera, 3. pomnożenie wiersza przez liczbę i dodanie do innego wiersza. Spróbujmy daną macierz za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzić do macierzy jednostkowej. jaką macierz otrzymamy gdyby te same operacje wykonamy na macierzy jednostkowej. Zobaczmy, < < < <

13 Udało się ! Mamy macierz odwrotną. > > > Sprawdźmy, czy otrzymana macierz jest odwrotna do Wykonujemy te same operacje. Zapiszmy tą operację symbolicznie. ??? ?? ? ???

14 13 Czy w zaprezentowany sposób zawsze otrzymamy macierz odwrotną ? Sprawdźmy na macierzy Uprośćmy zapis Czy znaleźliśmy macierz odwrotną ? Gauss miał rację, i tym razem uzyskaliśmy macierz odwrotną. Sprawdźmy.

15 14 Jesteśmy zadowoleni, że poznaliśmy prosty sposób wyznaczania macierzy odwrotnej. Ale dokonując przekształceń w przykładach, z pewnością mieliście propozycje innych działań na wierszach macierzy. Zdajemy sobie sprawę, że macierz jednostkową, można było Zatem otrzymać na innej drodze. Czy dostalibyśmy ten sam wynik ? Podejrzewamy, że tak, ale należy to udowodnić. Twierdzenie. Jeżeli dany ciąg operacji elementarnych sprowadza macierz kwadratową do macierzy jednostkowej, to ten sam ciąg operacji elementarnych sprowadza macierz jednostkową do macierzy odwrotnej Dowód : Niech będzie macierzą kwadratową nieosobliwą ( której otrzymane w wyniku operacji elementarnych macierzy A do macierzy jednostkowej I. wyznacznik jest różny od zera ), oraz niech macierze realizują sprowadzenie Stąd mamy : A więc Mnożymy obustronnie przez

16 15 Wyznaczmy macierz odwrotną dla macierzy Tworzymy macierz dopełnień. ??? ??? ??? korzystając ze wzoru

17 16 Sprawdźmy, czy otrzymaliśmy macierz odwrotną. Zgadza się, znowu udało się. Mamy Obliczmy wyznacznik macierzy Trzeba było trochę obliczać, ale mamy niezawodny sposób konstruowania macierzy odwrotnej dla macierzy o wymiarach (3-ci stop.). Czy będzie on przydatny do wyznaczania macierzy odwrotnych wyższych stopni ?Podejrzewamy, że tak, ale uzasadnienie przed nami.

18 17 Dla tej samej macierzy znajdźmy macierz odwrotną sposobem Gaussa. Uprośćmy zapis Otrzymaliśmy tą samą macierz Gauss miał rację, i tym razem uzyskaliśmy macierz odwrotną. w pierwszej kolumnie otrzymać zera. Najprawdopodobniej w trakcie W pierwszym wierszu, na pierwszym miejscu uzyskujemy 1. co poprzednio. przekształcenia macierzy inne propozycje. niektórzy mieli Być może byłoby nawet prościej, ale warto prześledzić proponowany sposób, gdyż jest on uniwersalny. Mnożymy ten wiersz przez taką liczbę by dodając do następnych wierszy, W drugim wierszu, na drugim miejscu uzyskujemy 1 i postępujemy jak poprzedni by drugiej kolumnie otrzymać zera itd

19 18 Opr. WWW ęgrzyn i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji by po korekcie, Z góry dziękuję. można było ją uznać za poprawną. i przekazanie uwag, belferwww.one.pl Koniec prezentacji tel Zapraszam Naszą dotychczasową wiedzę o macierzach i wyznacznikach, Wyprowadziliśmy w oparciu o układy 2 równań o 2 niewiadomych, Przed nami problemy z rozwiązywaniem n równań o m niewiadomych. i układy 3 równań o 3 niewiadomych. Nasza wiedza bardzo przyda się do rozwiązania tego zagadnienia, choć będziemy musieli wprowadzić nowe pojęcia związane z macierzami. Następna prezentacja wprowadzi nas nowego Rozwiązanie układu 3 równań o 3 niewiadomych, rząd


Pobierz ppt "1 macierzy. Sposoby Macierz odwrotna odwracania Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym."

Podobne prezentacje


Reklamy Google