Co zawdzięczamy starożytnym Grekom, Rzymianom, Egipcjanom itp.

Prezentacja na temat: "Co zawdzięczamy starożytnym Grekom, Rzymianom, Egipcjanom itp."— Zapis prezentacji:

1 Co zawdzięczamy starożytnym Grekom, Rzymianom, Egipcjanom itp.

2 Historia matematyki Historia matematyki jest prawdopodobnie równie stara jak ludzkość. Przetrwały pewne ślady, zarówno w znaleziskach paleontologów, jak i w języku, które wskazują, że proste obliczenia wykorzystywali prehistoryczni myśliwi, kobiety przewidujące datę miesiączki, czy wodzowie plemienni szacujący bojową siłę swoich ludzi. Najstarszymi znanymi tekstami matematycznymi są Plimpton 322 (Babilonia ok p.n.e.), Moskiewski papirus matematyczny (Egipt ok p.n.e.), Papirus Matematyczny Rhinda (Egipt, 1650 p.n.e.), Shulba Sutras (Indie ok. 800 p.n.e.). Wszystkie te teksty wspominają twierdzenie Pitagorasa, które wydaje się być najbardziej rozpowszechnionym w starożytności wynikiem matematycznym. Matematyka egipska i sumeryjska była dalej rozwijana przez Greków, którzy ponadto usystematyzowali niezależne dotąd twierdzenia w jeden spójny system. Dalszy rozwój matematyka zawdzięcza Arabom. Wiele greckich i arabskich prac matematycznych zostało następnie przetłumaczonych na łacinę, co pozwoliło na dalszy rozwój tych koncepcji w średniowiecznej Europie. Co ciekawe, historia starożytnej i średniowiecznej matematyki składa się z okresów gwałtownego postępu, oddzielonych całymi stuleciami stagnacji. Schemat ten zakończył się dopiero w okresie renesansu. Era nieprzerwanego rozwoju matematyki, rozpoczęta w XVI-wiecznych renesansowych Włoszech, trwa po dziś dzień.

3 Wielcy matematycy

4 Grecy

5 Pitagoras Urodzony w ok. 572 p.n.e. na Samos, zmarł ok. 474 p.n.e. w Metaponcie – grecki matematyk, filozof, mistyk kojarzony ze słynnym twierdzeniem matematycznym nazwanym jego imieniem. Uczniowie Pitagorasa swoje dzieła często przypisywali mistrzowi, dzięki czemu otrzymywały one wyższą rangę i były poparte autorytetem wielkiego filozofa. Posługiwał się twierdzeniem nazwanym współcześnie jego imieniem, ale dowód tego matematycznego faktu sformułowany został znacznie później. Wśród innych osiągnięć Pitagorasa i jego szkoły wymienia się też: dowód, że suma kątów trójkąta równa jest dwóm kątom prostym, wprowadzenie średniej arytmetycznej, konstrukcje wielościanów foremnych i odkrycie dwunastościanu foremnego, muzyczny strój pitagorejski (to zupełnie co innego niż komat) – harmoniczne interwały w muzyce, można przedstawić za pomocą prostych stosunków liczbowych.

6 Tales z Miletu Filozof grecki, powszechnie uważany za pierwszego filozofa. Jest zaliczany do "siedmiu mędrców". Uznawany jest za twórcę podstaw nauki i filozofii europejskiej oraz jednego z pierwszych filozofów. Żył w czasach Solona, wybitnego prawodawcy ateńskiego. Zalicza się go do szkoły jońskiej. Jego uczniem był Anaksymander. Przebywał jakiś czas w Egipcie, gdzie zapoznać się mógł z tamtejszą geometrią. Prawdopodobnie Tales wiele podróżował. Podczas tych podróży zapoznał się z osiągnięciami Egipcjan i Babilończyków w dziedzinie matematyki i astronomii. Przebywał też w Memfis, głównym ośrodku egipskim, i na bazie wiedzy uczonych egipskich mógł oprzeć swoje twierdzenia. Posiadał np. praktyczne umiejętności pozwalające na przewidzenie zaćmienia Słońca na 585 r. p.n.e., czy zmierzenie wysokości piramid za pomocą cienia (na podstawie podobieństwa trójkątów). Przed Talesem umiejętności te były czysto techniczne, nie były poparte wiedzą naukową, wynikały z samej praktyki, potrafiono dokonywać obliczeń nie umiejąc ich uzasadnić, czy przewidywać zjawiska nie znając ich przyczyn. Po Talesie Grecy stopniowo tworzyli z nich pierwsze teorie naukowe. Potrafił też wykorzystać praktycznie swoją wiedzę - według Diogenesa Laertiosa przewidując wysokie zbiory oliwek wziął w dzierżawę wszystkie okoliczne tłocznie oliwy - dało to mu możliwość dyktowania cen za korzystanie z nich w okresie wysokiego zapotrzebowania.

7 Archimedes Grecki filozof przyrody i matematyk, urodzony i zmarły w Syrakuzach; wykształcenie zdobył w Aleksandrii. Był synem astronoma Fidiasza i prawdopodobnie krewnym lub powinowatym władcy Syrakuz Hierona II. Dzieła Archimedesa O liczeniu piasku – o wielkich liczbach i o nieskończoności. Rozszerzył tu system liczbowy Greków (dotychczas sięgający liczby – miriada) i oszacował liczbę ziarenek piasku we wszechświecie jako Największą rozważaną przez niego liczbą była . O liniach spiralnych – wprowadził tu spiralę Archimedesa O kuli i walcu – wyprowadza wzory na pole powierzchni i objętość kuli, walca i czaszy kulistej. O konoidach i sferoidach – o krzywych stożkowych O ciałach pływających – definicja praw hydrostatyki i aerostatyki Elementy mechaniki – podstawy mechaniki teoretycznej

8 Euklides Matematyk grecki pochodzący z Aten, przez większość życia działający w Aleksandrii Autor pierwszych prac teoretycznych z matematyki. Główne jego dzieło to Elementy (tytuł grecki Stoicheia geometrias). Są one syntezą ówczesnej wiedzy matematycznej zarówno w dziedzinie geometrii, jak i w teorii liczb. Elementy są pierwszą próbą aksjomatycznego ujęcia geometrii i były podstawowym podręcznikiem geometrii do XIX wieku. Elementy były bardzo poczytne - przetłumaczono je na olbrzymią liczbę języków, zaś liczbą wydań ustępują jedynie Biblii. Euklides usystematyzował ówczesną wiedzę matematyczną w postaci aksjomatycznego wykładu; zachowały się też dzieła z geometrii, optyki (m.in. prawo odbicia światła), astronomii, teorii muzyki. Dostępne jest tłumaczenie pierwszych ośmiu ksiąg z 1817 dokonane przez Józefa Czecha na język polski napisane językiem staropolskim. Aktualnie trwają prace nad projektem badawczym "Księgi Euklidesa", mającym za cel przetłumaczenie na język polski przekładu angielskiego dokonanego i opublikowanego przez amerykańskiego profesora matematyki Davida Joyce'a. W projekcie tym biorą udział uczniowie szkół ponadpodstawowych.

9 Eratostenes Grecki matematyk, astronom, filozof, geograf i poeta.
Najważniejsze dzieła Eratostanesa to: Geographica – trzytomowe dzieło zawierające podstawy geografii matematycznej i geografii fizycznej (zachowane we fragmentach) Catasterismi – dzieło astronomiczne Peri komodias – rozprawa o dawnej komedii Był również badaczem twórczości Homera – ustalił datę zdobycia Troi na rok 1184 p.n.e., czyli nieodbiegającą od współczesnych szacunków. Podał sposób znajdowania liczb pierwszych – sito Eratostenesa. Przejął po Apolloniosie z Rodos zarządzanie Biblioteką Aleksandryjską. W wieku 80 lat, nie mogąc pogodzić się z utratą wzroku, zagłodził się na śmierć.

10 Eudoksos z Kindos Grecki astronom, matematyk, filozof i geograf.
Studiował w Atenach i Egipcie. Wiadomo, że posiadał obserwatorium astronomiczne. Należał do Akademii Platońskiej, z której albo sam odszedł, albo został usunięty z powodu napiętych stosunków z Platonem. Jego dzieła nie dotrwały do naszych czasów. Użył teoretycznego modelu 27 sfer, poruszających się z różnymi prędkościami, do wyjaśnienia ruchu Ziemi, gwiazd, Słońca, Księżyca i pięciu znanych planet. Na przykład, aby wytłumaczyć ruch Księżyca, należało użyć trzech sfer: pierwsza okrążała Ziemię z zachodu na wschód raz na miesiąc, druga toczyła się dokoła niej ze wschodu na zachód w ciągu 18,5 lat, trzecia zaś odchylała na północ lub na południa od ekliptyki. Zajmował się proporcją, złotym podziałem i metodą wyczerpywania, co zakończyło zapoczątkowany paradoksem Zenona pierwszy kryzys w podstawach matematyki. Udowodnił wzór na objętość stożka. Stworzył podstawy rachunku nieskończonościowego.

11 Twierdzenie Menelaosa
Twierdzenie geometrii płaskiej pochodzące od Menelaosa z Aleksandrii, choć znane było już przed nim. Jest przydatne przy wykazywaniu współliniowości punktów (tzn. że leżą one na wspólnej prostej). Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Menelaosa również jest prawdziwe: Jeżeli na bokach AB i BC trójkąta dane są punkty E i D, a na przedłużeniu boku AC punkt F tak, że: , to punkty D,E,F są współliniowe. Analogicznie, gdy wszystkie punkty D,E,F leżą na przedłużeniach odpowiednich boków.

12 Klaudiusz Ptolemeusz Grecki uczony pochodzący z Tebaidy, który kształcił się i działał w Aleksandrii. Napisał wiele dzieł z dziedziny matematyki, astronomii, geografii i muzyki. Prace Ptolemeusza z zakresu astronomii zebrane zostały w dziele He mathematike syntaxis, znanym również później jako Ho megas astronomos. Używana współcześnie nazwa Almagest, powstała od greckiego słowa megiste (największy), któremu arabscy uczeni dodali w IX wieku przedimek al. Almagest jest podsumowaniem osiągnięć greckiej astronomii, m.in. jest głównym źródłem wiedzy o odkryciach Hipparcha.

13 Diofantos Z jego głównego dzieła Arytmetyka, składającego się z 13 ksiąg, zachowało się 6 w języku greckim i 4 przetłumaczone na arabski. Są one dowodem genialnych osiągnięć algebraicznych. Diofantos rozwiązuje w nich równania do trzeciego stopnia włącznie, w zakresie szerszym niż Babilończycy, wprowadzając również więcej niewiadomych, które oznacza specjalnymi literami. Posługuje się już symbolem odejmowania i na szeroką skalę stosuje skróty słowne dla poszczególnych określeń i działań. W ten sposób jest autorem pierwszego, co prawda jeszcze niedoskonałego, języka algebraicznego. U Diofantosa znajdujemy również pierwsze ślady liczb ujemnych.

14 Kraje

15 Indianie Najstarsze ślady matematyki w Indiach to Shatapatha Brahmana (IX wiek p.n.e.), gdzie obliczono wartość liczby π z dokładnością do dwóch miejsc dziesiętnych, oraz Sulba Sutras (ok p.n.e.) gdzie użyto liczb niewymiernych, pierwszych, reguły trzech (rozwiązywanie proporcji), pierwiastka sześciennego, pierwiastków kwadratowych obliczonych z dokładnością do 5 miejsc po przecinku, przybliżonej kwadratury koła, trójek pitagorejskich, rozwiązywano równania liniowe i kwadratowe, oraz udowodniono twierdzenie Pitagorasa. Pāṇini (ok. V wieku p.n.e.) skodyfikował reguły gramatyczne sanskrytu. Jego notacja była zbliżona do współczesnego zapisu matematycznego, z metaregułami, przekształceniami i rekursją. Rozwinął swój formalizm do tego stopnia, że jego gramatyka może być dziś przetwarzana metodami komputerowymi. Pingala (żył gdzieś w przedziale III–I wiek p.n.e.) w swoim traktacie o prozodii używał konstrukcji zbliżonej do dwójkowego systemu liczbowego. Jego kombinatoryczna dyskusja metrum muzycznego, przypomina dwumian Newtona. Praca Pingali zawiera też idę liczb Fibonacciego (zwanych mātrāmeru). Pomiędzy 400 p.n.e. a 200 n.e., matematycy dźinijscy zaczęli studiować matematykę dla samej przyjemności badań. Odkryli nieskończone liczby kardynalne, teorię mnogości, logarytmy, prawa potęgowania, równania sześcienne, czwartego stopnia, ciągi, szeregi, permutacje, kombinacje (z powtórzeniami i bez powtórzeń), oraz pierwiastek kwadratowy. Manuskrypt z Bakhshali, napisany między 200 p.n.e. a 200 n.e. zawierał rozwiązania układów równań liniowych z pięcioma niewiadomymi, rozwiązania równania kwadratowego, szeregi arytmetyczny i geometryczny, kwadratowe równania nieoznaczone, układy równań, zastosowanie zera oraz liczb ujemnych. Rozwinięcia liczb niewymiernych, w szczególności pierwiastków kwadratowych liczb rzędu miliona, sięgały 11 miejsc dziesiętnych.

16 Egipcjanie O odrębnej matematyce egipskiej można mówić do nastania panowania Greków, kiedy język egipski został zastąpiony greckim i wraz z matematyką babilońską została ona wchłonięta przez myśl grecką. Niektóre egipskie koncepcje były później rozwijane przez matematyków arabskich, kiedy Egipcjanie zaczęli pisać ich alfabetem. Najstarszym odkrytym egipskim tekstem matematycznym jest tzw. papirus moskiewski, pochodzący ze starożytnego Egiptu z okresu Średniego Państwa, datowany 2000 p.n.e.–1800 p.n.e.. Jak wiele starożytnych tekstów matematycznych skupia się na czymś, co dziś nazwalibyśmy "zadaniami z treścią" i miał zapewne służyć rozrywce. Jedno z zadań ukazuje metodę obliczania objętości ściętego ostrosłupa o kwadratowej podstawie: Papirus Matematyczny Rhinda (ok p.n.e.) to kolejny ważny egipski tekst matematyczny, podręcznik arytmetyki i geometrii. Oprócz metod przeprowadzania mnożenia, dzielenia i działań na ułamkach, zawiera również dowody posiadania przez Egipcjan szerszej wiedzy matematycznej, w szczególności znajomość liczb pierwszych, liczb złożonych, średnich arytmetycznej, geometrycznej i harmonicznej, uproszczonej wersji sita Eratostenesa i liczb doskonałych (w szczególności dla liczby 6). Pokazuje również metodę rozwiązywania równań liniowych oraz szeregów arytmetycznych i geometrycznych.

17 Arabia i Islam Kalifat, utworzony na terenach Bliskiego Wschodu, Azji Środkowej, Północnej Afryki, Półwyspu Iberyjskiego i części Półwyspu Indyjskiego w VIII wieku dokonało znaczących postępów w dziedzinie matematyki. Chociaż większość matematycznych tekstów świata islamskiego było napisanych po arabsku, jednak nie wszystkie były pisane przez Arabów, wielu ważnych islamskich matematyków było Persami. Arabski wówczas służył jako wspólny język pisany uczonych islamskich, tak jak w świecie hellenistycznym grecki, w średniowieczu łacina a obecnie język angielski. Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi, perski nadworny matematyk i astronom kalifa z Bagdadu napisał w IX wieku kilka ważnych dzieł o indyjskim systemie liczbowym (zwanym potem cyframi arabskimi) i metodach rozwiązywania równań. Jego dzieło O rachowaniu cyframi indyjskimi, napisane około 825, wraz z pracą arabskiego matematyka Al-Kindi, pozwoliło rozprzestrzenić się matematyce indyjskiej oraz cyfrom arabskim w Europie. Słowo algorytm pochodzi od łacińskiej formy jego imienia, Algoritmi, a słowo algebra od tytułu jednej z jego prac, Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala (Kompendium o liczeniu przez uzupełnienie i wyrównywanie). Al-Chuwarizmi jest nazywany "ojcem algebry ", ze względu na spisanie starożytnych metod algebraicznych, jak i jego własny wkład w tę dziedzinę. Kolejne postępy w algebrze uczynił Abu Bakr al-Karaji (953–1029) w swoim traktacie al-Fakhri, gdzie rozszerzył metodologię, włączając do niej całkowite potęgi i całkowite pierwiastki niewiadomych. W X wieku Abu al-Wafa przetłumaczył prace Diofantosa na arabski i wprowadził funkcję tangens. Pierwszy znany dowód z użyciem indukcji matematycznej pojawił się w dziele autorstwa Al-Karaji ok. roku 1000 n.e., gdzie została ona zastosowana do dwumianu Newtona, trójkąta Pascala, i sumy sześcianów początkowych liczb naturalnych. Ibn al-Hajsam był pierwszym matematykiem, który wyprowadził wzór na sumę czwartych potęg, a następnie używając indukcji podał metodę uogólnienia tego wzoru na sumę dowolnych potęg naturalnych, co miało fundamentalne znaczenie dla rozwoju rachunku całkowego.

18 Mezopotamia W Mezopotamii rolę ośrodka naukowego grał Babilon. Po nastaniu panowania Greków utrzymał tę funkcję, a sumeryjska matematyka połączyła się z grecką. W przeciwieństwie do rzadkości źródeł na temat matematyki Egiptu, w przypadku Mezopotamii od połowy XIX wieku odnaleziono ponad 400 glinianych tabliczek zapisanych pismem klinowym, gdy glina była miękka i następnie utwardzonych w piecu lub na słońcu. Niektóre z nich wyglądają na ocenione prace domowe z matematyki. Najstarsze pisane źródła matematyczne pochodzą od Sumerów, którzy zbudowali pierwszą cywilizację Mezopotamii. Stworzyli oni 3000 lat przed naszą erą złożony system miar. Ok p.n.e. zapisali pismem klinowym tabliczkę mnożenia, zmagali się z zadaniami geometrycznymi, umieli dzielić, dodawać i odejmować. Na ten okres datują się także najstarsze ślady babilońskiego systemu liczbowego. Większość znalezionych glinianych tabliczek pochodzi z okresu między 1800 a 1600 p.n.e., i dotyczy tematów takich jak ułamki, algebra, równania liniowe, kwadratowe, sześcienne, oraz trójki pitagorejskie. W glinie wypisano także tablice trygonometryczne. Babilońska tabliczka oznaczona przez archeologów symbolem YBC 7289 podaje oszacowanie wartości z dokładnością do pięciu miejsc dziesiętnych. Babilońscy matematycy używali systemu sześćdziesiątkowego. Jego ślady pozostały do dziś w podziale godziny na 60 minut, minuty na 60 sekund i kąta pełnego na 360 (60 x 6) stopni, a następnie stopnia na 60 minut i minuty na 60 sekund kątowych. System sześćdziesiątkowy jest o tyle wygodny, że liczba 60 ma wiele dzielników (1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60). Ułatwia to dzielenie przez niewielkie liczby. Ponadto postępom matematyki sprzyjał fakt, że w odróżnieniu od zapisów Egipcjan, Greków i Rzymian, system Babilończyków był prawdziwym systemem pozycyjnym, w którym te same znaki (cyfry) z lewej strony reprezentowały większe wartości, niż z prawej. Nie miał on zatem ograniczeń, jeśli chodzi o maksymalną możliwą do zapisania liczbę. Nie posiadał jednak separatora dziesiętnego, którego trzeba było domyślać się z kontekstu.

19 Chińczycy Pomimo incydentu palenia ksiąg, dynastia Han (202 p.n.e.–220 n.e.) tworzyła później dzieła matematyczne, opierające się na zaginionych pracach. Najważniejszym z nich było Dziewięć rozdziałów o sztuce matematyki, dokonana ok. 179 kompilacja prac, z których część istniała wcześniej pod innymi tytułami. Dzieło składało się z 246 opisanych słownie problemów, dotyczących rolnictwa, handlu, zastosowania geometrii do obliczania proporcji chińskich pagod, budowy wież, inżynierii, pomiarów geodezyjnych, i opisywało m.in. rozwiązywanie trójkątów prostokątnych i obliczanie liczby π. Wykorzystywało także zasadę Cavalieriego ponad tysiąc lat przed odkryciem jej przez Cavalierego na Zachodzie. Dzieło zawiera również dowód twierdzenia Pitagorasa i wzór na eliminację Gaussa. Praca była komentowana przez Liu Hui w III wieku n.e. Dodatkowo matematyczne prace Zhang Heng (78-139), astronoma i wynalazcy z epoki Han, także zawierały obliczenie liczby π, różniące się jednak metodą od wyniku Liu Hui. Zhang Heng używał wzoru na π do obliczania objętości kuli. Powstała także praca matematyka i teoretyka muzyki Jing Fang (78–37 p.n.e.). Używając komatu pitagorejskiego, Jing zauważył, że 53 kwinty odpowiadają w przybliżeniu 31 oktawom. Doprowadziło to później do odkrycia skali temperowanej, i zostało precyzyjnie wyprowadzone dopiero w XVII wieku przez Nicholasa Mercatora. Chińczycy stworzyli złożone kombinatoryczne diagramy zwane kwadratami magicznymi i kołami magicznymi, opisane w czasach starożytnych, a następnie dopracowane przez Yang Hui (1238–1398). Zhang Heng (78–139) Zu Chongzhi (V wiek, okres Dynastii Południowych i Północnych) obliczył wartość π z dokładnością do siedmiu miejsc dziesiętnych, co pozostało przez prawie tysiąc lat najlepszym oszacowaniem tej liczby. W tysiąc lat po upadku dynastii Han, w okresie dynastii Tang i Song, chińska matematyka świetnie prosperowała, podczas gdy europejska nie istniała. Dokonania Chińczyków, dużo później ponownie odkryte na Zachodzie, obejmowały liczby ujemne, dwumian Newtona, macierze, metody rozwiązywania układów równań liniowych, chińskie twierdzenie o resztach, trójkąt Pascala, i regułę trzech. Oprócz Zu Chongzhi, istotny wkład do chińskiej matematyki tego okresu wnieśli m.in. Yi Xing, Shen Kuo, Qin Jiushao, i Zhu Shijie. Uczony Shen Kuo stosował m.in. rachunek różniczkowy, trygonometrię, metrologię, permutacje, obliczył także konieczny rozmiar wolnej przestrzeni niezbędny do rozwinięcia określonych formacji bitewnych, oraz najdłuższą możliwą kampanię militarną przy określonych zasobach żywności.

20 Trygonometria Dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki miarowe między bokami i kątami trójkątów oraz funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie w związku z zagadnieniami pomiarów na powierzchni Ziemi oraz potrzebami żeglugi morskiej (określenia położenia i kierunku przy pomocy ciał niebieskich). Na rozwój trygonometrii miały też znaczący wpływ badania astronomiczne.

21 Sekstant Kątomierz lusterkowy, optyczny przyrząd nawigacyjny stosowany niegdyś w żeglarstwie i astronomii, służący do mierzenia wysokości ciał niebieskich nad horyzontem, a także kątów poziomych i pionowych pomiędzy obiektami widocznymi na Ziemi. Nazwa pochodzi od łacińskiego słowa sexta, co znaczy szóstą część, ponieważ kątomierz (limbus) – podstawowa część przyrządu, stanowi wycinek jednej szóstej koła. Najczęstszym zastosowaniem sekstantu jest określenie astronomicznej pozycji obserwowanej na podstawie pomiaru wysokości Słońca z kulminacji - tj. o godzinie 12 w południe czasu słonecznego, astronomicznej linii pozycyjnej na podstawie pomiaru wysokości Słońca i czasu (UTC) pomiaru lub określenie pozycji na podstawie pomiarów wysokości gwiazd rano i wieczorem - np. określenie szerokości geograficznej z pomiaru wysokości Gwiazdy Polarnej.

22 Koniec Wykonawcy: Wojtek Krosta Mariusz Urbański Konrad Strzeżyński
Mikołaj Łaszkiewicz Hubert Jeska Adrian Czajkowski Piotr Wiśniewski