Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

31 października 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK 1 Wykład 5 Zbiory uporządkowane.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "31 października 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK 1 Wykład 5 Zbiory uporządkowane."— Zapis prezentacji:

1

2 31 października 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK 1 Wykład 5 Zbiory uporządkowane

3 31 października 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK 2 Definicja Relację binarną w zbiorze X nazywamy porządkiem (częściowym porządkiem) wttw jest to relacja zwrotna, antysymetryczna i przechodnia. Zbiór X wraz z porządkiem nazywamy zbiorem uporządkowanym. Ozn. Przykład 1., 2., 3. Uwaga Jeśli x y i x y, to piszemy x

4 31 października 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK 3 Diagramy Hassego Diagramem Hassego relacji porządku w X nazywamy graf zorientowany (skierowany) G=, gdzie V=X oraz (x,y) E wttw x y oraz nie istnieje z, takie że z x i z y i x z y ( y jest bezpośrednim następnikiem x w sensie relacji ). Konwencja Zwykle nie rysujemy strzałek i jeśli x y i x y, to y znajduje się na grafie Hassego wyżej niż x. Przykład Relacja | w zbiorze {1,2,...9} jest relacją porządku Diagram Hassego powrót

5 31 października 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK 4 Przykład Niech ={0,1}. W zbiorze * definiujemy relację w 1 r w 2 wttw istnieje z *, że w 1 z = w 2 Diagram Hassego relacji r w zbiorze * Uwaga Niektóre zbiory częściowo uporządkowane nie mają diagramu Hassego, np.:. Każdy skończony zbiór częściowo uporządkowany ma diagram Hassego.

6 31 października 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK 5 Przykład ef d cb a Z diagramu Hassego można odczytać pełną informację o opisanej relacji porządku. X={a,b,c,d,e,f} a b a c a d b e b f c f a e a f a a b b c c d d e e f f Diagram Hassego pewnej relacji

7 31 października 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK 6 Minima i maksima Niech będzie relacją porządku w X. Element x nazywamy minimalnym, jeżeli w X nie istnieje żaden element y taki, że y < x. Uwaga W diagramie Hassego relacji elementy maksymalne znajdują się na górze a elementy minimalne na dole grafu. Element x nazywamy maksymalnym, jeżeli w X nie istnieje element y większy od x tzn. taki, że x < y. przykład

8 31 października 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK 7 Definicje c.d. Jeżeli x x0 dla wszystkich x X, to x0 nazywamy elementem największym zbioru X. Jeżeli x0 x dla wszystkich x X, to x0 nazywamy elementem najmniejszym zbioru X. Uwaga W zbiorze X może być więcej niż jeden element maksymalny lub minimalny ale jest co najwyżej jeden element największy i co najwyżej jeden element najmniejszy.

9 31 października 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK 8 Kresy Niech będzie relacją porządku w X oraz niech A będzie podzbiorem X. Ograniczeniem górnym zbioru A w X nazywamy taki element x0 X, że x x0 dla wszystkich x A. Ograniczeniem dolnym zbioru A w X nazywamy taki element x0 X, że x0 x dla wszystkich x A. Najmniejsze ograniczenie górne zbioru A nazywamy kresem górnym (supremum). Największe ograniczenie dolne zbioru A nazywamy kresem dolnym (infimum). Sup(A) Inf(A)

10 31 października 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK 9 Przykład Rozważmy relacje w N : x y wttw x jest dzielnikiem y. Jest to relacja porządku. Co jest kresem górnym zbioru {n,m}, tzn. sup{n,m}? Sup(n,m)= najmniejsza wspólna wielokrotność liczb n, m A kres dolny? Tzn., inf{n,m} =? Inf{n,m}= największy wspólny dzielnik

11 31 października 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK 10 Przykład RBG GBRBRG RGB Sześcian kolorów Krata Dla dowolnych dwóch elem. istnieje kres górny i kres dolny.

12 31 października 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK 11 Porządek liniowy Relację binarną w zbiorze X nazywamy porządkiem liniowym wttw jest porządkiem częściowym oraz ma następującą własność spójności: dla dowolnych x, y X, albo x y albo y x albo x = y Przykład Zbiór liczb wymiernych jest liniowo uporządkowany przez relację niewiększości. Co więcej jest to zbiór liniowo uporządkowany gęsto. łańcuch Twierdzenie W każdym niepustym zbiorze liniowo uporządkowanym i skończonym istnieje element najmniejszy (pierwszy) i element największy(ostatni ).

13 31 października 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK 12 Przykład Niech będą zbiory (X 1, 1 ), (X 2, 2 ),..., (X n, n ), liniowo uporządkowne. Definiujemy relację w produkcie (X 1 X 2...., X n ) następująco: (x 1, x 2,...x n ) (t 1,..., t n ) wttw istnieje takie i, że x 1 = t 1,...,x 2 =t 2,...x i-1 = t i-1, oraz x i i t i x i t i Tak zdefiniowana relacja jest relacją porządku liniowego w produkcie (X 1 X 2...., X n ). Porządek leksykograficzny Przykład Xi ={0,1,...,9} dla i =1,2,...5 Wtedy

14 31 października 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK 13 Porządek słownikowy Niech będzie dany alfabet oraz pewna relacja liniowego porządku w. Rozważamy relację w zbiorze słów * zdefiniowaną następująco: a 1 a 2...a n b 1... b m wttw n

15 31 października 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK 14 Lemat Kuratowski (1922) - Zorn(1935) Jeżeli w zbiorze uporządkowanym X dla każdego łańcucha istnieje ograniczenie górne, to w X istnieje element maksymalny. Aksjomat wyboru Gödel 1940 niesprzeczność Cohen1963 niezależność

16 31 października 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK 15 Dobry porządek Relację binarną w zbiorze X nazywamy dobrym porządkiem wttw jest liniowym porządkiem oraz dla dowolnego niepustego podzbioru A zbioru X istnieje element minimalny. Przykłady (1) Zbiór jest dobrze uporządkowany przez relację niewiększości. (2) Każdy zbiór skończony, liniowo uporządkowany jest dobrze uporządkowany. (3) Zbiór liczb rzeczywistych nie jest dobrze uporządkowany przez relację niewiększości.


Pobierz ppt "31 października 2001Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK 1 Wykład 5 Zbiory uporządkowane."

Podobne prezentacje


Reklamy Google