Sze ś cian sumy i ró ż nicy Suma i ró ż nica sze ś cianów.

Prezentacja na temat: "Sze ś cian sumy i ró ż nicy Suma i ró ż nica sze ś cianów."— Zapis prezentacji:

1

2 Sze ś cian sumy i ró ż nicy Suma i ró ż nica sze ś cianów

3 Interpretacja geometryczna sze ś cianu sumy Przyk ł ad Ć wiczenia

4 Wzór na sześcian sumy ma ładną interpretację graficzną. Objętość sześcianu o krawędzi długości równej sumie długości odcinków o długościach a i b wyraża lewa strona wzoru: Zaznaczone płaszczyzny dzielą sześcian na: dwa sześciany o objętościach równych

5 trzy prostopadłościany o objętościach równych każdy: i trzy prostopadłościany o objętościach równych każdy: Suma tych objętości jest więc prawą stroną naszego wzoru na sześcian sumy:

6 Sześcian sumy liczb (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 na przykład: 101 3 = (100+1) 3 = 100 3 + 3×100 2 + 3×100 + 1 = = 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301 nie zachodzi równość: (a+b) 3 = a 3 + b 3 na przykład 125 = (3+2) 3 3 3 + 2 3 = 35 uzasadnienie wzoru przez rachunek: (a + b) 3 = (a + b) × (a + b) × (a + b) = mnożymy każdy wyraz przez każdy inny = (aa + ab + ba + bb) × (a + b) = aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb = = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Sześcian różnicy liczb (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 na przykład: 99 3 = (100-1) 3 = 100 3 - 3×100 2 + 3×100 - 1 = = 1000000 - 30000 + 300 - 1 = 970299

7 Oblicz sześciany sum i różnic ( x, y należy do zbioru liczb rzeczywistych) Rozwi ą zanie

8

9 Jeśli przemnożymy przez siebie sumę dwóch liczb rzeczywistych przez niepełny kwadrat różnicy takich samych liczb (bez liczby 2 we wzorze) to otrzymamy: Podobnie gdy przemnożymy przez siebie różnicę dwóch liczb rzeczywistych przez niepełny kwadrat sumy takich samych liczb (bez liczby 2 we wzorze) to otrzymamy: W ten oto sposób wyprowadziliśmy dwa zgrabne wzory na sumę i różnicę sześcianów dwóch liczb rzeczywistych: PrzykładyĆwiczenia

10 Suma sześcianów liczb a 3 + b 3 = (a + b)×(a 2 - ab + b 2 ) uzasadnienie wzoru przez rachunek (mnożymy każdy wyraz przez każdy inny): (a + b)×(a 2 - ab + b 2 ) = aa 2 - aab + ab 2 + ba 2 - bab + bb 2 = a 3 - a 2 b + ab 2 + a 2 b - ab 2 + b 3 = a 3 + b 3 Różnica sześcianów liczb a 3 - b 3 = (a - b)×(a 2 + ab + b 2 ) uzasadnienie wzoru przez rachunek (mnożymy każdy wyraz przez każdy inny): (a - b)×(a 2 + ab + b 2 ) = aa 2 + aab + ab 2 - ba 2 - bab - bb 2 = a 3 + a 2 b + ab 2 - a 2 b - ab 2 - b 3 = a 3 - b 3

11 Przedstaw wyrażenie w postaci iloczynowej korzystając ze wzorów na sumę lub różnicę sześcianów: Rozwiązanie

12