Klaudia Sodzawiczny kl.3 AE Adrianna Kuwałek kl. 3 AE

Prezentacja na temat: "Klaudia Sodzawiczny kl.3 AE Adrianna Kuwałek kl. 3 AE"— Zapis prezentacji:

1 Klaudia Sodzawiczny kl.3 AE Adrianna Kuwałek kl. 3 AE
Bryły Catalana Klaudia Sodzawiczny kl.3 AE Adrianna Kuwałek kl. 3 AE

2 Eugène Charles Catalan
ur. 30 maja 1814 w Brugii, zm. 14 lutego 1894 w Liege)-Matematyk belgijski. Catalan prowadził badania naukowe w dziedzinie teorii liczb, geometrii wykreślnej, ułamków łańcuchowych, oraz kombinatoryki. Nazwał on swoim imieniem szczególną powierzchnie w rzeczywistej trójwymiarowej przestrzeni (minimalna okresową powierzchnie w takiej przestrzeni). W roku 1844 sformułował problem znany później jako twierdzenie mihailescu, które zostało udowodnione w roku Wprowadził także liczby Catalana do kombinatoryki. Jego imieniem nazywana jest także pewna grupa wielościanów.

3 Bryły Catalana Takie bryły po raz pierwszy zostały opisane w 1865 roku. Wielościany Catalana są dualne do wielościanów archimedesowych i dlatego też w danym wielościanie Catalana wszystkie ściany są przystające (bo układ ścian przy każdym wierzchołku w odpowiadającym mu wielościanie archimedesowym jest identyczny). Ściany te jednak nie są wielokątami foremnymi, dlatego też warto poświęcić kilka zdań na temat sposobu ich konstrukcji.

4 Konstrukcje wielościanu Catalana opiszemy na przykładzie wielościanu dualnego do czworościanu ściętego - czworościanu potrójnego. Rozważmy jeden z wierzchołków czworościanu ściętego i zaznaczmy na każdej wychodzącej z niego krawędzi punkt leżący w ustalonej odległości od tego wierzchołka. Punkty te wyznaczają przekrój wielościanu, który nazywamy figurą wierzchołkową. Przykład takiego przekroju pokazuje rysunek na kolejnym slajdzie ("ustalona odległość" w tym wypadku to długość krawędzi wielościanu).

5 Wielościan dualny do czworościanu ściętego - czworościanu potrójnego

6 Figura wierzchołkowa jest trójkątem równoramiennym ABC, w którym AB jest krawędzią wielościanu, a BC i AC są krótszymi przekątnymi sześciokątów będących ścianami tej bryły. Opiszmy na trójkącie ABC okrąg i poprowadźmy styczne do tego okręgu w punktach A, B oraz C (kolejny slajd). Styczne wyznaczają trójkąt KLM, który jest właśnie ścianą wielościanu dualnego do czworościanu ściętego. Układ ścian w wierzchołku czworościanu ściętego to "czworościan potrójny" jako wielościan dualny.

7 Czworościan potrójny

8 W analogiczny sposób można wyznaczyć ściany wszystkich pozostałych wielościanów Catalana. Liczba ścian w niektórych wielościanach Catalana oraz ich kształt (np. 120 niemal prostokątnych trójkątów) powoduje, że trudno jest przygotować ich siatki tak, aby mieściły się one na formacie A4. Dwa wielościany Catalana dwudziestoczterościan pięciokątny oraz sześćdziestościan pięciokątny (podobnie jak ich archimedesowe odpowiedniki) istnieją w wersjach lewo- i prawoskrętnej. Wersje te mają się tak do siebie, jak lewa dłoń do prawej.

9 Przykładowe bryły Catalana
Dwudziestoczterościan pięciokątny Sześćdziestościan

10 Przykładowe bryły Catalana
Dwudziestoczterościan deltoidowy Trzydziestościan rombowy

11 Przykładowe bryły Catalana
Ośmiościan szóstkowy Dwudziestościan szóstkowy

12 Koniec Źródła: Internet, wiedza własna.