Trysekcja hiperboliczna 1/5 Pappus, ostatni z wielkich geometrów greckich, około roku 340 zakończył spisywanie 8 ksiąg Synagoga (czyli Kolekcja). O samym.

Prezentacja na temat: "Trysekcja hiperboliczna 1/5 Pappus, ostatni z wielkich geometrów greckich, około roku 340 zakończył spisywanie 8 ksiąg Synagoga (czyli Kolekcja). O samym."— Zapis prezentacji:

1

2 Trysekcja hiperboliczna 1/5 Pappus, ostatni z wielkich geometrów greckich, około roku 340 zakończył spisywanie 8 ksiąg Synagoga (czyli Kolekcja). O samym Pappusie nie wiemy niemal nic. Z księgi I (o arytmetyce) jego dzieła nie pozostał nawet jeden odpis, druga zachowała się we fragmentach. W księdze IV Pappus przedstawia m.in. spiralę Archimedesa, konchoidę Nikomedesa i kwadratysę Hippiasza oraz ich zastosowanie do zadania trysekcji kąta. Strona tytułowa dzieł Apolloniusza z komentarzem Pappusa wydanych po łacinie w r.1566 Najobszerniejsze dzieło poświęcone stożkowym – i nazwane po prostu Stożkowe ( )- to 8 ksiąg (księgi VI i VII przetrwały jedynie w odpisach arabskich, księga VIII zaginęła). Ich autorem jest Apoloniusz, zwany Wielkim Geometrą. Pracę nad nimi zaczął w Pergamonie, zakończył w Aleksandrii. To w nich po raz pierwszy pojawiają się słowa parabola, hiperbola i elipsa (po grecku znaczy porównanie, - nadmiar, zaś – brak). Przyjmuje się, że pierwszym, który zauważył, iż elipsa, parabola i hiperbola są stożkowymi (czyli krzywymi uzyskanymi w wyniku przekroju stożka płaszczyzną) był Manaechmus (ok.380-320). Apolloniusz wprowadził także termin środek krzywizny (bezpośrednio prowadzący do pojęcia ewoluta czyli rozwinięta krzywej). Pojęcia ognisko i kierownica stożkowej (ang. focus, directrix) wprowadził Pappus. Rys historyczny: Apoloniusz i Pappus Pappus nazywany jest Komentatorem, gdyż w swym dziele zrelacjonował i opatrzył swymi uwagami prace m.in. Euklidesa (235-265), Aristaeusza (ok.370-300) i Apoloniusza z Pergi (262-190).

3 Trysekcja hiperboliczna 2/5 Trysekcja kąta przedstawiona (przypuszczalnie za Apolloniuszem) przez Pappusa nazywana jest także trysekcją hiperboliczną, gdyż wykorzystuje hiperbolę. Dla dowolnych różnych punktów A i B płaszczyzny hiperbola ta zdefiniowana jest jako miejsce geometryczne punktów H takich, że HBA = 2· BAH. Wykażemy, iż te punkty leżą na hiperboli. W układzie prostokątnym Oxy obierzmy punkty A=(-3p,0) i B=(3p,0) - tak jak na rysunku obok, gdzie p=1. Przez punkt A prowadzimy prostą nachyloną do osi Ox pod kątem <30°. Przez punkt B prowadzimy prostą nachyloną do osi Ox pod kątem –, gdzie =2. Proste te przecinaja się w punkcie H. Jego współrzędne, H=(x,y), wyznaczamy z układu równań: y=a(x+3p), y=tg( )·(x–3p), gdzie a:=tg( ) i tg( )= tg(2 )=2a/(1–a 2 ). Otrzymujemy H=(3p(1+a 2 )/(3–a 2 ),12ap/(3–a 2 )). Dlatego rzut C punktu H na oś Ox ma odciętą równą 3p(1+a 2 )/(3–a 2 ). Współrzędne punktu hiperboli Pappusa

4 Trysekcja hiperboliczna 3/5 Oznaczmy współrzędne punktu H krótko przez x i y, tzn. H = (x,y). Wtedy C = (x,0) oraz w trójkącie ACH: tg( ) = y/(3p+x), w trójkącie BCH: tg( ) = y/(3p–x). Z tożsamości tg( ) = tg(2 ) = 2tg( )/{1-tg 2 ( )} mamy zatem 3(x+p) 2 – y 2 = 12p 2, tj. Równanie hiperboli Pappusa czyli (3p–x) 2 – y 2 = 2(9p 2 –x 2 ), tzn. Otrzymany związek pokazuje, że miejscem geometrycznym punktów H jest hiperbola. Nazywamy ją hiperbolą Pappusa.

5 Trysekcja hiperboliczna 4/5 2. Tak jak na rysunku obok, kąty wyznaczone przez punkt W oznaczmy literami, i. 1. Przez wyznaczone już punkty A, B i H poprowadźmy okrąg. Środek tego okręgu oznaczamy przez W. Widać, że na tym samym łuku HB oparte są kąty (wpisany w okrąg) i środkowy. Dlatego =2. Analogicznie: na łuku AH oparte są kąty wpisany i środkowy. Dlatego = 2. Ponieważ = 2, więc = + = 2 + 2 = 4 + 2 = 6, czyli = /6 i dlatego = /3. Dowód na podział kąta na 3 równe części

6 Trysekcja hiperboliczna 5/5 Rysujemy kąt o wierzchołku W i mierze. Z wierzchołka W zataczamy łuk okręgu. Na ramieniu danego kąta odcina on równe odcinki. Ich końce oznaczamy przez A i B. Wprowadzamy układ Oxy współrzędnych prostokątnych tak jak na rysunku powyżej. Znaczy to, że oś poziomą Ox wyznacza odcinek AB, oś pionową Oy – jego symetralna, zaś B=(3,0). W tym układzie kreślimy hiperbolę, której prawym ogniskiem jest punkt B, a mimośród e=2. Hiperbola ta ma równanie (x+1) 2 /4–y 2 /12=1. W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych hiperbola ta przecina okrąg w punkcie H. Na mocy konstrukcji, kąt HWB, na rysunku oznaczony literą, jest równy = /3. Wykonanie trysekcji Pappusa