1.

Prezentacja na temat: "1."— Zapis prezentacji:

1 1

2 DANE INFORMACYJNE Gimnazjum im. Powstańców Wielkopolskich w Stęszewie
Nazwa szkoły: Gimnazjum im. Powstańców Wielkopolskich w Stęszewie ID grupy: 98/12_mf_g1 Kompetencja: Matematyka Semestr/rok szkolny: piąty 2011/2012 Temat projektowy: Od równań liniowych 2

3 Równanie liniowe ax + b = 0
Równaniem nazywamy dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości. Równanie postaci ax + b = 0 (lub każde dające się sprowadzić do tej postaci), gdzie x jest niewiadomą oraz a i b są dowolnymi liczbami nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą. Liczby a i b nazywamy współczynnikami równania.

4 Rozwiązanie równania liniowego
Rozwiązaniem równania liniowego z jedną niewiadomą nazywamy każdą liczbę, która podstawiona w miejsce niewiadomej spełnia to równanie.

5 Równanie liniowe rozwiązujemy następująco
- niewiadomą przenosimy na jedną stronę równania, a liczby na drugą stronę równania, - mnożymy lub dzielimy obie strony przez taką wartość tak, aby pozbyć się liczby przy niewiadomej x, - przy przenoszeniu liczby lub niewiadomej na drugą stronę równania, zmieniamy jej znak na przeciwny.

6 Przykłady rozwiązywania równań
2x + 5 = 14,8 + x-3 Przenosimy niewiadomą x z prawej strony równania na lewą stronę oraz liczbę 5 z lewej strony równania na prawą stronę zmieniając przy tym znak. 2x – x = 14,8 – 3 – 5 Po redukcji wyrazów do siebie podobnych otrzymujemy rozwiązanie. X = 6,8

7 Przykład 2. 0,2(10-5x) = 3 + 2(x - 1) Usuwamy nawiasy wymnażając 2 – x = 3 + 2x – 2 Przenosimy wyrażenia zawierające x na lewą stronę, a liczby na prawą stronę równania zmieniając znak -x – 2x = 3 – 2 – 2 Po redukcji otrzymujemy równanie -3x = -1 |:(-3) Dzieląc obustronnie równanie przez -3 otrzymujemy rozwiązanie x =

8 Równanie liniowe z jedną niewiadomą może być:
Równaniem sprzecznym nazywamy takie równanie, którego nie spełnia żadna liczba rzeczywista. Przykłady równań sprzecznych: 1. x + 1 = x – 1 2. 3x – 2 = 3x + 7 Równanie tożsamościowym to takie równania, które mają nieskończenie wiele rozwiązań. Jeżeli w takim równaniu podstawimy pod x-a dowolną liczbę to otrzymamy zawsze równanie prawdziwe. Przykłady równań tożsamościowych: 1. 5x – 7 = x 2. 2x = 2x

9 Nierówności liniowe Najprostszą nierównością jest nierówność liniowa (nierówność stopnia pierwszego), tj. nierówność, po której obu stronach występują funkcje liniowe.

10 Przykład: aby rozwiązać nierówność 2x – 15 > 3x dodajemy do obu stron nierówności 15: 2x > 3x + 15 odejmujemy od obu stron nierówności : 3x – x > 15 dzielimy obie strony nierówności przez zmieniając jej znak: x< -15 Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba mniejsza od -15 .

11 Równania liniowe z dwiema niewiadomymi
Równanie postaci ax + by + c = 0, gdzie x jest niewiadomą oraz a, b, c są dowolnymi liczbami oraz a2 + b2 ≠ 0 nazywamy równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi.

12 Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi x i y jest para (x0, y0) wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu do tego równania x0 w miejsce x oraz y0 w miejsce y otrzymuje się zdanie prawdziwe. Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi ma nieskończenie wiele rozwiązań. Obrazem graficznym (wykresem) zbioru rozwiązań równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest prosta.

13 Rozwiązanie graficzne równania liniowego z dwiema niewiadomymi

14 Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi
a1x+b1y=c1 a2x+b2y=c2 gdzie a1, a2, b1, b2, c1, c2 są dowolnymi liczbami przy czym a1 i a2 oraz b1 i b2 nie mogą być jednocześnie zerami nazywamy układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

15 Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą parę liczb (x, y), która spełnia jednocześnie oba równania układu. Liczba rozwiązań układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi zależy od wartości współczynników obu równań liniowych układu. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może: - mieć dokładnie jedno rozwiązanie, którym jest para liczb (układ oznaczony), - mieć nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony), - nie mieć rozwiązań (układ sprzeczny).

16 Metody rozwiązywania układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi.
Metoda podstawiania Metoda polega na wyznaczeniu jednej niewiadomej z jednego z równań układu i podstawieniu wyznaczonej niewiadomej do drugiego równania. Uzyskujemy w ten sposób równanie liniowe z jedną niewiadomą. Wyznaczoną z tego równania niewiadomą podstawiamy do drugiego równania i otrzymujemy wartość drugiej niewiadomej. Przykład:

17 Wyznaczamy „y” z drugiego równania
Podstawiamy do pierwszego równania Obliczamy x z pierwszego równania Obliczoną niewiadomą x podstawiamy do drugiego równani obliczając y Otrzymujemy rozwiązanie

18 Metoda przeciwnych współczynników Metoda ta polega na pomnożeniu równań układu przez odpowiednio dobrane liczby, tak aby po dodaniu równań stronami otrzymać równanie z jedną niewiadomą. Przykład: Mnożymy obustronnie drugie równanie przez -2: Otrzymujemy równanie Dodajemy równania do siebie otrzymując:

19 Następnie mnożymy obustronnie drugie równanie przez -3:
Otrzymujemy układ: Dodajemy stronami i obliczamy x: Rozwiązaniem jest para liczb:

20 Metoda mieszana. Metoda polega na obliczeniu jednej niewiadomej x lub y metodą przeciwnych współczynników, a następnie obliczoną wartość podstawiamy do jednego z równań aby obliczyć drugą niewiadomą. Przykład: Mnożymy obustronnie drugie równanie przez -2: Otrzymujemy równanie Dodajemy równania do siebie otrzymując:

21 Następnie pod y w równaniu drugim podstawiamy 6 i obliczamy x:
Rozwiązaniem jest para liczb:

22 Graficzne rozwiązanie układu równań liniowych.
Metoda ta polega na wykreśleniu w prostokątnym układzie współrzędnych wykresu (linii prostej) każdego równania układu i odczytaniu współrzędnych punktów wspólnych dla obu prostych.

23 Jeżeli dwie proste są równoległe i nie mają punktów wspólnych, to układ równań nie ma rozwiązania.

24 Jeżeli natomiast równania układu opisują tę samą prostą, to rozwiązaniem układu równań są współrzędne wszystkich punktów należących do tej prostej - jest ich nieskończenie wiele.

25 Kilka zdjęć z rozwiązywania układów równań

26

27

28

29 ŹRÓDŁA: 1. http://www.math.edu.pl
2.Podręcznik do Gimnazjum do klasy 3, autorzy m.in. Anna Bazyluk , Anna Dubiecka, wyd. WSiP 3.Encyklopedia Szkolna Matematyka wyd. WSiP Warszwa 1989 4.

30 30