OPCJE.

Prezentacja na temat: "OPCJE."— Zapis prezentacji:

1 OPCJE

2 OPCJE - zagadnienia Funkcja wypłaty, funkcja zysku Terminy: in the money, out of the money Rynek doskonały Wzory na wycenę opcji przy założeniu okresowej kapitalizacji odsetek Wzory na wycenę opcji przy założeniu ciągłej kapitalizacji odsetek Delta hedging (strategia osłonowa delta) Algorytm wyceny w ustalonej liczbie etapów

3 OPCJE / DEFINICJA Opcja jest prawem do zakupu lub sprzedaży określonej ilości wyspecyfikowanego przedmiotu (tzw. instrumentu bazowego) po z góry ustalonej cenie i w ciągu umówionego okresu lub w wyznaczonym terminie. Opcja jest to umowa dająca jej posiadaczowi prawo do wykonania określonej czynności w określonym momencie lub przedziale czasu.

4 CELE ZAWIERANIA KONTRAKTÓW OPCYJNYCH
Zabezpieczenie przed niekorzystnymi zmianami cen instrumentu bazowego Spekulacje na spadku lub wzroście instrumentu bazowego Arbitraż między rynkiem instrumentów pochodnych a rynkiem instrumentów bazowych

5 INSTRUMENTY BAZOWE DLA OPCJI
Waluty opcje na kursy walutowe Akcje opcje na poszczególne akcje Obligacje opcje na obligacje Towary opcje na towary Stopy procentowe opcje na kontrakty na stopy procentowe

6 Funkcja wypłaty / europejska opcja kupna
K - cena realizacji (wykonania) T - data wygaśnięcia opcji ST - cena w momencie T waloru bazowego, na który wystawiona jest opcja   Jeśli w chwili T cena rynkowa waloru (ST) jest większa od ceny wykonania K , to posiadający opcję kupna uzyskuje kwotę ST - K , ( opcja daje mu prawo do zakupienia waloru za cenę K, który może sprzedać po cenie rynkowej wynoszącej ST ). Jeśli ST ≤ K, to opcja kupna jest bezwartościowa i nie zostanie zrealizowana. Niech C oznaczać będzie cenę opcji kupna a P będzie ceną opcji sprzedaży

7 Funkcja wypłaty / europejska opcja kupna
Definicja Funkcję zdefiniowaną wzorem lub nazywamy funkcją wypłaty dla posiadacza opcji kupna.

8 Funkcja wypłaty / europejska opcja sprzedaży
Funkcję zdefiniowaną wzorem lub nazywamy funkcją wypłaty dla posiadacza opcji sprzedaży.

9 Zysk posiadacza opcji kupna (long call)

10 Zysk wystawcy opcji kupna (short call) C – cena opcji kupna (premia)

11 Zysk posiadacza opcji sprzedaży (long put) P – cena opcji sprzedaży (premia)

12 Zysk wystawcy opcji sprzedaży (short put) P – cena opcji sprzedaży (premia)

13 Terminy: in the money, out of the money, at the money
Opcja kupna Opcja sprzedaży in the money ( w cenie) Cena instrumentu bazowego jest wyższa od ceny wykonania. Cena instrumentu bazowego jest niższa od ceny wykonania. out of the money (poza ceną) Cena instrumentu bazowego jest niższa od ceny wykonania. at the money Cena instrumentu bazowego jest zbliżona lub równa cenie wykonania. Cena instrumentu bazowego jest zbliżona lub równa cenie wykonania

14 Wycena opcji – model dwumianowy założenia o rynku doskonałym
oprocentowanie depozytów i kredytów bankowych jest jednakowe wysokość zaciąganych kredytów nie jest ograniczona zapewniona jest płynność obrotu wszystkimi aktywami nie ma żadnych kosztów związanych z zawieraniem transakcji wszystkie aktywa są doskonale podzielne dopuszczalna jest krótka sprzedaż aktywów brak jest możliwości arbitrażu

15 Arbitraż - różne sformułowania
Możliwość uzyskania zysku ponad stopę wolną od ryzyka, bez ryzyka ponoszenia strat Możliwość uzyskania dodatniej wartości portfela o zerowej początkowej wartości Możliwość wykorzystania „niedopasowań” rynkowych, pozwalająca na osiąganie dodatkowego zysku bez ponoszenia ryzyka (finansowe perpetuum mobile) Możliwość uzyskania zysku z różnicy cen, gdy walorem handluje się na dwóch rynkach

16 Definicja arbitrażu z użyciem prawdopodobieństwa
Arbitraż jest sytuacją w której w chwili t = 0 portfel ma zerową wartość w chwili t = T wartość portfela jest nieujemna z prawdopodobieństwem 1 oraz wartość portfela jest dodatnia z dodatnim prawdopodobieństwem

17 Cel: określenie ceny opcji kupna C0 Dane: cena realizacji - K
Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna przy kapitalizacji okresowej Cel: określenie ceny opcji kupna C0 Dane: cena realizacji - K cena początkowa akcji - S0 cena akcji po upływie okresu w przypadku wzrostu w przypadku spadku stopa wolna od ryzyka - r Zakładamy ponadto że (i) wycena opcji nie będzie zależała od późniejszego zachowania akcji (tzw. obojętność względem ryzyka) (ii) akcja nie przynosi dywidendy (iii) rynek jest doskonały (iv) kapitalizacja jest okresowa

18 Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przykład
cena realizacji – 110 zł cena początkowa akcji zł cena akcji po upływie okresu w przypadku wzrostu – 150 zł w przypadku spadku – 70 zł okresowa stopa wolna od ryzyka %

19 Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przykład
Wartość opcji (funkcja wypłaty) po upływie jednego okresu w przypadku wzrostu ceny akcji Wartość opcji (funkcja wypłaty) po upływie jednego okresu w przypadku spadku ceny akcji

20 Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przykład
Rozważmy portfel składający się z jednej opcji kupna w pozycji krótkiej oraz pewnej liczby akcji, którą oznaczamy symbolem ∆0 Wartość portfela po upływie jednego okresu będzie wynosić: - gdy cena akcji wzrośnie - gdy cena akcji spadnie.

21 Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przykład
Zgodnie z założeniami portfel ma być wolny od ryzyka, czyli spełniać warunek oznacza to, że Stąd ∆0 = 0,5 Portfel powinien składać się z długiej pozycji w akcjach w liczbie 0,5 oraz z krótkiej pozycji opcji kupna w liczbie 1. W obu przypadkach (wzrostu bądź spadku ceny akcji) wartość portfela po upływie jednego okresu wynosi 35 zł.

22 Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przykład
Aby po jednym okresie uzyskać z lokaty 35 zł należy w chwili początkowej zainwestować kwotę: Oznacza to, że wartość jego portfela (∆0 , - 1) w chwili początkowej musi być równa V0 = 29,17 zł. (Portfel jest wolny od ryzyka, dlatego jego okresowa stopa zwrotu musi być równa 20%). Z drugiej strony wartość portfela w chwili początkowej można przedstawić w postaci stąd C0 = 20,83

23 Model dwustanowy jednookresowy . Przykład
Uwaga 1. Cena opcji C0 = 20,83 zł jest tzw. ceną arbitrażową, lub ceną fair. Rzeczywiście gdyby cena opcji była większa, to inwestor potrzebowałby mniej niż 29,17 zł na konstrukcję portfela w chwili początkowej, zatem okresowy zysk byłby większy niż 20%, czyli istniałaby możliwość arbitrażu. (np.. C0 = 22, to wartość portfela początkowego 28 zł, końcowego 35, zysk 25%) Gdyby cena opcji była mniejsza niż 20,83 zł , (np. 20 zł) to inwestor powinien zająć pozycję odwrotną (krótka sprzedaż 0,5 akcji, kupno opcji, zdeponowanie pozostałych pieniędzy (30 zł) na koncie). Po upływie okresu należy odkupić 0,5 akcji za 75 zł i uzyskać z opcji 40 zł (w przypadku zwyżki), bądź odkupić 0,5 akcji za 35 zł w przypadku zniżki, zatem wydać w obu sytuacjach 35 zł. Ale po upływie okresu depozyt jest wart 36 zł. Otrzymujemy arbitrażowy zysk w wysokości 1 zł (wartość portfela w chwili początkowej była zerowa)

24 Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przypadek ogólny
Rozważmy - jak w przykładzie - portfel składający się z jednej opcji kupna w pozycji krótkiej oraz pewnej liczby akcji ∆0 Portfel ma być wolny od ryzyka (zał. (i)) tzn: czyli gdzie

25 Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przypadek ogólny
Gdyby d > 1+r, to możliwy byłby arbitraż polegający na możliwości zaciągnięcia nieograniczonego kredytu przy stopie r oraz inwestycja w akcje. Gdyby 1+r > u, to możliwy byłby arbitraż polegający na krótkiej sprzedaży akcji i ulokowanie pieniędzy na lokacie o oprocentowaniu r. Obie sytuacje wyklucza założenie (7)

26 Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przypadek ogólny
Skoro portfel jest wolny od ryzyka, jego roczna stopa zwrotu musi być równa stopie zwrotu wolnej od ryzyka. Zatem: końc.wart. portf./(1+r) = początk. wart. portf. Stąd wyliczając C0 otrzymujemy (uwzględniając wzór na delta)

27 Po uproszczeniach otrzymujemy

28 Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przypadek ogólny
Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przypadek ogólny. Podsumowanie Swierdzenie 1. Cena europejskiej opcji kupna w dwustanowym modelu jednookresowym (przy wcześniejszych oznaczeniach) dana jest wzorem zatem

29 Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji sprzedaży.
Stwierdzenie 2. Cena europejskiej opcji sprzedaży z ceną realizacji K w jednookresowym modelu dwumianowym wynosi: gdzie P1u oraz P1u oznaczają wartości opcji sprzedaży (wypłaty z opcji) odpowiednio po wzroście, po spadku akcji, czyli Dowód w przypadku opcji sprzedaży można uzyskać naśladując postępowanie z dowodu dla opcji kupna lub wykorzystać parytet kupna-sprzedaży (o czym - później), przy kapitalizacji okresowej

30 Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. UWAGI
Uwaga 2. (a) Wzór określający cenę opcji kupna nie zawiera wartości prawdopodobieństw wzrostu ani spadku ceny akcji. (b) Liczby p i (1-p) można interpretować jako prawdopodobieństwo (odpowiednio) wzrostu, spadku ceny akcji Przy interpretacji liczb p i (1-p) jako prawdopodobieństwa, cena opcji kupna jest oczekiwaną wartością funkcji wypłaty zdyskontowaną czynnikiem 1/(1+ r). C0 jest funkcją malejącą zmiennej K na przedziale (S0d, S0u) C0 jest funkcją rosnącą zmiennej S0 na przedziale (K/u, K/d)

31 Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna.
Uwaga 3. Przy interpretacji probabilistycznej liczb p i (1- p) wartość oczekiwana ceny akcji po jednym okresie jest równa wartości przyszłej kwoty S0 . Dowód

32 Model dwustanowy dwuokresowy wyceny opcji kupna. Zmienność ceny akcji

33 Model dwustanowy dwuokresowy
Stwierdzenie 3. gdzie

34 Model dwustanowy dwuokresowy wyceny opcji kupna
Model dwustanowy dwuokresowy wyceny opcji kupna. Zmienność wartości opcji Oznaczenia wartości opcji w węzłach

35 Model dwustanowy dwuokresowy
Stosując wzór na wycenę opcji kupna w modelu jednookresowym dla węzłów (b), (c) otrzymujemy Znając te wyceny można wyznaczyć cenę opcji w chwili początkowej - czyli w węźle (a)

36 Model dwustanowy dwuokresowy
Podstawiając dwa poprzednie wzory do ostatniego otrzymujemy Mamy więc

37 Model dwustanowy dwuokresowy
Uwaga 4. 1. Podobnie jak dla wyceny opcji w modelu jednookresowym liczby można interpretować jak prawdopodobieństwa odpowiednio dwukrotnego wzrostu , wzrostu i spadku, dwukrotnego spadku akcji. 2. Wzór na wycenę opcji można przedstawić następująco lub z użyciem dwumianu Newtona

38 Model dwustanowy n – okresowy Uogólnienie wzoru na wycenę opcji kupna dla modelu dwuokresowego
Uwaga 5. Wzór na wycenę opcji kupna w modelu dwuokresowym można uogólnić (metodą indukcji matematycznej) na przypadek modelu n - okresowego:

39 Drzewo cen w modelu multiplikatywnym, dwumianowym (4 etapy, S – cena początkowa)

40 Ceny końcowe akcji w modelu multiplikatywnym dwumianowym, n-etapowym
Możliwe ceny końcowe muszą mieć postać Sukdn-k, gdzie k = 0,1,…,n. Na drzewie cenowym istnieje różnych dróg prowadzących do węzła identyfikowanego z ceną Sukdn-k , gdyż każda droga jest jednoznacznie scharakteryzowana przez n-wyrazowy ciąg (u,u,d,u,…,d,u), zawierający k liter u oraz (n-k) liter d.

41 Ceny końcowe w modelu multiplikatywnym dwumianowym, n-etapowym
Prawdopodobieństwo każdej takiej drogi – jako koniunkcji zdarzeń niezależnych - wynosi pk (1-p)n-k Zatem prawdopodobieństwo ceny końcowej S0 ukdn-k wynosi

42 Interpretacja wzoru na wycenę opcji kupna w modelu n - okresowym
Jeżeli p potraktujemy jak prawdopodobieństwo wzrostu akcji, to liczba dana wyżej jest prawdopodobieństwem uzyskania ceny końcowej akcji ukdn-kS0, zaś liczba max(ukdn-kS0-K,0) jest wartością (funkcją wypłaty) opcji kupna przy tej cenie akcji. Stwierdzenie 4. Cena opcji kupna C0 jest równa wartości bieżącej oczekiwanej funkcji wypłaty z opcji.

43 Model dwustanowy n – okresowy Wzór na wycenę opcji sprzedaży
Uwaga 6. Cena opcji sprzedaży w modelu n okresowym dana jest wzorem Uwaga 7. Jeżeli p potraktujemy jako prawdopodobieństwo wzrostu akcji, to liczba P0 jest równa zaktualizowanej na moment początkowy oczekiwanej wartości funkcji wypłaty opcji sprzedaży. Liczba Max(K-ukdn-kS0, 0) jest wartością (funkcją wypłaty) opcji sprzedaży przy cenie akcji ukdn-kS0.

44 Model dwumianowy wyceny opcji ciągła kapitalizacja odsetek
STW. 5. Wartość opcji kupna w modelu jednookresowym dwumianowym, w warunkach obojętności wobec ryzyka, przy kapitalizacji ciągłej, dana jest wzorem C = e – rT [p Cu +(1-p) Cd ] gdzie p = (e rT – d)/(u – d)  Dowód. Rozważmy portfel składający się z ∆ akcji (długa pozycja) i jednej opcji (krótka pozycja). Obliczymy wartość ∆, dla której portfel ten jest wolny od ryzyka. W przypadku wzrostu ceny akcji wartość portfela w momencie wygaśnięcia opcji jest równa Su∆ - Cu zaś w drugim przypadku Sd∆ - Cd .

45 Model dwumianowy wyceny opcji ciągła kapitalizacja odsetek
Obojętność wobec ryzyka wymaga by wartości te były równe; Su ∆ - Cu = Sd ∆ - Cd . Zatem liczba akcji w portfelu wynosi ∆ = (Cu-Cd) / (Su – Sd) Bieżąca wartość rozpatrywanego portfela (Su∆ - Cu)e – rT. Ponieważ początkowy koszt utworzenia portfela wynosił S∆ - C mamy więc równość S∆ - C = (Su∆ - Cu ) e – rT S∆ - (Su∆ - Cu ) e – rT = C S∆ e rT - (Su∆ - Cu ) = C e rT ∆(S e rT – Su) + Cu = C e rT

46 Model dwumianowy wyceny opcji ciągła kapitalizacja odsetek
∆(S e rT – Su) + Cu = C e rT podstawiając ∆ = (Cu-Cd) / S(u – d) równanie przyjmie postać: C e rT = (Cu-Cd) S (e rT – u) /S(u – d) + Cu C e rT = (Cu-Cd) (e rT – u) /(u – d) + (u – d)Cu/(u – d) C e rT = [Cu e rT - Cd e rT – Cu u + Cd u + u Cu – dCu ]/(u – d) C e rT = [Cu e rT - Cd e rT + Cd u – dCu ]/(u – d) C e rT = Cu (e rT –d) )/(u – d) + Cd (u-e rT )/(u – d) C = e – rT [p Cu +(1-p) Cd ] gdzie p = (e rT –d)/(u – d), 1- p = (u-d- erT +d)/(u – d)= (u- erT )/(u – d)

47 Wzory na wycenę opcji przy założeniu ciągłej kapitalizacji odsetek
W modelu jednookresowym Uwaga 8. Cena opcji kupna w modelu n-okresowym dana jest wzorem

48 Porównanie wzorów w modelu jednookresowym kapitalizacja ciągła, kapitalizacja roczna

49 Porównanie wzorów w modelu n – okresowym (kapitalizacja ciągła, kapitalizacja roczna)

50 UWAGI O DELCIE (delta hedging)
W analizie jednookresowego modelu wyceny opcji ustaliliśmy liczbę akcji przypadającej na jedną opcję w pozycji krótkiej Jest on jednocześnie proporcją liczby akcji do liczby opcji (w pozycji krótkiej) dla portfela całkowicie zabezpieczonego (hedge ratio). W modelu wielookresowym delta może być różna w każdym węźle siatki zmienności ceny akcji (zatem dla każdego etapu, dla każdej sytuacji) Jeżeli w każdym momencie portfel akcji i opcji ma być całkowicie zabezpieczony, należy modyfikować jego skład w zależności od scenariusza zmiany ceny akcji.

51 Drzewo cen w modelu multiplikatywnym, dwumianowym (4 etapy, S – cena początkowa)

52 UWAGI O DELCIE (delta hedging)
Po k – tym okresie istnieje k+1 węzłów w przyjętym modelu zmienności akcji, które odpowiadają różnym, zrealizowanym do tego momentu scenariuszom. W każdym węźle wielkość delty może być inna. Można przyjąć, że w poniższym wzorze i=1 odpowiada scenariuszowi samych (dotychczasowych) spadków, zaś i = k+1 – samych wzrostów

53 UWAGI O DELCIE (delta hedging)
Aby portfel składający się z jednej opcji w pozycji krótkiej i pewnej liczby akcji w pozycji długiej, był wolny od ryzyka, liczba akcji musi być modyfikowana w każdym kroku, w zależności od zmieniającej się ceny akcji

54 Model dwustanowy wielookresowy Przykład wyceny w modelu 10 - etapowym
Dokonamy wyceny opcji kupna przy następujących danych

55 Model dwustanowy wielookresowy Algorytm wyceny w modelu 10 – etapowym
Zbudowanie siatki cen akcji w modelu dwumianowym Ustalenie funkcji wypłaty opcji ( max{ cena końcowa akcji – cena realizacji opcji, zero}) Wycena opcji w węzłach sieci etapu 9, ze wzoru na wycenę w modelu jednoetapowym Wycena opcji w węzłach sieci etapu 8, ze wzoru na wycenę w modelu jednoetapowym Itd. Wycena opcji w momencie początkowym

56 Przykład wyceny w modelu 10 – etapowym Siatka cen akcji w modelu dwumianowym

57

58 Model dwustanowy 10 – etapowy. Ustalenie funkcji wypłaty z opcji po 10
Model dwustanowy 10 – etapowy. Ustalenie funkcji wypłaty z opcji po 10. etapie

59 Model dwustanowy 10 – etapowy. Ustalenie wartości opcji w 9
Model dwustanowy 10 – etapowy. Ustalenie wartości opcji w 9. etapie – ze wzoru na wycenę w modelu jednookresowym

60 Model dwustanowy 10 – etapowy
Model dwustanowy 10 – etapowy. Ustalenie wartości opcji w każdym etapie, w kazdej sytuacji ( ze wzoru na wycenę w modelu jednookresowym)

61 Model dwustanowy 10 – etapowy
Model dwustanowy 10 – etapowy. Ustalenie wartości opcji na podstawie wzoru

62 Wartość wewnętrzna i wartość czasowa
Def. Wartość wewnętrzna opcji jest to różnica między ceną instrumentu bazowego, a ceną wykonania w przypadku opcji kupna, natomiast w przypadku opcji sprzedaży wartość wewnętrzna jest równa różnicy między ceną wykonania, a ceną instrumentu bazowego. Def. Wartość czasowa (zewnętrzna) opcji jest to różnica między ceną opcji (premią), a jej wartością wewnętrzną jeśli różnica ta jest nieujemna w przeciwnym razie wartość czasowa jest równa zeru.

63 Zależność między premią (ceną) opcji kupna a ceną instrumentu bazowego oraz wartością wewnętrzną opcji gdzie TV- ( time value ) wartość czasowa IV – (intristic value) wartość wewnętrzna

64 Równoważność portfeli w czasie
Stwierdzenie 6. Jeżeli w chwili końcowej T , wartość dwóch portfeli jest jednakowa (P (1)T = P (2)T ), to również w chwili początkowej ich wartości muszą być równe (P1 = P2) Uzasadnienie Przypuśćmy (przeciwnie) że w chwili początkowej wartość portfela pierwszego P1 była mniejsza niż drugiego P2 Wtedy byłaby możliwa następująca strategia arbitrażowa Krótka sprzedaż portfela P2 , zakup portfela P1 Ulokowanie kwoty (P2 - P1) na oprocentowanym koncie W chwili końcowej Rozliczenie krótkiej sprzedaży (oddanie kwoty P (1)T uzyskanej ze sprzedaży portfela pierwszego w T) Rezultat - uzyskanie arbitrażowego zysku (P2 - P1) erT Gdyby P2 był mniejszy – analogiczne rozumowanie prowadzi do uzyskania zysku arbitrażowego.

65 Notacja K- cena jednostkowa dostawy w kontrakcie forward
T- okres (w latach) pozostający do dostawy S – cena instrumentu bazowego, będącego przedmiotem kontraktu f – wartość długiej pozycji w kontrakcie forward r – wolna od ryzyka roczna stopa procentowa (przy ciągłej kapitalizacji) Litery S, f mogą wystąpić ze wskaźnikami wyznaczającymi punkt na osi czasu z przedziału [0; T] np. S0, St, ST,

66 Określenie sprawiedliwej ceny wykonania kontraktu forward na aktywa nie generujące przepływów finansowych Rozważmy w chwili t = 0 kontrakt forward na jeden walor, którego przechowanie nic nie kosztuje oraz który nie przynosi do chwili t = T żadnych dochodów. Możliwa jest krótka sprzedaż waloru. Zakładamy ciągłą kapitalizację odsetek. Stwierdzenie 7. Przy poczynionych założeniach o rynku sprawiedliwa cena wykonania K kontraktu na walor, dana jest wzorem (1) K = S0 erT Termin realizacji T - wyrażony jest w latach, S0 – cena waloru w chwili t = 0 Uwaga. Cena wykonania jest więc wartością przyszłą bieżącej ceny waloru)

67 Określenie ceny wykonania kontraktu terminowego. Uzasadnienie
K nie może być większe niż S0 erT Gdyby K > S0 erT , wówczas w chwili t = 0 można wykonać następujące operacje pożyczyć w banku kwotę S0 zakupić walor na rynku za S0 zawrzeć kontrakt sprzedaży z ceną K zaś w chwili t = T : zrealizować kontrakt z ceną K zwrócić pożyczkę z odsetkami – w kwocie S0 erT Portfel w chwili t=0 miał wartość zerową Różnica K - S0 erT jest zyskiem arbitrażowym, zatem taka sytuacja jest niemożliwa z założenia

68 Określenie ceny wykonania kontraktu terminowego. Uzasadnienie
Przypuśćmy, że K < S0 erT w chwili t = 0 można wykonać następujące operacje: pożyczyć walor i sprzedać go za kwotę S0 (krótka sprzedaż waloru) kwotę S0 zdeponować w banku zawrzeć kontrakt kupna z ceną K w chwili t = T należy: wycofać z banku depozyt w kwocie S0 erT zrealizować kontrakt kupna z ceną K oddać walor zamykając krótką sprzedaż Portfel w chwili t=0 miał wartość zerową Różnica S0 erT - K jest zyskiem arbitrażowym, zatem taka sytuacja jest niemożliwa z założenia

69 Przykład 1. Cena wykonania 3 – miesięcznego kontraktu forward na akcję pewnej spółki wynosi 43 zł. Wolna od ryzyka roczna stopa procentowa w tym czasie wynosi 5%. Cena akcji – 40 zł. (nie jest spodziewana wypłata dywidendy) Cena wykonania kontraktu jest za wysoka, możliwy jest arbitraż: t=0 Zaciągamy pożyczkę 40 zł, kupujemy akcję Zajmujemy krótką pozycję na kontrakcie t=T Sprzedajemy akcję w ramach realizacji kontraktu za 43 zł Spłacamy pożyczkę w kwocie 40e0,05* 0,25 = 40,5 Uzyskujemy zysk arbitrażowy w kwocie 2,50 zł

70 Przykład 2. Cena wykonania 3 – miesięcznego kontraktu forward na akcję pewnej spółki wynosi 40,40 zł. Wolna od ryzyka roczna stopa procentowa w tym czasie wynosi 5%. Aktualna cena akcji – 40 zł. (nie spodziewana jest wypłata dywidendy) Cena wykonania kontraktu jest za niska, możliwy jest arbitraż: t=0 Dokonujemy krótkiej sprzedaży akcji, Uzyskaną kwotę lokujemy na koncie bankowym Zajmujemy długą pozycję na kontrakcie t=T Wypłacamy kwotę 40e0,05* 0,25 = 40,50 Kupujemy akcję w ramach realizacji kontraktu za 40,40 zł Oddajemy akcję (rozliczenie krótkiej sprzedaży) Uzyskujemy zysk arbitrażowy w kwocie 0,10 zł

71 Wartość kontraktu terminowego kupna definicja
Kontrakt terminowy zawarty w chwili t = 0 z ceną wykonania K w chwili T, może być przedmiotem obrotu. Zasadne jest więc pytanie o jego wartość w chwili t z przedziału [0; T]. DEF. Wartość długiej pozycji ft kontraktu forward w chwili t definiuje wzór ft = St - e-r(T-t) K Wartość kontraktu kupna w chwili t jest różnicą między ceną rynkową waloru w chwili t, St a zdyskontowaną na moment t ceną wykonania tego kontraktu Jeżeli do wygaśnięcia kontraktu pozostaje T lat, cena wykonania kontraktu wynosi K, bieżąca cena waloru S, to wartość pozycji długiej wynosi f = S - e-rT K

72 Parytet cen opcji kupna i sprzedaży Call-put parity
Rozważmy portfel o składzie: 1. europejska opcja sprzedaży waloru o aktualnej cenie S0 z ceną realizacji K i terminem realizacji T, 2. kontrakt terminowy kupna tego samego waloru z tą sami ceną realizacji i z tym samym terminem realizacji co opcja sprzedaży. Rozpatrzmy dwa przypadki: w chwili T: S T < K kontrakt terminowy przyniesie stratę K – S T opcja sprzedaży przyniesie wypłatę K - S T zatem (nie uwzględniając kosztów transakcji) przepływy finansowe w chwili T mają bilans zerowy b) w chwili T: S T > K kontrakt terminowy przyniesie zysk równy ST - K opcja sprzedaży będzie bezwartościowa i nie zostanie wykonana Zatem w chwili T wypłata portfela będzie równa ST - K

73 Parytet cen opcji kupna i sprzedaży
Wniosek 1. Rozważany portfel ma w chwili T funkcję wypłaty opcji kupna. Stw. 8. Skoro wartość portfela w chwili T jest wartością opcji kupna, zatem wartość portfela w chwili początkowej musi być także równy wartości opcji, czyli C0 = P0 + f gdzie C0 , P0 ceny odpowiednio opcji kupna , opcji sprzedaży, f - wartość kontraktu terminowego kupna w chwili t = 0, czyli C0 = P0 + S0 - e-rT K Uwaga. Jeżeli założymy kapitalizację roczną oraz roczny okres do chwili realizacji opcji, wzór na parytet przyjmie postać C0 = P0 + S0 - K/(1+r)

74 Parytet cen opcji kupna i sprzedaży
Uwaga 9. Jeżeli założymy kapitalizację roczną oraz roczny okres do chwili realizacji opcji, wzór na parytet przyjmie postać C0 = P0 + S0 - K/(1+r) Z ostatniej równości oraz wzorów Można także uzyskać wzór na cenę opcji sprzedaży

75 Ograniczenia na cenę opcji kupna oraz opcji sprzedaży
Ce cena europejskiej opcji kupna Pe cena europejskiej opcji sprzedaży Ca cena amerykańskiej opcji kupna Pa cena amerykańskiej opcji sprzedaży r stopa procentowa wolna od ryzyka, przy kapitalizacji ciągłej So cena akcji w chwili początkowej T termin realizacji opcji K cena wykonania opcji

76 Ograniczenia na cenę opcji kupna
Stw. 9. Ceny opcji kupna spełniają następujące nierówności So ≥ Ca ≥ Ce ≥ max( So – K e-rT, 0 ) Uzasadnienie Cena opcji amerykańskiej nie może być wyższa niż cena rynkowa akcji gdyż w przeciwnym przypadku taniej byłoby kupić akcję bezpośrednio na rynku, zatem So ≥ Ca Ze względu na większe uprawnienia właściciela opcji amerykańskiej jej cena nie może być mniejsza od ceny opcji europejskiej, czyli Ca ≥ Ce z parytetu kupna-sprzedaży (Ce – Pe = So – K e-rT ) Ce = So – K e-rT + Pe wartość opcji nie może spaść poniżej zera (mamy Pe ≥ 0,) zatem Ce ≥ So – K e-rT Stąd i nierówności Ce ≥ 0 otrzymujemy Ce ≥ max( So – K e-rT, 0 )

77 Ograniczenia na cenę opcji sprzedaży
Stw. 10. Ceny opcji sprzedaży spełniają następujące nierówności K ≥ Pa ≥ Pe ≥ max ( Ke-rT –S0 ,0) Uzasadnienie Gdyby K < Pa , to wystawiając opcję sprzedaży z cena wykonania K uzyskujemy – w najgorszym przypadku Pa- K (co jest zyskiem arbitrażowym); Pa ≥ Pe gdyż za szersze uprawnienia opcji amerykańskiej nie możemy płacić mniej; z parytetu ceny opcji Pe = Ce - So + K e-rT oraz nierówności Ce ≥ 0 otrzymujemy Pe ≥ Ke-rT -So , ponieważ Pe ≥ 0, więc Pe ≥ max(Ke-rT –S0 , 0)

78 Wycena opcji J.C. Cox, S.A. Ross, M. Rubinstein Wycena opcji europejskiej w modelu dyskretnym Fischer Black, Myron Sholes, Robert Merton (1973) Wycena opcji europejskiej w modelu ciągłym Fischer Black, Myron Sholes Nagroda Nobla za nową metodę wyceny instrumentów pochodnych