Andrzej Majkowski informatyka + 1.

Prezentacja na temat: "Andrzej Majkowski informatyka + 1."— Zapis prezentacji:

1 Andrzej Majkowski informatyka + 1

2 Kwadrat magiczny Paweł Perekietka 2

3 Kwadrat magiczny Wypełnij pola kwadratowej tablicy o wymiarach 3 × 3 różnymi liczbami od 1 do 9 w taki sposób, aby suma liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i każdej przekątnej była taka sama (tzw. suma magiczna). 3 3

4 Kwadrat magiczny Jaką wartość powinna mieć tzw. suma magiczna? 15
Kluczowym elementem rozwiązania zadania jest określenie wartości tzw. sumy magicznej. Musi być ona równa sumie wszystkich liczb ( … + 9) podzielonych przez 3. Jaką wartość powinna mieć tzw. suma magiczna? 15 Dlaczego? 4 4

5 Kwadrat magiczny Jaką wartość należy wstawić w środkowym polu? 5
Drugim kluczowym pytaniem jest pytanie o liczbę, którą należy wpisać w środkowym polu. Jaką wartość należy wstawić w środkowym polu? 5 Dlaczego? 5 5

6 Kwadrat magiczny Zapisujemy sumy liczb: w drugim wierszu: (d + e + f)
w drugiej kolumnie: (b + e + h) na przekątnych: (a + e + i) + (g + e + c). Ostatnia suma jest równa 3e + 3 × 15 . Każda z sum zapisanych wyżej jest równa tzw. magicznej sumie, czyli 15. Stąd 3e + 3 × 15 = 4 × 15. I ostatecznie e = 5. Po przegrupowaniu liczb otrzymujemy: 3e + (a + b + c) + (d + e + f) + (g + h + i) Co z tego wynika? 6 6

7 Należy skorzystać z tego, że:
Kwadrat magiczny Ponieważ „wokół” 5 każdą sumę należy uzupełnić o 10, więc pozostaje sprawdzić ustawienia par liczb (1,9), (2,8), (3,7) i (4,6). Co dalej? Należy skorzystać z tego, że: 10 = 9 +1 = = = 4 + 6 7 7

8 Kwadrat magiczny Są dwie możliwości ustawienia 1 i 9:
Z dokładnością do symetrii tablicy, są dwie tylko dwie możliwości ustalenia położenia liczb 1 i 9. Pierwszego ustawienia nie da się uzupełnić do magicznego kwadratu: -- jeśli w prawym górnym rogu wstawimy mniej niż 5, w pierwszym wierszu nie da się uzyskać sumy 15; -- jeśli w prawym górnym rogu wstawimy więcej niż 5, to w ostatniej kolumnie nie da się uzyskać sumy 15. Pozostaje przeanalizować drugi przypadek ustawienia (W tym momencie możemy mówić o zastosowaniu idei nawracania.) Pierwszego ustawienia nie da się uzupełnić! Dlaczego? 8 8

9 Uwzględniając symetrię mamy cztery możliwości.
Kwadrat magiczny W wierszu lub kolumnie zawierającej liczbę 1 trzeba wstawić 6 i 8. Można to zrobić na dwa sposoby. Uwzględniając symetrię mamy cztery możliwości. Co dalej? 9 9

10 W każdym przypadku można zbudować dwa kwadraty.
Kwadrat magiczny W wierszu lub kolumnie zawierającej liczbę 1 trzeba wstawić 6 i 8. Można to zrobić na dwa sposoby. Pozostałe liczby można wstawić już tylko w jeden sposób. W każdym przypadku można zbudować dwa kwadraty. 10 10

11 Osiem magicznych kwadratów (rozwiązania zadania).
Kwadrat magiczny Otrzymamy więc w sumie osiem rozwiązań (każde z nich można uzyskać z każdego innego przez obrót i symetrię). Osiem magicznych kwadratów (rozwiązania zadania). 11 11

12