Obwody elektryczne wykład z 14.12

Prezentacja na temat: "Obwody elektryczne wykład z 14.12"— Zapis prezentacji:

1 Obwody elektryczne wykład z 14.12
2017

2 Program wykładu: wybrane zagadnie z teorii obwodów elektrycznych
Zastępownie gałęzi źródłem napięcia lub prądu Włączanie i przenoszenie źródeł Twierdzenie o kompensacji Zasada wzajemności Elementy topologii obwodów OE1 2015

3 Zastępownie gałęzi źródłem napięcia lub prądu

4 Obwód z wyodrębnioną k-tą gałęzią OE1 2015

5 źródeł napięcia (przeciwsobnych) w gałęzi k
Dołączenie dwóch źródeł napięcia (przeciwsobnych) w gałęzi k OE1 2015

6 Jeśli e = uk uAC = 0 Gałąź obwodu, na której występuje napięcie uk można zastąpić idealnym źródłem napięcia o napięciu źródłowym e = uk OE1 2015

7 Dla wyodrębnionej gałęzi z prądem ik:
OE1 2015

8 Gałąź obwodu, wiodącą prąd ik można zastąpić idealnym źródłem prądu
Jeśli j = ik ik-j+j  j Gałąź obwodu, wiodącą prąd ik można zastąpić idealnym źródłem prądu j = ik OE1 2015

9 Włączanie i przenoszenie źródeł
Twierdzenie o włączaniu dodatkowych źródeł

10 Jeżeli we wszystkich gałęziach zbiegających się w dowolnym węźle umieścimy źródła napięcia o tym samym napięciu źródłowym i takiej orientacji względem węzła to rozpływ prądów w układzie nie ulegnie zmianie. NPK nie ulega zmianie!!! OE1 2015

11 Jeżeli w dowolnej pętli obwodu, równolegle do każdej gałęzi, włączymy między kolejne węzły źródła prądu o jednakowym zwrocie względem obiegu pętli i jednakowych wartościach to rozkład napięć w układzie nie ulegnie zmianie. OE1 2015

12 Przenoszenie źródeł (1)
OE1 2015

13 Przenoszenie źródeł (2)
OE1 2015

14 OE1 2015

15 Twierdzenie o kompensacji

16 Twierdzenie o komensacji
Umożliwia określenie związku pomiędzy zmianą odpowiedzi obwodu liniowego a zmianą jego parametrów

17 Rozpatrujemy obwód liniowy:
OE1 2015

18 OE1 2015

19 Po zastosowaniu twierdzenia o zastępowaniu gałęzi źródłem napięciowym:
OE1 2015

20 Z SUPERPOZYCJI OE1 2015

21 PONIEWAŻ OE1 2015

22 Obwód z ostatniego rysunku, w którym wymuszeniem jest źródło napięciowe i∆R, pozwala wyznaczyć zmianę odpowiedzi spowodowaną zmianą rezystancji R. Jeżeli w gałęzi obwodu o rezystancji R płynie prąd i, to zmianę tego prądu ∆i spowodowaną zmianą rezystancji R o ∆R można wyznaczyć z obwodu, w którym jedynym wymuszeniem jest źródło i∆R.

23 Tw.o kompensacji

24 Zasada wzajemności

25 OE1 2015 25

26 TWIERDZENIE O WZAJEMNOŚCI OCZKOWE
OE1 2015 26

27 TWIERDZENIE O WZAJEMNOŚCI OCZKOWE
Jeżeli źródło napięcia e dołączone do zacisków 11’ czwórnika utworzonego z oporników liniowych wytwarza w zwartej gałęzi 22’ prąd i2 , to po przeniesieniu tego źródła do gałęzi 22’ w zwartej gałęzi 11’ popłynie prąd: e OE1 2015 27 27

28 Twierdzenie o wzajemności węzłowe
OE1 2015 28

29 TWIERDZENIE O WZAJEMNOŚCI WĘZŁOWE
Jeżeli źródło prądowe j dołączone do zacisków 11’ czwórnika utworzonego z oporników liniowych wytwarza na rozwartych zaciskach 22’ napięcie u2 , to po przeniesieniu tego źródła do gałęzi 22’ na rozwartych zaciskach 11’ wystąpi napięcie: e OE1 2015 29 29

30 Twierdzenie o wzajemności hybrydowe
OE1 2015 30

31 TWIERDZENIE O WZAJEMNOŚCI HYBRYDOWE
Jeżeli źródło prądowe j dołączone do zacisków 11’ czwórnika utworzonego z oporników liniowych wytwarza w zwartej gałęzi 22’ prąd i2 , zaś źródło napięcia zasilające ten czwórnik od strony zacisków 22’, powoduje powstanie napięcia między zaciskami 11’, to prawdziwa jest równość: e OE1 2015 31 31

32 OE1 2015 32

33 Dowód DLA KAŻDEJ k-tej GAŁĘZI ZACHODZI: Czyli: Skąd: OE1 2015 33

34 Uzasadnienie twierdzenia o wzajemności oczkowego
OE1 2015 34

35 Uzasadnienie twierdzenia o wzajemności węzłowego
OE1 2015 35

36 Twierdzenie o wzajemności hybrydowe - dowód
OE1 2015 36

37 Elementy topologii cd

38 OBWÓD PRZYKŁADOWY

39 POJĘCIA PODSTAWOWE (cd)
WĘZEŁ  miejsce połączenia końcówek elementów oznaczane na schematach kropką. GAŁĄŹ  odcinek obwodu między węzłami (zawiera zwykle jeden element lub urządzenie wraz z przewodami) ŚCIEŻKA  ciąg gałęzi: rozpoczyna się w jednym węźle, przebiega kolejno pewien zbiór gałęzi i kończy się w węźle końcowym PĘTLA  zamknięty ciąg gałęzi: rozpoczyna się w jednym węźle, przebiega kolejno pewien zbiór gałęzi i kończy się w tym samym węźle początkowym (inaczej: ścieżka o wspólnym początku i końcu)

40 POJĘCIA PODSTAWOWE (cd)
GRAF  graficzne odwzorowanie obwodu zawierające jedynie informację o lokalizacji elementów i ich połączeniach otrzymujemy go przez zastąpienie wszystkich elementów obwodu gałęziami GRAF ZORIENTOWANY graf zawierający dodatkowo informację o kierunku odniesienia sygnałów gałęziowych (może być zorientowany prądowo, napięciowo lub w sposób uniwersalny)

41 Tworzenie grafu 1 2 1 2 1 2 Element obwodu między węzłami 1 i 2
1-sza gałąź grafu niezorientowanego między węzłami 1 i 2 1 2 1-sza gałąź grafu zorientowanego między węzłami 1 i 2

42 OBWÓD - GRAF - GRAF ZORIENTOWANY

43 OBWÓD - GRAF - GRAF ZORIENTOWANY
OBWÓD - GRAF ZORIENTOWANY

44 kolejne gałęzie mają wspólny węzeł,
DROGA Drogą między węzłami j i k nazywamy zbiór gałęzi grafu utworzony w ten sposób, że kolejne gałęzie mają wspólny węzeł, w żadnym węźle nie łączą się więcej niż dwie gałęzie zbioru, z węzłem j oraz z węzłem k łączy się dokładnie jedna gałąź zbioru.

45 Przykład 1 drogi między węzłami 1 i 2
Zbiór gałęzi e-f-g-c-d spełnia warunki definicji drogi

46 Przykład 2 drogi między węzłami 1 i 2
Zbiór gałęzi e-f-g-c-h-i-j nie spełnia warunku (2) definicji drogi

47 Przykład 3 drogi między węzłami 1 i 2
Zbiór gałęzi e-g-c-d nie spełnia warunku (1) definicji drogi

48 Pętlą grafu nazywamy podgraf grafu spełniający następujące warunki
Pętla Pętlą grafu nazywamy podgraf grafu spełniający następujące warunki podgraf jest spójny, w każdym węźle podgrafu łączą się dwie i tylko dwie gałęzie.

49 Przykład 1 pętla Zbiór gałęzi e-f-g-c-d-a spełnia warunki definicji pętli

50 Przykład 2 nie-pętla Zbiór gałęzi e-j-a-g-c-h nie spełnia warunku 1 definicji pętli

51 Przykład 3 nie-pętla Zbiór gałęzi e-i-f-j-a nie spełnia warunku 2 definicji pętli

52 Pozostałe gałęzie grafu tworzą przeciwdrzewo (DOPEŁNIENIE)
Drzewem grafu spójnego nazywamy spójny podgraf obejmujący wszystkie węzły i nie zawierający żadnej pętli. Pozostałe gałęzie grafu tworzą przeciwdrzewo (DOPEŁNIENIE)

53 Przykład 1 DRZEWO Zbiór gałęzi e-f-g-c-d spełnia warunki definicji drzewa

54 Przykład 2 DRZEWO Zbiór gałęzi e-f-g-h-j spełnia warunki definicji drzewa

55 Drzewo grafu spójnego o  węzłach i b gałęziach zawiera  - 1 gałęzi.
Twierdzenie Drzewo grafu spójnego o  węzłach i b gałęziach zawiera  - 1 gałęzi. Dowód (indukcyjny): Dla n=2, b=1 (n= ) twierdzenie prawdziwe

56 Cd. Dowód (indukcyjny)cz.2:
Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla grafu n-węzłowego. Rozpatrzmy graf o n+1 węzłach, utwórzmy drzewo i wyodrębnijmy ten węzeł, w którym zbiega się tylko jedna gałąź drzewa. Graf o n węzłach

57 Drzewo rozpatrywanego grafu skład się zatem
n węzłach Drzewo rozpatrywanego grafu skład się zatem z drzewa grafu n-węzłowego oraz gałęzi dk. Uwzględniając założenie indukcyjne otrzymamy: (n-1)+1=n WNIOSEK: Dopełnienie grafu spójnego  węzłach i b gałęziach zawiera b -  + 1 gałęzi.

58 Przekrojem grafu spójnego nazywamy zbiór
PRZEKRÓJ Przekrojem grafu spójnego nazywamy zbiór gałęzi spełniający następujące warunki (1) usunięcie wszystkich gałęzi przekroju bez węzłów końcowych powoduje podział grafu na dwa podgrafy (2) usunięcie wszystkich gałęzi przekroju poza jedną nie narusza spójności grafu.

59 Przykład 1 przekrój Zbiór gałęzi b-f-i-d spełnia warunki definicji przekroju

60 Przykład 2 nie- przekrój
Zbiór gałęzi b-f-i-d-j nie spełnia warunków (2) definicji przekroju

61 PRZEKRÓJ FUNDAMENTALNY
Przekrojem grafu spójnego nazywamy fundamentalnym jeżeli jest utworzony z dokładnie jednej gałęzi drzewa i gałęzi dopełnienia. Jest ich w grafie  - 1

62 (1) eab (2) fbija (3) gbhja (4) chja (5) dja
DRZEWO grafu i przekroje fundamentalne Przekroje fundamentalne dla drzewa e-f-g-c-d (1) eab (2) fbija (3) gbhja (4) chja (5) dja

63 Pętla FUNDAMENTALNA Pętlę nazywamy fundamentalną jeżeli jest utworzona z dokładnie jednej gałęzi dopełnienia i gałęzi drzewa. Jest ich w grafie b -  + 1

64 (1) aefgcd (2) bgfe (3) hcg (4) if (5) jfgcd
DRZEWO grafu i pętle fundamentalne Pętle fundamentalne dla drzewa e-f-g-c-d (1) aefgcd (2) bgfe (3) hcg (4) if (5) jfgcd

65 Twierdzenia dotyczące PRAW KIRCHHOFFA
(1) Maksymalna liczba równań liniowo niezależnych otrzymanych z PPK wynosi  -1. Równania te można napisać stosując PPK do  -1 fundamentalnych przekrojów. (2) Maksymalna liczba równań liniowo niezależnych otrzymanych z NPK wynosi b -  +1 . Równania te można napisać stosując PPK do b -  +1 fundamentalnych pętli.

66 DEFINICJA GRAFU PLANARNEGO: Graf planarny to taki graf, który może być
narysowany na płaszczyźnie tak aby gałęzie przecinały się tylko w węzłach. DEFINICJA OCZKA: Oczkiem grafu planarnego nazywamy pętlę nie zawierająca wewnątrz żadnych gałęzi. TWIERDZENIE Graf planarny zawiera b -  +1 oczek. Równania NPK napisane dla b -  +1 są liniowo niezależne.