Kosek Wiesław 1. Centrum Badań Kosmicznych, PAN, Warszawa

Prezentacja na temat: "Kosek Wiesław 1. Centrum Badań Kosmicznych, PAN, Warszawa"— Zapis prezentacji:

1 Kosek Wiesław 1. Centrum Badań Kosmicznych, PAN, Warszawa
Ruch satelity po orbicie keplerowskiej: Prawa Keplera, Elementy orbity eliptycznej, Orbita w przestrzeni, Perturbacje orbit Kosek Wiesław 1. Centrum Badań Kosmicznych, PAN, Warszawa 2. Wydział Inżynierii Środowiska i Geodezji, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie

2 Satelity Słowo „satelita” oznacza „towarzysza” i odnosi się do sztucznych lub naturalnych obiektów krążących wokół innych ciał w przestrzeni kosmicznej. Satelity dzielimy na: naturalne (planety, księżyce planet, komety i asteroidy) oraz sztuczne, do których należą wszystkie inne urządzenia zbudowane przez człowieka i wyniesione w przestrzeń za pomocą rakiet. Ich zastosowania obejmują między innymi: zadania militarne, zadania geodezyjne, zadania geofizyczne (zmian poziomu oceanów, ruchy gór lodowych), poszukiwanie surowców naturalnych, monitorowanie zmian środowiska naturalnego, monitorowanie danych do prognozowanie pogody, zadania telekomunikacyjne, badanie przestrzeni kosmicznej.

3 Satelity Sztuczne satelity Ziemi, podobnie jak Księżyc, utrzymywane są na swych orbitach dzięki sile grawitacyjnej przyciągania Ziemi, a także sile odśrodkowej związanej z jego ruchem po orbicie. Satelity poruszają się ze ściśle określoną prędkością, która nie może być mniejsza niż 8 km/s (jeżeli będzie mniejsza, satelita spadnie na Ziemię) i nie więcej niż 11 km/s (satelita przezwycięży wówczas przyciąganie ziemskiej grawitacji i oddali się w przestrzeń kosmiczną). W przestrzeni kosmicznej, gdzie nie występują żądne opory hamujące ruch (np. opór atmosfery), satelita może poruszać się bez końca i nie jest potrzebna żadna dodatkowa siła by utrzymywać go na orbicie. Jednakże wszystkie sztuczne satelity Ziemi obniżają stopniowo swoją trajektorię i zbliżają się do powierzchni Ziemi. W końcu spalają się, gdy w skutek tarcia o cząsteczki powietrza ich energia kinetyczna zostaje zamieniona w ciepło.

4 Satelity Proces umieszczania satelity na orbicie wymaga olbrzymiej mocy a jednocześnie dużej precyzji. Satelity są wynoszone na orbity z użyciem silników rakietowych. Satelitę można umieścić na orbicie rakietą jednorazową, która ulega całkowitemu zniszczeniu zaraz po starcie. Coraz częściej duża część satelitów jest wynoszona na orbitę za pomocą promów kosmicznych, które mogą być używane wielokrotnie. Obecnie po orbicie okołoziemskiej krążą już setki satelitów. Liczbę satelitów czynnych (czyli takich, które wykonują określone zadania) ocenia się obecnie na ponad 600.

5 Sputnik 1 Pierwszy sztuczny satelita Ziemi Sputnik 1 został wyniesiony na orbitę 4 października 1957 roku. Satelita ten był metalową kulą o masie 86.3kg, z której wystawały cztery anteny. Rosyjskie urządzenie posiadało przyrządy do pomiaru temperatury i gęstości górnych warstw atmosfery. Przez 21 dni Sputnik 1 przesyłał dane na Ziemię, a po trzech miesiącach spędzonych na orbicie satelita spłonął w atmosferze. W ciągu swojej misji przebył drogę ponad 60mln km, a jego okres obiegu wokół Ziemi wynosił 96 min.

6 Kolejne sztuczne satelity
Explorer 1 USA Explorer 2 failed Vanguard I oldest Explorer 3 Sputnik 2 SU Vanguard TV5 Sputnik 3 Vanguard SLV1 Vanguard SLV2 Explorer 4 in orbit Explorer 5 USA failed Vanguard SLV3 Beacon 1 Vanguard II in orbit Vanguard SLV5 Vanguard SLV6 Explorer S1 Explorer 6 Beacon 2 Vanguard III

7 Geodezja satelitarna – problemy do rozwiązania
Wyznaczenie precyzyjnych współrzędnych stacji obserwacyjnych w globalnym, regionalnym lub lokalnym układzie współrzędnych, Wyznaczenie modelu pola grawitacyjnego Ziemi w tym geoidy, Pomiar i modelowanie procesów geodynamicznych takich jak rotacja Ziemi oraz ruchy płyt tektonicznych.

8 Geodezja satelitarna – zalety
Zaletą techniki satelitarnej jest przede wszystkim dobra widoczność satelity ze stacji nawet bardzo od siebie odległych co pozwala na tworzenie globalnych trójwymiarowych sieci geodezyjnych i pomiar współrzędnych w globalnym układzie odniesienia. Te rozważania prowadzą do rozwoju tzw. metod geometrycznych geodezji satelitarnej. Satelity mogą być również rozważane jako sensory zmiennego pola grawitacyjnego Ziemi. Wszelkie odchylenia orbit satelitów od orbity keplerowskiej służą do wyznaczenia modelu grawitacyjnego pola Ziemi oraz geoidy. Te rozważania prowadzą do rozwoju tzw. dynamicznych metod geodezji satelitarnej. Pierwsze opracowania obserwacji satelitarnych pozwoliły wyznaczyć z dużą dokładnością spłaszczenie Ziemi jak również niesymetryczność Ziemi względem jej równika.

9 Geodezja satelitarna – zalety
Jednoczesne wyznaczanie globalnych współrzędnych stacji oraz pola grawitacyjnego Ziemi pozwala również śledzić zmiany procesów geodynamicznych jakimi są: zmiany rotacji Ziemi, ruchy płyt tektonicznych oraz lokalne ruchy stacji obserwacyjnych spowodowane pływami, trzęsieniami Ziemi lub deformacjami skorupy ziemskiej. W geodezji satelitarnej w zależności od rozpatrywania różnej długości łuków orbitalnych rozróżnia się: techniki krótkich łuków < 30 dni oraz techniki długich łuków > 30 dni. Gdy orbity rozpatrywane są w geocentrycznym układzie współrzędnych wówczas poprzez ich obserwacje możemy wyznaczać współrzędne geocentryczne stacji w globalnym Ziemskim układzie odniesienia.

10 Klasyfikacja satelitarnych metod obserwacyjnych
Earth to space methods: - Obserwacje kierunków do satelity - Satelitarne pomiary odległości (SLR, LLR) - Obserwacje dopplerowskie (TRANSIT, DORIS) - Globalny nawigacyjny system pozycyjny GNSS (GPS, GLONASS, GALILEO) Space to Earth methods: - Altimetria satelitarna - spaceborn laser - gradiometria satelitarna Space to Space methods: - Satellite to satellite tracking (SST)

11 Geodezja satelitarna – historia
W roku 1802 Laplace wykorzystał obserwacje Księżyca do wyznaczenia spłaszczenia Ziemi (f=1/303). Spłaszczenie Ziemi z tych obserwacji wyznaczali: Hansen (1864) f=1/296, Helmert (1884) f=1/297.8, Hill (1884) f=1/297.2 wystrzelenie pierwszego sztucznego satelity SPUTNIK-1, 4 października 1957 roku, pierwsze wyznaczenie spłaszczenia Ziemi z obserwacji EXPLORER-1, f=1/298.3, 1959 – wyznaczenie trzeciej harmoniki strefowej (gruszkowy kształt Ziemi), 1959 – rozwój teorii ruchu satelitów Ziemi (Brouwer), 1960 – wystrzelenie TRANSIT-1B, 1960 – wystrzelenie ECHO-1, 1960 – rozwój teorii orbit satelitarnych i ich perturbacji (Kaula), 1962 – wystrzelenie ANNA-1B, 1962 – nawiązanie połączenia (przeniesienie współrzędnych stacji) pomiędzy Francją i Algierią z dokładnością ok. 50m (IGN),

12 Geodezja satelitarna – historia cd.
- Rozwój podstawowych metod obserwacji satelitarnych oraz wyznaczania i analizy orbit (pomiary optyczne kierunków do satelitów za pomocą kamer BC4 do satelity PAGEOS). - Wyznaczenia harmonik geopotencjału Ziemi: 1) SAO SE I do SAO SE III (Smithsonian Astrophysical Observatory Standard Earth model), 2) GEM (Goddard Earth Model) przez Goddard Space Flight Center - GSFC). - Wprowadzenie nowych obserwacji satelitarnych: system TRANSIT, SLR, LLR, satellite altimetry. W szczególności zastosowanie systemu TRANSIT poprawiły wyznaczenia współrzędnych stacji oraz modeli ziemskiego pola grawitacyjnego (np. GEM 10, GRIM). - Zwiększenie dokładności obserwacji umożliwiło wyznaczanie zmian geodynamicznych (zmiany prędkości obrotowej Ziemi, ruch bieguna ziemskiego oraz deformacje skorupy Ziemskiej),

13 Geodezja satelitarna – historia cd.
Powstanie systemu NAVSTAR GPS (Global Positioning System). - Zwiększenie dokładności pomiarów doprowadziło do całkowitego zastąpienia pomiarów zmian ruchu obrotowego Ziemi wyznaczanych techniką astrometryczną poprzez metody satelitarne. powstanie International Earth Rotation Service w celu monitorowania parametrów ruchu obrotowego Ziemi z obserwacji technik geodezji kosmicznej i satelitarnej, a także dwóch podstawowych w geodezji układów odniesienia: ICRF (International Celestial Reference Frame), który realizowany jest poprzez współrzędne niebieskie odległych radioźródeł obserwowanych techniką VLBI oraz ITRF (International Terrestrial Reference Frame), który realizowany jest poprzez współrzędne i prędkości stacji wyznaczanych różnymi technikami geodezji kosmicznej i satelitarnej.

14 Geodezja satelitarna – historia cd.
Po 1990 Faza międzynarodowej kooperacji: powołanie nowych międzynarodowych służb: : IGS (International GPS Service), : IVS (International VLBI Service for Geodesy and Astrometry), : ILRS (International Laser Ranging Service), : IDS (International DORIS Service), Po 2000 - Wystrzelenie satelitów do badania pola grawitacyjnego Ziemi: CHAMP, GRACE i GOCE z wysoką rozdzielczością czasową i przestrzenną. - Utworzenie GNSS (Global Navigation Satellite System), na które składają się GPS, GLONAS, GALILEO i COMPAS?. - Powstawanie permanentnych sieci do monitorowania trzęsień Ziemi oraz systemów wczesnego ostrzegania przed np. Tsunami. - Powstanie GGOS (Global Geodetic Observing System).

15 Geodezja satelitarna – historia
Satelita ANNA 1 B został wyniesiony na orbitę roku w USA jako satelita geodezyjny i kartograficzny. Skonstruowany został przez National Aeronautics and Space Administration (NASA). Satelita miał średnicę 0.91 m zaś masa całkowita wynosiła 161 kg. Orbita początkowa satelity: Odległość perigeum km Odległość apogeum km okres obiegu T = 107,9 min nachylenie i = 50,1˚ mimośród e = 0,007055 Cele naukowe realizowane przez satelitę: - pomiary ziemskiego pola grawitacyjnego, - wyznaczenie środka ciężkości Ziemi, wyznaczenie kształtu figury Ziemi,

16 Geodezja satelitarna – historia
Satelita PAGEOS (PAssive GEOdetic Satellite) - został wystrzelony 24 czerwca 1966 w celu wyznaczenia „Global Network of Satellite Geodesy”. Obserwowało go około 46 stacji (oddalonych od siebie średnio o 3000 – 4000 km) za pomocą kamer BC-4. Miał średnicę 31 m. Nachylenie orbity wynosiło i = 85-86o. Na podstawie fotografii satelity na tle gwiazd wyznaczono pozycje stacji obserwacyjnych z dokładnością około 4m (co było bardziej dokładne o około 20 razy niż triangulacja naziemna). 3 stacje tej światowej sieci znajdowały się w Europie: Catania (Sycylia), Hohenpeißenberg (Bawaria) i Tromsø (Norwegia). PAGEOS zakończył misję 1 lipca 1975r.

17 Geodezja satelitarna – historia
Satelita ECHO-1 - został umieszczony na orbicie 12 sierpnia 1960r. Odległość perigeum wynosiła 1523 km natomiast apogeum 1684 km. Nachylenie orbity 47.2o. Satelita zakończył misję 24 maja 1968r. Zaprojektowany został do mierzenia ciśnienia światła słonecznego. Jego średnica wynosiła 30m. Pomiary fotograficzne tego satelity z kilkudziesięciu stacji na powierzchni Ziemi pozwoliły na zbadanie kształtu figury Ziemi z dokładnością prawie o rząd wyższą niż z obserwacji wykonywanych na powierzchni Ziemi.

18 Geodezja satelitarna – historia
Początek misji 13 kwietnia 1960r. Perigeum 373 km, apogeum 748 km, Okres obiegu T = 85.6 min. Nachylenie i = 51.3o. Mimośród e = Statek był kulą o średnicy 0,914 m i miał masę 600 kg. Satelita TRANSIT 1B - został zbudowany przez Applied Physics Laboratory i Johns Hopkins University w USA. Testował system nawigacji dla okrętów podwodnych Marynarki Wojennej USA. Posiadał dwa nadajniki radiowe z bardzo stabilnymi oscylatorami o mocy 100mW i nadawały one na dwóch częstotliwościach każdy, 54 i 216 MHz oraz 162 i 324 MHz. Były to pierwsze próby systemu nawigacji satelitarnej, który potem przekształcił się we współczesny system GPS. Satelita posiadał także czujnik podczerwieni do mierzenia albedo Ziemi. Do wysyłania danych używał on częstotliwości 108,03 MHz. Satelita zakończył nadawanie sygnałów w dniu 12 lipca 1960.

19 Geodezja satelitarna – historia
Satelity LAGEOS (LAser GEOdynamics Satellite) pokryte są specjalnymi lustrami, dzięki którym, impuls laserowy przychodzący z Ziemi zostaje odbity. Lageos 1 umieszczony na orbicie w 1976 roku był pierwszym obiektem kosmicznym przeznaczonym do pomiarów laserowych o wysokiej dokładności. Wysoka dokładność pomiarów rzędu 1cm sprawiła, że dane te wykorzystywane są do wyznaczania współrzędnych stacji laserowych na powierzchni Ziemi, a także do badań dynamiki Ziemi: ruchów płyt tektonicznych, ruchów bieguna, zmian długości doby oraz pływów Ziemi. Lageos 2, wyniesiony w przestrzeń kosmiczną w 1992.

20 Geodezja satelitarna – historia
LAGEOS – 1 LAGEOS – 2 Sponsor USA USA, Włochy Okres trwania na orbicie Dziesiątki lat przeznaczenie Geodezja COSPAR ID Data wysłania 04 maj 1976 22 październik 1992 Średnica satelity 60 cm Kształt satelity Sfera Zwierciadła 426 kąty sześcianu Waga kg kg Nachylenie orbity 109.84˚ 52.64˚ Mimośród 0,0045 0,0135 Wysokość w perigeum 5.860 km 5.620 km Okres obiegu 225 minut 223 minut

21 Geodezja satelitarna – historia
CHAllenging Mini-satellite Payload (CHAMP). W lipcu 2000 satelita został wyniesiony na orbitę przez rakietę nośną Kosmos 11K65M w Rosji. CHAMP jest satelitą geofizycznym. Zastosowania: geofizyczne, geodezyjne, oceanograficzne i klimatologiczne. Misja powstała w kooperacji USA, Niemiec i Rosji. Obserwacje CHAMP pozwalają na wyznaczenie modelu pola grawitacyjnego Ziemi (EIGEN), służą także do badania pola magnetycznego, atmosfery i jonosfery. Odbiornik GPS ”Black Jack” na pokładzie dokonuje w sposób ciągły pomiarów fazowych i odległościowych jednocześnie z 4 anten do 12 satelitów GPS. Pozwala to wyznaczyć pozycję satelity z dokładnością kilku centymetrów. Drugim przyrządem jest akcelerometr STAR. Wskazania przyrządu są w postaci zmian napięcia elektrycznego, które mogą być przeliczane na zmiany przyspieszenia satelity wywołane zmiennym polem grawitacyjnym Ziemi. Ponadto CHAMP wyposażony jest w reflektory odbijające do obserwacji laserowych, gwiazdowe czujniki orientacji, a także system korekcji orbity.

22 Geodezja satelitarna – historia
Parametry CHAMP Właściciel GFZ Niemcy Przewidywany czas na orbicie 5 lat Główne zastosowanie Geodezja COSPAR ID Data umieszczenia na orbicie 15 lipiec 2000 Kształt Nieregularny zwierciadła 4 Orbita Zbliżona do Kołowej Nachylenie płaszczyzny orbity 87,27 ˚ Ekscentryczność Wysokość w perygeum 474 km Okres obiegu 94 minuty Masa całkowita 400 kg

23 Prawa Keplera I. Każda planeta porusza się po orbicie eliptycznej, w jednym z ognisk elipsy znajduje się Słońce, (The orbits of the planets are ellipses with the Sun at one focus). II. Promień wodzący planety (linia łącząca środek masy Słońca i środek masy planety) zakreśla w równych interwałach czasu równe pola, (The line joining the planet to the Sun sweeps out equal areas in equal times). III. Sześciany półosi wielkich orbit planet są wprost proporcjonalne do kwadratów okresów obiegu tych planet wokół Słońca. (The squares of the periods of revolution for any two planets are to each other as the cubes of their mean distances from the Sun).

24 I Prawo Keplera: Każda planeta porusza się po orbicie eliptycznej, w jednym z ognisk elipsy znajduje się Słońce, planeta aphelium perihelium Słońce odległość pomiędzy środkami mas anomalia prawdziwa duża półoś mimośród parametr elipsy Jeżeli elipsa staje się okręgiem:

25 II Prawo Keplera: Promień wodzący planety (linia łącząca środek masy Słońca i środek masy planety) zakreśla w równych interwałach czasu cΔt równe pola Pole trójkąta O,P,P’ jest w przybliżeniu równe: Wprowadzając współrzędne prostokątne: II prawa Keplera we współrzędnych prostokątnych

26 Kepler ( ) był przekonany, że jego empiryczne zasady wynikają z jakiegoś ogólnego prawa. Takie prawo pod nazwą „prawo powszechnego ciążenia” zaproponował po raz pierwszy Newton ( ) w 1687 roku: „Every particle of matter in the Universe attracts every other particle of matter with a force directly proportional to the product of their masses and inversely proportional to the square of the distance between them” Prawo to stało się fundamentalnym prawem „mechaniki newtonowskiej”. Rozwój „mechaniki nieba” zapoczątkowany został odkryciem trzech praw dynamiki Newtona, które ukazały się w jego książce „Principia”. I prawo: każde ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym jeżeli nie działa na niego żadna siła. II prawo: zmiana momentu pędu ciała jest proporcjonalna do działającej siły, a kierunek tej zmiany jest zgodny z kierunkiem działającej siły. III prawo: Jeżeli na ciało działa siła to odpowiada ono siłą równa lecz przeciwnie skierowaną.

27 Zadanie n-ciał (2-ciał)
Jednym z zagadnień, którymi zajmuje się mechanika nieba jest „zadanie n-ciał”, które posiada jednoznaczne rozwiązanie tylko dla n=2. W zagadnieniach ruchu sztucznych satelitów Ziemi mamy do czynienia ze szczególnym przypadkiem „zadania n-ciał”, gdzie n=4 (Słońce, Ziemia, Księżyc i satelita). Należy jednak założyć, że ciała o małej masie (tzw. ciała pasywne) nie wpływają na ruch ciał o dużej masie (tzw. ciał aktywnych). „Ograniczone zadanie n-ciał” polega na badaniu ruchu ciała pasywnego pod wpływem grawitacyjnego oddziałania (n-1) ciał aktywnych. W szczególnym przypadku gdy mamy jedno duże ciało centralne (aktywne), a wpływ sił grawitacyjnych innych ciał jest mały to można założyć, że mamy do rozwiązania „zadanie 2-ciał”. Jeżeli rozmiar satelity jest mały w stosunku do jego odległości od ciała centralnego możemy przyjąć, że cała masa satelity skupiona jest w jego środku ciężkości. Jeżeli ciało centralne ma kształt kulisty to dalej możemy przyjąć, że cała masa ciała centralnego skupiona jest w jego środku ciężkości. „Zadanie 2-ciał” polega więc na badaniu ruchu punktu materialnego (satelity) w polu grawitacyjnym wytworzonym przez masę ciała centralnego skupioną w jego środku ciężkości.

28 Równanie ruchu satelity
z Satelita m Siła ta powoduje zmianę przyspieszenia satelity M Ciało centralne pod wpływem przyspieszenia grawitacyjnego satelity ciało centralne również ulega przyspieszeniu: y x – parametr grawitacyjny Równanie ruchu satelity:

29 Parametr grawitacyjny μ [km3s2]
Nazwa ciała niebieskiego Parametr grawitacyjny μ [km3s2] Słońce 1.325·1011 Merkury 2.17·104 Wenus 3.26·104 Ziemia 3.986·105 Księżyc 4.9·103 Mars 4.29·105 Jowisz 1.265·108 Saturn 3.79·107 Uran 5.8·106 Neptun 6.8·106 Pluton 3·105

30 Przenosząc początek układu do środka ciała centralnego dostaniemy:
Równanie ruchu satelity: m Satelita M Ciało centralne r - długość wektora r x y Rozwiązanie ogólne tych równań zawierać będzie 6 (stałych całkowania) skalarnych wartości stałych (3 – współrzędne początkowe oraz 3 prędkości początkowe), które nazywane są elementami orbity.

31 z Elementy orbity y x - duża półoś - mimośród - nachylenie orbity
S y x mnożąc równania przez z, x, y i odejmując stronami dostaniemy: całkując równania dostaniemy: mnożąc równania przez z, x, y i sumując dostaniemy: Równanie to jest równaniem płaszczyzny przechodzącej przez początek układu współrzędnych. Orientacja tej płaszczyzny w przestrzeni może być wyrażona przez nachylenie orbity oraz długość węzła wstępującego: - duża półoś - mimośród - nachylenie orbity - długość węzła wstęp. - argument perigeum - anomalia prawdziwa rektascenzja

32 Elementy orbity z y x - określają kształt i wielkość orbity
- położenie orbity w jej płaszczyźnie określa położenie pericentrum orbity względem węzła wstępującego orbity. Moment przejścia orbity przez pericentrum tp określa wraz innymi elementami orbity położenie satelity na orbicie w dowolnym momencie czasu t. y x - argument perigeum określa położenie dużej półosi orbity w płaszczyźnie orbity. - długość węzła wstępującego Ω oraz nachylenie i określają położenie płaszczyzny orbity względem przyjętego układu współrzędnych. - satelita porusza się ze z zachodu na wchód - satelita porusza się ze wschodu na zachód

33 Ze względu na to, że ruch satelity odbywa się w płaszczyźnie dla uproszczenia możemy założyć, że z=0 w równaniach: zatem ruch satelity odbywa się tylko w układzie współrzędnych x, y : Zastępując x, y współrzędnymi biegunowymi dostaniemy: Z II prawa Keplera dotyczącego prędkości polowej wynika, że Powyższe równania wynikające z II prawa Keplera mówią o tym, że ruch satelity odbywa się w płaszczyźnie oraz, że prędkość polowa jest wprost proporcjonalna do czasu. Mnożąc następnie równania: przez i sumując je dostaniemy: rozwiązanie tego równania to: gdzie zależności pomiędzy elementami orbity i stałymi całkowania:

34 III prawo Keplera i prędkość satelity na orbicie
Znając następujące wzory: można wyprowadzić wzory na III prawo Keplera. Okres obiegu satelity T jest równy czasowi całkowitego jego obiegu po elipsie. W ciągu jednego obiegu satelita zakreśla pole: Znając równania: Można wyznaczyć prędkość satelity na orbicie Równanie całki energii: prędkość satelity na orbicie zależy od jego odległości od ciała centralnego oraz dużej półosi elipsy

35 Inne równania II prawa Keplera
z III prawa Keplera:

36 Związki pomiędzy anomalia prawdziwą, średnia i mimośrodową
- anomalia mimośrodowa Równanie Keplera: - anomalia średnia (może być interpolowana liniowo w czasie) Związek pomiędzy anomalia prawdziwą a mimośrodową dany jest równaniem: E może być wyznaczone również iteracyjnie:

37 Całka energii mnożymy skalarnie przez Energia Energia
kinetyczna potencjalna

38 Całka momentu pędu mnożymy wektorowo przez
Stały wektor momentu pędu prostopadły do płaszczyzny zawierającej wektory promienia i prędkości. Orientacja płaszczyzny orbity satelity w przestrzeni jest określona przez wektor h

39 Całka orbity Stały wektor B jest liniową kombinacją wektorów oraz i leży w płaszczyźnie orbity, a także skierowany jest w stronę pericentrum. Z ostatniego równania można wyprowadzić równanie elipsy: jest kątem pomiędzy wektorem B a wektorem promienia r

40 Charakter orbity a prędkość początkowa satelity
Charakter orbity zależy od prędkości początkowej satelity jaką zadamy jemu na pewnej odległości r > R od środka Ziemi: prędkość nadana w perigeum orbity 1. dla uzyskania orbity kołowej a = r zatem 2. dla uzyskania orbity eliptycznej a > 0 zatem 3. dla uzyskania orbity parabolicznej a = ∞ zatem prędkość nadana w apogeum orbity 4. dla uzyskania orbity hiperbolicznej

41 Prędkości kosmiczne: Pierwszą prędkością kosmiczną względem ciała niebieskiego nazywamy prędkość kołową satelity po powierzchni tego ciała (r=R). Drugą prędkością kosmiczną względem ciała niebieskiego nazywamy minimalną prędkość jaką należy nadać satelicie na powierzchni tego ciała aby mógł opuścić strefę jego przyciągania grawitacyjnego. Trzecią prędkością kosmiczną nazywamy minimalną prędkość jaką należy nadać satelicie na powierzchni Ziemi aby mógł opuścić Układ Słoneczny. Ziemia obiega Słońce z prędkością 29.8 km/s, zatem satelita ma już tą prędkość w chwili startu. II prędkość kosmiczna dla Ziemi do opuszczenia Układu Słonecznego wynosi 29.8√2=42.3 km/s. Satelita startując w kierunku zgodnym z ruchem Ziemi musi mieć nadana jedynie prędkość Δv= =12.5km/s. Energia kinetyczna nadana satelicie w momencie startu musi być równa sumie energii kinetycznej potrzebnej do opuszczenia strefy przyciągania Ziemi i Słońca:

42 Prędkości satelity w perigeum i apogeum

43 Wartości niektórych parametrów orbity dla orbity kołowej, eliptycznej, parabolicznej i hiperbolicznej okrąg elipsa parabola hiperbola mimośród e 0 < e < 1 1 e > 1 parametr elipsy p a a(1+e2) a(e2-1) duża półoś ∞ a < 0 mała półoś b a√(1- e2) - a√(e2-1) odległość pericentrum rp a(1-e) p/2 a(e-1) odległość apocentrum ra a(1+e)

44 Wnioski ogólne Obiekty orbitujące w zadaniu 2-ciał mogą poruszać się tylko po rodzinie krzywych będących: okręgiem, elipsą, parabolą lub hiperbolą, Ognisko orbity musi znajdować się w centrum masy ciała centralnego, Suma energii kinetycznej i potencjalnej w ruchu satelity jest stała, Ruch orbitalny odbywa się w płaszczyźnie, która jest niezmienna względem przestrzeni inercyjnej (przyjętego układu współrzędnych), Moment pędu satelity krążącego wokół masy centralnej jest stały.

45 Perturbacje orbit Gdyby Ziemia była kulą odizolowaną od innych ciał niebieskich i pozbawioną atmosfery oraz na poruszającego się satelitę nie działały żadne siły zewnętrzne to jego orbita byłaby elipsą o stałym kształcie i rozmiarach zaś jej płaszczyzna przechodziłaby przez środek ciężkości Ziemi. W rzeczywistości wszystkie te warunki nie są spełnione, a czynniki, które powodują zmiany elementów orbity nazywamy perturbacjami (zakłóceniami). Zmiany elementów orbit mogą mieć charakter wiekowy i okresowy. Perturbacje wiekowe to takie gdzie zmiany elementów orbity są proporcjonalne do czasu. Wśród perturbacji okresowych rozróżniamy krótkookresowe tzn. takie gdzie okres jest równy okresowi obiegu satelity wokół Ziemi oraz długookresowe tzn. takie których okres jest równy okresowi czasu przemieszczenia pericentrum orbity o kąt 2π. Największe perturbacje powoduje spłaszczenie Ziemi oraz opór atmosfery.

46 Perturbacje orbit Ruch satelity, który nie ulega żadnym perturbacjom opisany jest znanym równaniem: Rozwiązanie tego równania daje następujące rozwiązanie: W rzeczywistości wiele innych dodatkowych sił działa na satelitę. Ze względu na działanie tych sił satelita ulega dodatkowym przyspieszeniom ks co możemy zapisać następująco:

47 Perturbacje orbit Wszystkie siły perturbujące ruch satelity spowodowane są: przyspieszeniem ze względu na niekulisty kształt Ziemi oraz nierównomierne rozmieszczenie mas w jej wnętrzu, Przyspieszeniem grawitacyjnym pochodzącym od innych ciał niebieskich (Słońce, Księżyc, planety), Przyspieszeniem ze względu na pływy skorupy ziemskiej oraz pływy oceaniczne, Przyspieszeniem ze względu na opór atmosfery, Przyspieszenie wywołane ciśnieniem światła słonecznego oraz światła odbitego od Ziemi.

48 Perturbacje orbit – wzory Lagrange’a
Potencjał grawitacyjny V wytworzony przez ciało centralne a masie M jest sumą potencjału grawitacyjnego kuli oraz potencjału zakłócającego R: Równania perturbacyjne Lagrange’a pokazują związek pomiędzy potencjałem zakłócającym R a zmianami elementów orbity:

49 Perturbacje orbit – wzory Gaussa
K2 K1 K3 Satelita r y ω+ν K1 – wektor przyspieszenia prostopadły do płaszczyzny orbity, K2 – wektor przyspieszenia prostopadły do wektora promienia w płaszczyźnie orbity, K3 – wektor przyspieszenia o kierunku wektora promienia w płaszczyźnie orbity. x K1 – powoduje zmianę orientacji płaszczyzny orbity, K2 – zmienia a

50 Perturbacje orbit – anomalne pole grawitacyjne Ziemi
Dominującą przyczyna powodującą perturbację orbit jest spłaszczenie Ziemi. Wybrzuszenie równikowe Ziemi wprowadza dodatkowy moment obrotowy próbując zepchnąć satelitę w kierunku płaszczyzny równika. W rezultacie wektor momentu pędu orbity porusza się wokół osi obrotu Ziemi w kierunku zachodnim lub wschodnim w zależności od nachylenia orbity do płaszczyzny równika. W przypadku satelity biegunowego efekt ten nie występuje. Efekt ten jest wykorzystany w praktyce gdyż precesja węzła wstępującego orbity pozwala na wymuszenie na satelicie obecności nad wszystkimi obszarami Ziemi (np. satelity altimetryczne mierzące zmiany poziomu globalnego oceanu). Spłaszczenie Ziemi wymusza także dla eliptycznych orbit ruch linii apsyd. Rotacja linii apsyd jest zawsze zgodna z ruchem satelity wokół Ziemi.

51 Perturbacje orbit – anomalne pole grawitacyjne Ziemi
Anomalne pole grawitacyjne Ziemi można zamodelować przy pomocy wyznaczenia harmonik sferycznych potencjału: R współczynniki harmoniczne rozwinięcia zależne od rozkładu mas we wnętrzu Ziemi. Współczynniki te nazywamy strefowymi m=0, tesseralnymi m≠0 lub sektorialnymi m=n. - równikowy promień Ziemi, - stowarzyszone wielomiany Legendre’a. W następnych krokach należy wyrazić potencjał V lub R poprzez elementy orbity, po czym wyprowadzić wzory na pochodne geopotencjału po tych elementach. Pochodne elementów orbity daje się więc wyrazić poprzez współczynniki harmoniczne rozwinięcia geopotencjału, co pozwala następnie ocenić ich wpływ na zmiany tych elementów:

52 Perturbacje orbit – anomalne pole grawitacyjne Ziemi
Wnioski: spłaszczenie Ziemi nie powoduje perturbacji w elementach orbity a, e, oraz i.

53 Perturbacje orbit – anomalne pole grawitacyjne Ziemi
Spłaszczenie Ziemi powoduje również perturbacji okresu obiegu satelity. Ze względu na to, że położenie płaszczyzny orbity, a także orbity w jej płaszczyźnie (ruch linii apsyd) ulega ciągłym zmianom satelita po wykonaniu pełnego okrążenia nigdy nie powróci do położenia wejściowego. Zatem wprowadza się umowne definicję okresu obiegu satelity: 1) Drakoniczny – okres czasu pomiędzy dwoma przejściami przez równik Ziemski, 2) Anomalistyczny – okres czasu pomiędzy dwoma przejściami przez pericentrum, 3) Syderyczny – okres czasu jaki potrzebuje satelita na przejście od pewnego punktu początkowego orbity do punktu, który leży w płaszczyźnie przechodzącej przez promień wodzący punktu początkowego i prostopadłej do płaszczyzny orbity oskulacyjnej w punkcie początkowym, 4) Oskulacyjny – okres czasu obiegu satelity po orbicie keplerowskiej, po której satelita poruszałby się gdyby w pewnym momencie przestały działać wszystkie siły zakłócające. Oprócz spłaszczenia Ziemi na satelitę działają dodatkowo czynniki pochodzące od nieregularnego rozkładu mas wewnątrz Ziemi (anomalie siły ciężkości).

54 Perturbacje orbit powodowane oddziaływaniem grawitacyjnym Słońca i Księżyca
Przyspieszenia grawitacyjne wywołane Słońcem i Księżycem na satelitę określone są następującymi wzorami: - wektory łączące środek masy Ziemi ze środkami mas Księżyca i Słońca, - masy Księżyca i Słońca, - wektor łączący środek masy Ziemi ze środkiem masy satelity. Ze względu cykliczne (roczne lub miesięczne) zmiany pozycji Księżyca i Słońca względem satelity perturbacje te mają charakter okresowy i są łatwo modelowane.

55 Perturbacje orbit powodowane oporem atmosfery
– współczynnik oporu atmosfery, – stosunek przekroju powierzchni satelity do jego masy, – gęstość atmosfery, – wektor prędkości satelity

56 Atmosfera - temperatura

57 Perturbacje orbit powodowane oporem atmosfery
Jako dolną granice możliwości swobodnego poruszania się satelity przyjmuje się wysokość 150km. W miarę oddalania się od Ziemi gęstość atmosfery maleje a górna granica istotnego oporu atmosfery na satelitę wynosi ok. 1000km. Opór atmosfery nie powoduje zmian położenia płaszczyzny orbity w przestrzeni (Ω, i), a jedynie zmianę kształtu i rozmiarów orbity (a, e). Zatem na podstawie zmian rozmiarów i kształtu orbity wnioskujemy o strukturze górnych warstw atmosfery. Parametry fizyczne atmosfery ulegają następującym zmianom: przypadkowym – związanym z wybuchami na Słońcu, dobowym – związanym z termicznym ogrzewaniem przez Słońce, o okresie 27 dni, 4) o okresie letnim, o okresie rocznym (odległość Ziemia – Słońce), gęstość atmosfery zależy również od szerokości geocentrycznej.

58 Perturbacje orbit powodowane oporem atmosfery
Ze względu na opór atmosfery satelita porusza się po spirali w taki sposób, że traci swoją wysokość - wówczas zgodnie z III prawem Keplera porusza się coraz szybciej, ale zbyt wolno by utrzymać wysokość, w wyniku czego dalej spada zwiększając przy tym swoją prędkość. Podczas zbliżania się satelity do powierzchni Ziemi gęstość atmosfery rośnie co powoduje większe hamowanie satelity. Dla okresu obiegu ok. 87min i wysokości 150km nad Ziemią następuje gwałtowne spalanie satelity.

59 Perturbacje orbit powodowane oporem atmosfery – Hubble Space Telescope
Due the drag in the atmosphere the orbits decay which results in a loss of altitude. The four HST servicing missions in 1993, 1997, 1999 and 2002 were enormous successes.

60 Perturbacje orbit powodowane ciśnieniem światła słonecznego
– współczynnik ciśnienia światła słonecznego, – stosunek przekroju powierzchni satelity do jego masy, =0 gdy satelita jest w cieniu Ziemi, =1 gdy jest oświetlony przez Słońce, – ciśnienie światła słonecznego w rejonie orbity ziemskiej, – geocentryczny wersor w kierunku do Słońca.

61 Perturbacje orbit powodowane ciśnieniem światła słonecznego odbitego od powierzchni Ziemi
– ciśnienie światła słonecznego w rejonie orbity ziemskiej równe 0.465 dyn/m2, – stosunek przekroju powierzchni satelity do jego masy, - współczynnik np. dla satelity LAGEOS wynosi 0.45 – duża półoś Ziemi.