Wytrzymałość materiałów WM-I

Wytrzymałość materiałów WM-I
Wykład - 1 r.a. 2018/2019

SPRAWY ORGANIZACYJNE Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW WM-I Prowadzący: dr hab. inż. Mirosław K. Gerigk, prof. nadzw. PG Wydział Mechaniczny PG Katedra Mechaniki i Mechatroniki, p. 107 WM Konsultacje: Środa:

Wykład 30 godzin - zalecana obecność
SPRAWY ORGANIZACYJNE Wykład 30 godzin - zalecana obecność Ćwiczenia audytoryjne 30 godzin - obecność obowiązkowa Laboratorium 30 godzin – obecność obowiązkowa Zaliczenia: - (1) Zaliczenie laboratorium + zaliczenie ćwiczeń (2) Egzamin: teoria + zadania - obejmuje materiał wykładów oraz ćwiczeń - warunek konieczny – zaliczone ćwiczenia - zwolnienie z części zadaniowej – ocena z ćwiczeń  4 4. Materiały z wykładów

W trakcie wykładu na sali obowiązuje cisza
SPRAWY ORGANIZACYJNE Sprawy porządkowe: We wszystkich budynkach i pomieszczeniach obowiązuje całkowity zakaz palenia tytoniu Zabrania się wnoszenia na salę wykładową wszelkiego rodzaju urządzeń, które swoim działaniem mogłyby zakłócić przebieg zajęć. Dotyczy to m.in. uaktywnionych telefonów komórkowych W salach wykładowych zabrania się spożywania posiłków oraz picia wszelkiego rodzaju napojów W trakcie wykładu na sali obowiązuje cisza

Literatura uzupełniająca:
SPRAWY ORGANIZACYJNE Literatura: Bąk R., Burczyński T.: Wytrzymałość materiałów z elementami ujęcia komputerowego. WNT, Warszawa 2001. Dyląg Z., Jakubowicz A., Orłoś Z.: Wytrzymałość materiałów. WNT, Warszawa, t. I 1996, t. II 1997. Misiak J.: Mechanika techniczna. Statyka i wytrzymałość materiałów. WNT, Warszawa 1996. Kaliński K. J.: Nadzorowanie procesów dynamicznych w układach mechanicznych. Gdańsk: Wydaw. PG 2012. Literatura uzupełniająca: Niezgodziński M.E., Niezgodziński T.: Wzory, wykresy i tablice wytrzymałościowe. WNT, Warszawa 1996 Walczyk Z.: Wytrzymałość materiałów. Wyd. PG, Gdańsk t. I 2000, t. II 2001

SPRAWY ORGANIZACYJNE Sprawy porządkowe (egzamin):
Przed przystąpieniem do egzaminu student zobowiązany jest przygotować przybory do pisania (nie ołówki!!!) oraz niezapisane kartki papieru (ilość dowolna), które należy podpisać (wszystkie). Po otrzymaniu arkusza z poleceniami: nie przepisywać treści poleceń, arkusz podpisać i dołączyć do odpowiedzi, odpowiedzi na pytania teoretyczne należy umieszczać wyłącznie na otrzymanych odpowiednio oznakowanych kartkach, które również należy podpisać. Umieszczenie odpowiedzi na innych kartkach skutkuje otrzymaniem oceny niedostatecznej. W trakcie egzaminu zabrania się: –korzystania z wszelkiego rodzaju podręczników, skryptów, notatek, wydruków, maszynopisów, rękopisów, smartfonów, tabletów, komputerów osobistych, innych urządzeń IT, itp.; –porozumiewania się z innymi osobami, w tym – również pożyczania przyborów do pisania, kartek papieru; –uaktywniania urządzeń, które mogłyby zakłócić przebieg egzaminu (w szczególności: telefonów komórkowych); –opuszczania swojego miejsca oraz sali wykładowej w jakimkolwiek celu; -student nie stosujacy się do powyższych zasad może zostać poproszony o opuszczenie sali z jednoczesnym skutkiem niezaliczenia egzaminu. Podczas pisania należy używać piór i długopisów posiadających kolory: niebieski, czarny Odpowiedzi na pytania będą oceniane następująco: pytania teoretyczne – 0 – 3 pkt zadania – 0 – 6 pkt

TEMATY WYKŁADÓW: … zbiór dodatkowy
L.p. Oznaczenie wykładu Temat wykładu (zakres wykładu) 1 W-1 r. Podstawy wytrzymałości materiałów: - Terminologia, definicje - Aktualny stan badań w zakresie wytrzymałości materiałów (metody,modele) - Obciążenia, odkształcenia - Modelowanie w wytrzymałości materiałów - Modele materiału - Modele kształtu (modele postaci) - Modele obciążenia - Modele zniszczenia mechanicznego (modele złomu) - Rodzaje obciążeń - Naprężenia. Rozkład naprężeń - Rodzaje odkształceń - Przykłady praktyczne obciążeń, naprężeń, odkształceń Podstawowe informacje dotyczące wytrzymałości materiałów na przykładzie pręta prostego. Wyznaczanie charakterystyk geometrycznych przekroju pręta (różne przekroje pręta, pręt o zmiennym przekroju). 2 W-2 Wytrzymałość pręta prostego na ściskanie/rozciaganie: - Warunki równowagi - Warunki geometryczne - Zależności fizyczne - Obciążenia, naprężenia, odkształcenia pręta - Wytrzymałość pręta na ściskanie/rozciaganie, warunki wytrzymałości - Szczególne przypadki naprężeń w pręcie, w tym naprężenia termiczne i montażowe - Przykład obliczeniowy (pręt prosty) - Elementy modelu FEM (MES). Przykład - Przykłady praktyczne prętów ściskanych/zginanych Obciążenia, naprężenia, odkształcenia na przykładzie danego pręta ściskanego/rozciąganego.

3 W-3 Analiza wytrzymałości dla układów prętowych statycznie niewyznaczalnych: - Metoda (procedura rozwiązania) - Równania równowagi (statycznej) - Warunki geometryczne - Zależności fizyczne - Przykład obliczeniowy (układ prętowy) - Elementy modelu FEM (MES). Przykład - Przykłady praktyczne układów prętowych Analiza wytrzymałości dla wybranych układów prętowych statycznie niewyznaczalnych. 4 W-4 Wytrzymałość prętów na skręcanie: - Warunki równowagi - Warunki geometryczne - Związki fizyczne - Wytrzymałość pręta na skręcanie, warunki wytrzymałości - Przykłady praktyczne prętów skręcanych - Przykład obliczeniowy (pręt skręcany) - Elementy modelu FEM (MES). Przykład Obciążenia, naprężenia, odkształcenia na przykładzie różnych prętów skręcanych. 5 W-5 Wytrzymałość belek – zginanie: - Definicje, w tym siły tnącej, momentu gnącego - Zależności różniczkowe przy zginaniu belek - Reakcje więzów - Równania momentów gnących oraz sił poprzecznych (tnących) - Wykresy momentów gnących oraz sił poprzecznych (tnących) - Przypadki szczególne zginania belek - Czyste zginanie – założenia - Model belki odkształcalnej przy czystym zginaniu - Moment gnący i naprężenia przy zginaniu belki - Naprężenia dopuszczalne na zginanie - Warunek wytrzymałości dla naprężeń dopuszczalnych na zginanie - Przykład obliczeniowy (belka zginana) - Elementy modelu FEM (MES). Przykład - Przykłady praktyczne belek zginanych Analiza wytrzymałości na zginanie na przykładzie wybranej belki.

6 W-6 Odkształcenia belki zginanej: - Równanie osi ugiętej belki - Warunki brzegowe równania osi ugiętej belki - Procedura wyznaczania kątów ugięcia i osi ugiętej belki - Strzałka ugięcia, sztywność i warunek sztywności belki - Przykład obliczeniowy (belka zginana) - Elementy modelu FEM (MES). Przykład - Przykłady praktyczne odkształceń belek zginanych Analiza odkształceń dla wybranych przypadków belek zginanych. 7 W-7 Ścinanie pręta (pręt ścinany): - Równanie równowagi - Rozkład naprężeń stycznych - Naprężenia dopuszczalne na ścinanie - Warunek wytrzymałości dla naprężeń dopuszczalnych na ścinanie - Przykład obliczeniowy (pręt ścinany) - Elementy modelu FEM (MES). Przykład - Przykłady praktyczne prętów ścinanych Analiza wytrzymałości wybranego pręta na ścinanie. 8 W-8 Wyboczenie pręta: - Definicja wyboczenia pręta - Siła krytyczna przy wyboczeniu sprężystym - Naprężenia krytyczne - Smukłość pręta - Kryterium wyboczenia pręta - Przykład obliczeniowy (wyboczenie pręta) - Elementy modelu FEM (MES). Przykład - Przykłady praktyczne dot. wyboczenia pręta/prętów

9 W-9 Stany naprężeń: - Trójosiowy stan naprężeń - Odkształcenia od naprężeń normalnych – odkształcenia objętościowe - Odkształcenia od naprężeń stycznych – odkształcenia postaciowe - Wytężenie materiału - Elementarny i złożony stan naprężeń - Hipotezy wytężeniowe - Hipoteza maksymalnych naprężeństycznych (sformułowana przez Coulomba i rozwinięta przez Tresca i Guesta) - Hipoteza energii właściwej odkształcenia postaciowego (sformułowana przez Hubera, Misesa, Hencky’ego) - Kryterium wytrzymałości i jego zastosowanie - Przykład obliczeniowy (stan naprężeń) - Elementy modelu FEM (MES). Przykład - Przykłady praktyczne dot. stanów naprężeń Praktyczne zastosowania hipotez: (1) maksymalnych naprężeń stycznych oraz (2)energii właściwej odkształcenia postaciowego. 10 W-10 Stan naprężenia i odkształcenia: - Aksjator i dewiator stanu naprężenia - Macierz sprężystości - Szczególny przypadek płaskiego stanu naprężeń – koło Mohra - Przykład obliczeniowy (stan naprężenia i odkształcenia) - Elementy modelu FEM (MES). Przykład - Przykłady praktyczne stanu naprężenia i odkształcenia Ocena stanu naprężeń dla przypadku pręta skręcanego o przekroju kołowym. 11 W-11 Metody wyznaczania naprężeń (sił tnących, momentów gnących) i odkształceń dla statycznie niewyznaczalnych układów prętowych: - Metoda warunków brzegowych - Metoda superpozycji - Przykład obliczeniowy (naprężenia i odkształcenia dla statycznie niewyznaczalnych układów prętowych) - Elementy modelu FEM (MES). Przykład - Przykłady praktyczne dot. naprężeń i odkształceń dla statycznie niewyznaczalnych układów prętowych) Zastosowanie metod dla wybranych przypadków statycznie niewyznaczalnych układów prętowych.

12 W-12 Wyznaczanie energii sprężystej, naprężeń i odkształceń prętów i układów prętowych – metody energetyczne: - Energia sprężysta układów prętowych - Energia sprężysta pręta rozciąganego - Energia sprężysta pręta skręcanego - Energia sprężysta pręta zginanego - Energia sprężysta pręta ścinanego - Energia sprężysta dla ogólnego przypadku obciążenia pręta - Energia sprężysta dla przypadku pręta zakrzywionego - Uwagi ogólne dotyczące obliczania energii sprężystej układów prętowych - Obliczania energii sprężystej układów prętowychprzy zastosowaniu „Twierdzenia Castigliano” (przykład obliczeniowy) - Obliczania energii sprężystej układów prętowychprzy zastosowaniu „Zasady minimum energii sprężystej Menabrei– Castigliano” (przykład obliczeniowy) - Przykład obliczeniowy (energia sprężysta prętów i układów prętowych) - Przykłady praktyczne dot. wyznaczania energii sprężystej prętów i układów prętowych 13 W-13 Wyznaczanie energii sprężystej, naprężeń i odkształceń belek i ram za pomocą metody Maxwella-Mohra: - Metoda (procedura) Maxwella-Mohra - Wybrane przykłady obliczeniowe z zastosowaniem metody Maxwella-Mohra - Uproszczona metoda obliczania całek we wzorze Maxwella-Mohra (przykład obliczeniowy) - Przykład obliczeniowy (energia sprężysta, naprężenia i odkształenia prętów i układów prętowych) - Przykłady praktyczne dot. wyznaczania energii sprężystej, naprężeń i odkształceń prętów i układów prętowych Zastosowanie metody Maxwella-Mohra dowyznaczania naprężeń i przemieszczeń w przypadku belek statycznie niewyznaczalnych (przykłady obliczeniowe). 14 W-14 Podsumowanie na temat zastosowania metody elementów skończonych FEM (MES).

WYKŁAD WM-I-1: Podstawy wytrzymałości materiałów
- Terminologia, definicje - Aktualny stan badań w zakresie wytrzymałości materiałów (metody,modele) - Obciążenia, odkształcenia - Modelowanie w wytrzymałości materiałów - Modele materiału - Modele kształtu (modele postaci) - Modele obciążenia - Modele zniszczenia mechanicznego (modele złomu) - Rodzaje obciążeń - Naprężenia. Rozkład naprężeń - Rodzaje odkształceń - Przykłady praktyczne obciążeń, naprężeń, odkształceń Podstawowe informacje dotyczące wytrzymałości materiałów na przykładzie pręta prostego. Wyznaczanie charakterystyk geometrycznych przekroju pręta (różne przekroje pręta, pręt o zmiennym przekroju).

OBCIĄŻENIE  stan odkształceń
PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW (*) Wytrzymałość materiałów jest nauką stosowaną, która bada zależności między odkształceniami (deformacjami) , a siłami zewnętrznymi działającymi na dane ciało odkształcalne. Siłami zewnętrznymi mogą być obciążenia (siły znane) oraz reakcje więzów. OBCIĄŻENIE  stan odkształceń (*) Istotą wytrzymałości materiałów jest analiza sił wewnętrznych (napięcia) w celu oceny pewności co do warunków pracy elementów. Po dokonaniu w myśli przekroju poprzecznego ciała odkształcalnego występują siły wewnętrzne stanowiące oddziaływanie międzycząsteczkowe. © Copyright: K. Kaliński, Gdańsk University of Technology

PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
siły wewnętrzne Każdą z części ciała odkształcalnego możemy traktować jako układ oswobodzony z więzów i rozpatrywać warunki równowagi statycznej. © Copyright: K. Kaliński, Gdańsk University of Technology

Tendencja do tworzenia modeli obliczeniowych
PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW MODELOWANIE W WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Tendencja do tworzenia modeli obliczeniowych Tendencja w kierunku teorii niezawodności (*) Definicja: Model obliczeniowy (matematyczny) jest to matematyczny opis zjawisk zachodzących w modelu fizycznym, podany w formie usystematyzowanych wzorów lub równań – algorytm (*) Definicja: Modelowanie jest to czynność polegająca na przejściu od obiektu rzeczywistego, poprzez model fizyczny, do modelu obliczeniowego Sztuka inżynierska  dobieranie takich modeli, aby: - błędy były jak najmniejsze - można było przewidzieć wielkość błędów © Copyright: K. Kaliński, Gdańsk University of Technology

MODELOWANIE W WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW (*) Niezawodność wytrzymałościowa – element konstrukcji poddany obciążeniom eksploatacyjnym przez czas ograniczony (resurs), albo czas nieograniczony, nie ulega nadmiernej deformacji lub zniszczeniu Miara niezawodności wytrzymałościowej: – współczynnik bezpieczeństwa n – prawdopodobieństwo P wystąpienia nadmiernej deformacji lub zniszczenia (*) Współczynnik bezpieczeństwa – iloraz wartości parametru dla stanu niebezpiecznego (przy którym nastąpi nadmierna deformacja lub zniszczenie), do wartości nominalej parametru, właściwej warunkom normalnej eksploatacji Ogólna postać kryteriów niezawodności wytrzymałościowej: Pierwsze przybliżenie ndop= 1,3 – 2 (obciążenia statyczne), 3 – 5 (obciążenia dynamiczne) Pdop= 1 % © Copyright: K. Kaliński, Gdańsk University of Technology

MODELOWANIE W WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Do sformułowania kryteriów niezawodności wytrzymałościowej istnieje potrzeba tworzenia modeli (*) Modele materiału – molekularny model monokryształu z defektami struktury (dyslokacjami) – polikryształ – mieszanina ziaren w metalach i stopach – ośrodek ciągły sprężysto-plastyczny – ośrodek ciągły lepko-plastyczny – ośrodek ciągły sprężysto-plastyczny z defektami (szczelinami) – łańcuchy wielocząsteczkowe - polimery (*) Modele postaci (kształtu) – pręt – pręt cienkościenny – tarcza – płyta – powłoka – element przestrzenny – model dyskretny ciała © Copyright: K. Kaliński, Gdańsk University of Technology

MODELOWANIE W WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW (*) Modele obciążenia – siła skupiona – para sił (moment) – siła powierzchniowa, siła wzdłuż linii – siła objętościowa lub masowa (*) Rodzaje obciążeń – statyczne – stałe w czasie – dynamiczne – zmienne w czasie Zmiany w czasie obciążenia – losowe – proces stochastyczny – zdeterminowane – okresowe lub nieokresowe – nagłe – udarowe (*) Modele złomu (zniszczenia mechanicznego) – złom spowodowany obciążeniem statycznym – zmęczenie niskocyklowe materiału – zmęczenie wysokocyklowe materiału – złom w wyniku długotrwałego stałego obciążenia – pękanie plastyczne lub kruche © Copyright: K. Kaliński, Gdańsk University of Technology

MODELOWANIE W WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Kontinuum materialne – jednorodny, izotropowy ciągły ośrodek odkształcalny, wypełniony równomiernie masą. Odkształcenie sprężyste – pojawia się z chwilą przyłożenia obciążenia i znika z chwilą odciążenia ciała Odkształcenie trwałe (plastyczne) – pozostaje po usunięciu obciążenia. Udział odkształcenia trwałego rośnie wraz ze wzrostem obciążenia © Copyright: K. Kaliński, Gdańsk University of Technology

Aksjomat – pewnik – nie dowodzi się jego prawdziwości
PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW A MECHANIKA CIAŁA STAŁEGO (*) Zasada zesztywnienia (aksjomat). Ciało odkształcalne po jego odkształceniu pod wpływem działających sił możemy traktować tak, jak gdyby było ono bryłą sztywna Aksjomat – pewnik – nie dowodzi się jego prawdziwości Twierdzenie – wymaga dowodu Zasada zesztywnienia dopuszcza stosowanie do ciał odkształcalnych znanych z mechaniki ogólnej warunków równowagi ciała sztywnego. © Copyright: K. Kaliński, Gdańsk University of Technology

OBCIĄŻENIE  stan naprężeń
PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW A MECHANIKA CIAŁA STAŁEGO Miarą sił wewnętrznych ciała odkształcalnego w rozpatrywanym przekroju są naprężenia normalne oraz styczne (*) (*) Naprężenia normalne definiujemy następująco: OBCIĄŻENIE  stan naprężeń (*) Rozkład naprężeń na polu powierzchni przekroju nie jest w ogólnym przypadku równomierny – stąd pochodna. Naprężenia decydują o tym, jak zachowuje się ciało odkształcalne poddane obciążeniu. © Copyright: K. Kaliński, Gdańsk University of Technology

Ciało (ośrodek) ciągły
PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW A MECHANIKA CIAŁA STAŁEGO (*)Zasada de Saint-Venanta (1855). Jeżeli na ciało sprężyste działa układ sił przyłożonych na powierzchni małej w stosunku do powierzchni całego ciała i zastąpimy ten układ innym układem sił równoważnym statycznie, to istnieje taki przekrój tego ciała, dostatecznie odległy od miejsca przyłożenia sił, że różnice w naprężeniach, odkształceniach i przemieszczeniach, są dowolnie małe. Siły zewnętrzne Siły wewnętrzne Ciało (ośrodek) ciągły Przekrój „w mysli” Zasada (uśrednienia) de Saint Venanta: równowaga quasistatyczna sił zewnętrznych i wewnętrznych ośrodka ciągłego © Copyright: K. Kaliński, Gdańsk University of Technology

małe naprężenia w strefie podparcia
PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW A MECHANIKA CIAŁA STAŁEGO małe naprężenia w strefie podparcia duże naprężenia w strefie podparcia © Copyright: K. Kaliński, Gdańsk University of Technology

(*) Ciała odkształcalne mogą być poddane różnym obciążeniom:
PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW A MECHANIKA CIAŁA STAŁEGO (*) Ciała odkształcalne mogą być poddane różnym obciążeniom: *rozciąganie znak „+” *ściskanie znak „–” * ściskanie czyste zginanie * zginanie wywołane siłami poprzecznymi jeżeli h0  czyste ścinanie h * skręcanie © Copyright: K. Kaliński, Gdańsk University of Technology

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW A MECHANIKA CIAŁA STAŁEGO (*) Pręt prosty. Bryła o dominującym wymiarze w kierunku osi, utworzona przez kolejne położenia pewnej figury płaskiej (przekroju normalnego) przemieszczającej się w kierunku prostopadłym do swojego położenia pierwotnego. Przedmiot rozważań – pręt sprężysto-plastyczny   przekrój normalny © Copyright: K. Kaliński, Gdańsk University of Technology

Przykład. Wieża Eiffla, 324 m, lata budowy 1887–1889
PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW A MECHANIKA CIAŁA STAŁEGO Przykład. Wieża Eiffla, 324 m, lata budowy 1887–1889 Ok elementów metalowych, 2,5 mln nitów Gustave Eiffel (1832–1923) © Copyright: K. Kaliński, Gdańsk University of Technology

Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Charakterystyki geometryczne przekroju pręta y z  O dA  A[m2] Momenty bezwładności przekroju [m4] względem osi y i z Moment dewiacji przekroju pręta [m4] w płaszczyźnie yz © Copyright: K. Kaliński, Gdańsk University of Technology

PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Charakterystyki geometryczne przekroju pręta Biegunowy moment przekroju [m4] względem punktu O Promienie bezwładności [m] Momenty statyczne przekroju [m3] względem osi y i z ys, zs – współrzędne środka geometrycznego przekroju S (zwanego środkiem ciężkości) © Copyright: K. Kaliński, Gdańsk University of Technology

PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Charakterystyki geometryczne przekroju pręta z  a    dA  O  b S  y A Syz – układ osi centralnych, Iy, Iz, Iyz – centralne momenty geometryczne (bezwładności i dewiacji) przekroju © Copyright: K. Kaliński, Gdańsk University of Technology

PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Charakterystyki geometryczne przekroju pręta Momenty geometryczne przekroju w układzie współrzędnych O przesuniętym równolegle Ponieważ =y-a oraz =z-b czyli  Twierdzenie Steinera) © Copyright: K. Kaliński, Gdańsk University of Technology

PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Charakterystyki geometryczne przekroju pręta Momenty geometryczne przekroju w układzie współrzędnych O obróconym  z dA    z   S  y y A Następnie © Copyright: K. Kaliński, Gdańsk University of Technology

PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Charakterystyki geometryczne przekroju pręta Po przekształceniach Podobnie Po przekształceniach © Copyright: K. Kaliński, Gdańsk University of Technology

PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Charakterystyki geometryczne przekroju pręta Problem: jak ustawić układ współrzędnych O, aby moment dewiacji I = 0 Wówczas osie =1, =2 będą głównymi centralnymi osiami bezwładności przekroju Po przyrównaniu 3-ciej zależności do zera Niejednoznaczność rozwiązania !! Główne centralne momenty bezwładności przekroju © Copyright: K. Kaliński, Gdańsk University of Technology

PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Charakterystyki geometryczne przekroju pręta Inny sposób. Jeżeli w układzie prostokątnym Syz momenty bezwładności przekroju wynoszą Iy, Iz, zaś moment dewiacji Iyz, to główne centralne momenty bezwładności I1, I2 są wartościami własnymi tensora momentów geometrycznych zaś kosinusy kierunkowe głównych centralnych osi bezwładności są wektorami własnymi tensora momentów geometrycznych, unormowanymi w ten sposób że suma kwadratów składowych wynosi 1. © Copyright: K. Kaliński, Gdańsk University of Technology

Dziękuję za uwagę !!! :17:13

Wytrzymałość materiałów WM-I

Podobne prezentacje

Prezentacja na temat: "Wytrzymałość materiałów WM-I"— Zapis prezentacji:

Podobne prezentacje

О projekcie

Zwrotny adres

Wejść

Zaloguj się poprzez sieć społeczną:

Wytrzymałość materiałów WM-I

Podobne prezentacje

Prezentacja na temat: "Wytrzymałość materiałów WM-I"— Zapis prezentacji:

Podobne prezentacje

О projekcie

Zwrotny adres