DALEJ Sanok Spis treści Pojęcie funkcji Sposoby przedstawiania funkcji Miejsce zerowe Monotoniczność funkcji Funkcja liniowa Wyznaczanie funkcji liniowej,

Prezentacja na temat: "DALEJ Sanok Spis treści Pojęcie funkcji Sposoby przedstawiania funkcji Miejsce zerowe Monotoniczność funkcji Funkcja liniowa Wyznaczanie funkcji liniowej,"— Zapis prezentacji:

1

2 DALEJ Sanok

3 Spis treści Pojęcie funkcji Sposoby przedstawiania funkcji Miejsce zerowe Monotoniczność funkcji Funkcja liniowa Wyznaczanie funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dane punkty Proporcjonalność prosta Przykłady funkcji nieliniowych – proporcjonalność odwrotna, - funkcja kwadratowa, - moduł liczby Zastosowanie funkcji w życiu Wykonanie DALEJ WSTECZ

4 Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy taką zależność, która każdemu elementowi x ze zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element y ze zbioru Y. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji lub zbiorem argumentów funkcji. Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji. A B C D 1 4 2 5 3 X Y DALEJ WSTECZ

5 Funkcje można przedstawić na kilka sposobów: słownie, np. Każdej liczbie ze zbioru X przyporządkujemy liczbę do niej przeciwną X = { -2, -1, 0, 1, 2} – dziedzina Y = { -2, -1, 0, 1, 2} – zbiór wartości Wzorem, np. f: x -x lub f(x) =-x lub y =-x Df = {-2, -1, 0, 1, 2} Wtedy: f (-2) = 2, f (-1) = 1, f (0) = 0, f (1) = -1, f (2) = -2 w postaci tabelki, np. x -2 -1 0 1 2 y 2 1 0 -1 -2 DALEJ WSTECZ

6 w postaci grafu, np. w postaci wykresu, np. y x 1 1 0 -2 0 1 2 1 0 -2 XY DALEJ WSTECZ

7 Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument x, dla którego wartość funkcji wynosi 0. W miejscach zerowych wykres funkcji dotyka lub przecina oś x. Miejsce zerowe można odczytać z rysunku albo je obliczyć. II. Obliczanie miejsca zerowego dla funkcji y = 2x + 4 Znając definicję miejsca zerowego, wstawiamy 0 zamiast y. 0 = 2x + 4 | -4 -4 = 2x | : 2 -2 = x PRZYKŁADY: y x 1 10 I. Miejsce zerowe x = 1 DALEJ WSTECZ

8 Funkcja jest rosnąca wtedy, gdy wraz ze wzrostem argumentów wzrastają wartości funkcji, (dla funkcji postaci y = ax + b a > 0). 1 1 0 x y Funkcja jest malejąca wtedy, gdy wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji, (dla funkcji postaci y = ax + b a < 0) 1 1 0 x y Funkcja stała to taka funkcja, która dla każdego argumentu x w danym zbiorze ma stałą wartość, (dla funkcji postaci y = ax + b a = 0) 1 1 0 x y DALEJ WSTECZ

9 Funkcja liniowa to funkcja, której wykresem jest linia prosta, a dziedziną zbiór liczb rzeczywistych. Funkcja liniowa może być opisana za pomocą wzoru: y = ax + b, gdzie a i b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Współczynnik a to współczynnik kierunkowy prostej, natomiast b - wyraz wolny. Mamy dwa przypadki funkcji liniowej: a) gdy a = 0 - funkcja liniowa ma postać y = ax + b, np. y = 2x + (-2) y x 1 10 Y = -2 Y = 2x + (-2) DALEJ WSTECZ b) gdy a = 0 - funkcja liniowa ma postać y = b. np. Y = -2

10 Wykresy funkcji liniowych y = ax + b, mających ten sam współczynnik kierunkowy a i różne współczynniki b, są prostymi równoległymi. y x 1 1 0 Wykresy funkcji liniowych y = ax + b, mających różne współczynniki a oraz takie same współczynniki b, są prostymi przecinającymi się w jednym punkcie (0,b). y x 1 b 0 DALEJ WSTECZ

11 WYZNACZANIE FUNKCJI LINIOWEJ PRZECHODZĄCEJ PRZEZ DANE PUNKTY Aby wyznaczyć wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dane punkty (1,3) oraz (-2,4), podstawiamy współrzędne tych punktów w miejsce x i y do wzoru y = ax + b. Otrzymujemy układ równań o niewiadomych a i b. Zatem wzór szukanej funkcji ma postać y = -1/3x + 3 1/3. 3 = a. 1 + b 4 = -2a + b a = -1/3 b = 3 1/3 1 0 x y 1 DALEJ WSTECZ

12 PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA 1 1 0x y Jeżeli we wzorze określającym funkcję liniową y = ax + b mamy a = 0 oraz b = 0, to wzór ten opisuje proporcjonalność prosta y = ax. W takim wypadku wielkości x i y nazywane są wielkościami wprost proporcjonalnymi. Liczbę a nazywamy współczynnikiem proporcjonalności prostej. Wykresem proporcjonalności prostej jest prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych. DALEJ WSTECZ

13 PRZYKŁADY FUNKCJI NIELINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ ODWROTNA Funkcja y = a/x, a = 0 i x = 0, nazywana jest proporcjonalnością odwrotną. Mówimy, że wielkości x, y są odwrotnie proporcjonalne, jeśli spełniają warunek x. y = a. Wykresy tej funkcji nazywamy hiperbolą. DALEJ WSTECZ 1 1 0x y

14 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcje postaci : y = x 2, y = x 2 – 1, y = 3x 2 + 4 są przykładami funkcji kwadratowych. Wykresy tych funkcji nazywamy parabolami. Dziedziną funkcji kwadratowych jest zbiór liczb rzeczywistych. Wykres funkcji y = x 2 00 11 11 Przykład : DALEJ WSTECZ

15 MODUŁ LICZBY Moduł liczby lub wartość bezwzględna liczby to jej odległość na osi liczbowej od zera. Moduł liczby jest zawsze liczbą nieujemną. Jeśli każdej liczbie rzeczywistej przyporządkujemy jej moduł, to otrzymujemy funkcję. Opisujemy ją wzorem y = |x| (czytamy moduł x) Przykład : Funkcja y = |x| jest funkcją : Malejącą dla x < 0 Rosnącą dla x > 0 Miejscem zerowym funkcji jest x = 0. 1 0 1 Y = |x| DALEJ WSTECZ

16 DALEJ WSTECZ ZASTOSOWANIE FUNKCJI W ŻYCIU CODZIENNYM FUNKCJE WYKORZYSTYWANE SĄ W WIELU DZIEDZINACH ŻYCIA, np. W badaniach statystycznych – kursy walut, W balistyce – zapisywanie toru lotu pocisku, Aby policzyć z jaką maksymalną prędkością może jechać samochód żeby nie wypaść z zakrętu, Aby wyznaczyć efektywne dawki leków.

17 Dziękujemy za obejrzenie pokazu!!! WSTECZ SPIS TREŚCI Zapraszamy na stronę - www.gimnazjum2.sanok.prox.pl