Czy błąd całkowity maleje gdy Dt maleje ? Czy maleje do zera? Jawny schemat Eulera eksperyment numeryczny problem początkowy: u’=lu, u(0)=1 z rozwiązaniem dokładnym u(t)=exp(lt) l=-100 Dt=0.001 dokładny jawny Euler e (błąd globalny) = dokładny - numeryczny

rząd zbieżności (dokładności) określa jakość metody: jak szybko błąd globalny dla chwili T zmierza do zera w funkcji Dt jawna metoda Eulera = pierwszy rząd dokładności O(Dt) jest to minimalny rząd dokładności dla użytecznej metody zmniejszajmy krok czasowy, jaki wynik w chwili t=0.01 ? [1/e=0.3678794] n Dt un exp(-1)-un 10-3 0.34867 1.920 10-2 102 10-4 0.36603 1.847 10-3 103 10-5 0.36769 1.840 10-4 104 10-6 0.36784 1.839 10-5

zbieżność a błędy zaokrągleń (skończona dokładność arytmetyki Definicja: Metody różnicowa jest zbieżna jeśli błąd globalny znika do zera w chwili T gdy z Dt do 0 zbieżność a błędy zaokrągleń (skończona dokładność arytmetyki zmiennoprzecinkowej)

błędy zaokrągleń a zbieżność do tej pory zakładaliśmy, że błędy zaokrągleń nie ma (że arytmetyka dokładna) arytmetyka zmiennoprzecinkowa nie jest dokładna. pojedyncza precyzja: 32 bity podwójna : 64 bity arytmetyka 21 – bitowa błąd minimalny zmniejszanie kroku czasowego nie poprawi już wyniku

błędy zaokrągleń a metody różnicowe rozwiązanie równania różniczkowego w chwili tn rozwiązanie równania różnicowego z dokładną arytmetyką rozwiązanie uzyskane z arytmetyką skończonej dokładności błąd całkowity błąd globalny (jak wcześniej zdefiniowano) błąd zaokrąglenia oszacowanie od góry błędu całkowitego

błędy zaokrągleń dają o sobie znać gdy wykonamy zbyt wiele kroków błędy zaokrągleń a metody różnicowe oszacowanie od góry błędu całkowitego błąd błąd globalny dla schematu Eulera błąd zaokrągleń rzędu liczby wykonanych kroków, czyli 1/dt dt optymalny krok czasowy błędy zaokrągleń dają o sobie znać gdy wykonamy zbyt wiele kroków remedium: używać się schematów o wyższym rzędzie zbieżności niż pierwszy

dotyczy błędu globalnego a nie całkowitego błędy zaokrągleń a metody różnicowe oszacowanie od góry błędu całkowitego błąd globalny dla schematu Eulera błąd całkowity błąd globalny błąd zaokrąglenia błąd zaokrągleń optymalny krok czasowy Definicja: Metody różnicowa jest zbieżna jeśli błąd globalny znika do zera w chwili T gdy z Dt do 0 uwaga: definicja zbieżności dotyczy błędu globalnego a nie całkowitego

wniosek: wyniki metody zbieżnej mogą eksplodować Wróćmy do eksperymentu numerycznego i zwiększmy krok czasowy do Dt=0.05 problem początkowy: u’=-100u, u(0)=1 z rozwiązaniem dokładnym u(t)=exp(-100t) tn un 0 1 0.05 -4 0.1 8 0.15 -16 0.2 256 0.25 -1024 0.3 4096 do bezwzględnej stabilności zasygnalizować sztywność (do której powrócimy) wsteczny Euler sposoby iteracji dla wstecznego Eulera iteracja się rozbiega wniosek: wyniki metody zbieżnej mogą eksplodować dla zbyt dużego kroku czasowego

bezwzględna stabilność schematu różnicowego* schemat różnicowy dla du/dt = f (dla danego f) i dla danego kroku czasowego jest bezwzględnie stabilny jeśli kolejne generowane przez niego wartości pozostają skończone. stabilność bezwzględna: określana zazwyczaj dla autonomicznego problemu liniowego bezwzględna stabilność jawnej metody Eulera wsp. wzmocnienia wyniki będą skończone, jeśli

z= lDt region bezwzględnej stabilności metody: zbiór par : krok czasowy Dt oraz zespolone wartości l dla których metoda jest bezwzględnie stabilna region bezwzględnej stabilności jawnej metody Eulera: zbiór punktów odległych od (-1,0) o nie więcej niż 1 Dt Im (l) koło o środku w (-1,0) i promieniu 1 -1 1 -2 Dt Re(l) -1 niestabilność bezwzględna metody dla prawej połowy p. Gaussa = nic dziwnego rozwiązania dokładne eksploduje do nieskończoności gdy t.

jawna metoda Eulera jest bezwzględnie stabilna jeśli |1+lDt|1 czyli dla rzeczywistego l <0 : Dt -2/ l Weźmy l = -1, u(0)=1, rozwiązanie u(t)=exp(-t), warunek stabilności bzwz: Dt2 Przepis Eulera: un+1=un(1-Dt) 6 Dt=1.2 Dt=2 Dt=2.5 . 6 dokładny Dt=0.5 Dt=0.9 4 ) t 2 . 4 ( ) t ( u u Dt=1 : wszędzie 0 . 2 - 2 . - 4 2 4 6 8 1 t 2 4 t 6 8 1 uwaga: rozwiązanie bezwzględnie stabilne (np. Dt=1 lub Dt=2) może być bardzo niedokładne lub wręcz - jakościowo złe = tutaj stałe i niemonotoniczne odpowiednio

pozbyć się ograniczenia na krok czasowy: niejawna metoda Eulera metoda jawna .... niejawna jawna metoda Eulera funkcjonuje jak równanie nieliniowe (funkcjonuje jak podstawienie) „metoda odważna” „metoda ostrożna” zmiana u zgodna z prawą stroną w punkcie docelowym

niejawna metoda Eulera: niejawny Euler problem początkowy: u’=-100u, u(0)=1 z rozwiązaniem dokładnym u(t)=exp(-100t) jawny Euler tn un e(tn) 0 1 0 0.05 .166(6) -.15992 0.1 .027(7) -.02773 0.15 .004(629) -.00462 0.2 .0007716 0.25 .0001286 0.3 .00002143 tn un 0 1 0.05 -4 0.1 8 0.15 -16 0.2 256 0.25 -1024 0.3 4096 itd.. exp(-100 tn) gaśnie znacznie szybciej niż 1/6n mało dokładne, ale zawsze to lepiej niż eksplodująca oscylacja jawnego Eulera

niejawna metoda Eulera: region bezwzględnej stabilności Dt Im (l) 1 Dt Re(l) rejon bezwzględnej stabilności: dopełnienie pustego koła o środku w (1,0) i promieniu 1 -1

regiony stabilności metod Eulera Dt Im (l) Dt Im (l) -1 1 1 -2 Dt Re(l) Dt Re(l) -1 -1 metoda Eulera jawna niejawna metoda Eulera

niejawna metoda Eulera: region bezwzględnej stabilności Dt Im (l) 1 Re(l)<0 : niejawny Euler bezwzględnie stabilny dla dowolnego kroku czasowego takie metody: tzw. A-stabilne dla Re(l)>0, poza kołem metoda Eulera jest bezwzględnie stabilna mimo, że rozwiązania równania różniczkowego są niestabilne (patrz wyżej) w tym obszarze metoda jest nadstabilna daje skończone wartości, mimo że rozwiązania dokładne dąży do nieskończoności bezwzględna stabilność nie oznacza dobrej dokładności. W regionie stabilności dla Re(l)>0 błędy będą rosły w nieskończoność. Dt Re(l) -1

jak rozwiązać, gdy nie można rozwikłać równania (f nieliniowe względem u) lub gdy f nieznane w formie wzoru iteracja funkcjonalna iterować do zbieżności jeśli się zbiegnie um=um-1 i mamy rozwiązanie równania nieliniowego

iteracja się nie zbiega  iteracja funkcjonalna przykład problem początkowy: u’=-100u, u(0)=1, dt=0.05 z rozwiązaniem dokładnym u(t)=exp(-100t) tn un e(tn) 0 1 0 0.05 .166(6) -.15992 0.1 .027(7) -.02773 0.15 .004(629) -.00462 0.2 .0007716 0.25 .0001286 0.3 .00002143 kolejne oszacowania: 1, -4, 21, -104, 521, -2604, ... iteracja się nie zbiega  cały zysk z niejawności stracony bo nie potrafimy wykonać kroku

iteracja funkcjonalna przykład iteracja się nie zbiega . zmniejszymy krok dt, zaczynając iterację od un-1 będziemy bliżej rozwiązania. Może się zbiegnie. dt=0.01 dt=0.001 1, 0.9, 0.91, 0.909, 0.9091, 0.90909, 0.909091, ... 0.90909090909 (1,0,1,0,1,0) iteracja funkcjonalna się zbiega gdy Dt max|fu(t,u)| 1 (w otoczeniu u) u’=-100u, Dt 100 < 1 uwaga: w tej sytuacji jawny Euler jest bezwzględnie stabilny dla 2-krotnie większego kroku! [dla jawnego Eulera Dt 100 < 2] Z iteracją funkcjonalną stosować wstecznego Eulera nie ma sensu.

1, -4, 21, -104, 521, -2604, ... oscylująca rozbieżność - stłumimy ją: problem początkowy: u’=-100u, u(0)=1, dt=0.05 z rozwiązaniem dokładnym u(t)=exp(-100t) 1, -4, 21, -104, 521, -2604, ... oscylująca rozbieżność - stłumimy ją: iteracja funkcjonalna – zapewniamy zbieżność modyfikując przepis iteracyjny zamiast: „mieszając” nowe i stare rozwiązania z wagą w, 0  w1 jeśli się zbiegnie – to do rozwiązania schematu niejawnego Zabieg podobny do “podrelaksacji”

wybierając w odpowiedni sposób wagę w: potrafimy problem początkowy: u’=-100u, u(0)=1, dt=0.05 z rozwiązaniem dokładnym u(t)=exp(-100t) iterujemy u(dt) w=0.1 w=0.3 wybierając w odpowiedni sposób wagę w: potrafimy ustabilizować iterację i doprowadzić ją do zbieżności. w=0.2

tutaj optymalne byłoby w=1/2 (zbieżność w jednej iteracji) dt=0.01 w=0 (1,0,1,0,1,0) dt=0.001 w=.2 (optymalne dla dt=0.05) w=1 1, 0.9, 0.91, 0.909, 0.9091, 0.90909, 0.909091, ... 0.90909090909 0.8,0.68, 0.608, 0.5648, 0.53888, 0.5233, 0.51399, 0.50839, 0.50503, 0.503, 0.5018, 0.5010, 0.50065, 0.50039, ..., 1/2 w=0.2 tutaj optymalne byłoby w=1/2 (zbieżność w jednej iteracji) dla w=.7 0.3,0.58,0.468,0.512,0.4948,0.5003,0.4998

tutaj optymalne byłoby w=.5 dt=0.01 w=0 (1,0,1,0,1,0) dt=0.001 w=.2 (optymalne dla dt=0.05) w=1 1, 0.9, 0.91, 0.909, 0.9091, 0.90909, 0.909091, ... 0.90909090909 0.8,0.68, 0.608, 0.5648, 0.53888, 0.5233, 0.51399, 0.50839, 0.50503, 0.503, 0.5018, 0.5010, 0.50065, 0.50039, ..., 1/2 w=0.2 tutaj optymalne byłoby w=.5 (zbieżność w jednej iteracji natychmiastowa) dla w=.7 0.3,0.58,0.468,0.512,0.4948,0.5003,0.4998 Problem: 1) w trzeba odpowiednio dobrać (mniejszy krok czasowy, w bliższe 1) 2) dla źle dobranego w iteracja może być wolnozbieżna Proces optymalizacji (np. dynamicznej) w może być kłopotliwy.

F(xn+Dx)=F(xn)+Dx F’(xn) F(xn+Dx)=0 xn+1=xn-F(xn)/F’(xn) Na szczęście nie jesteśmy skazani na iterację funkcjonalną 2) metoda Newtona-Raphsona szukamy zera równania nieliniowego F(x) F(xn+Dx)=F(xn)+Dx F’(xn) F(xn+Dx)=0 xn+1=xn-F(xn)/F’(xn)

F(xn+Dx)=F(xn)+Dx F’(xn) F(xn+Dx)=0 xn+1=xn-F(xn)/F’(xn) 2) metoda Newtona-Raphsona szukamy zera równania nieliniowego F(xn+Dx)=F(xn)+Dx F’(xn) F(xn+Dx)=0 xn+1=xn-F(xn)/F’(xn)

niejawny schemat Eulera z metodą Newtona-Raphsona, zastosowanie problem początkowy: u’=-100u, u(0)=1 z rozwiązaniem dokładnym u(t)=exp(-100t) kolejne przybliżenia: Dt=0.05 (jawny Euler stabilny bezwzględnie dla Dt <0.02) 1, 0.1666677, 0.1666677 zbieżność w jednej iteracji - f jest liniowa w u zakres zbieżności: w praktyce Dt znacznie większy niż w iteracji funkcjonalnej ale: niedostępne proste oszacowane przedziału zbieżności w praktyce iteracja Newtona – szybsza i szerzej zbieżna niż iteracja funkcjonalna

niejawny schemat Eulera z metodą Newtona-Raphsona, zastosowanie dla problemu nieliniowego problem początkowy: dla równania: u’=u(u-1)

czerwone niejawny Euler z krokiem Dt=0.1 u(0)=0.8 iteracja dla u(Dt) ze startem w u(0): 0.80000 0.78297 0.78300 0.78300

niejawny schemat Eulera z metodą Newtona-Raphsona gdy przepis funkcyjny nieznany (np. programujemy metodę dla dowolnego f ) można szacować z ilorazu różnicowego (poniżej centralny = dokładnie różniczkuje parabole) cena zastąpienia dokładnej pochodnej ilorazem różnicowym? przy osiągniętej zbieżności - nie zmieni rozwiązania! może tylko spowolnić iterację! dla naszego przykładu u’=u(u-1) centralny iloraz różnicowy zadziała dokładnie dla dowolnego du żeby przykład był ciekawszy: policzmy pochodną z wstecznego ilorazu różnicowego

u(0)=0.8, pierwszy krok t=Dt: u’=f(u)=u(u-1) metoda Newtona dla pochodnej f liczonej numerycznie w każdej iteracji: dokładna pochodna 0.80000 0.78297 0.78300 0.78300 iloraz wsteczny du=u/10 iloraz wsteczny du=u/2 przybliżenie w liczeniu pochodnej nie zmienia wyniku do którego iteracja zbiega bo: 0.80000 0.78367 0.78303 0.78301 0.78300 0.80000 0.78312 0.78301 0.78300 xn+1=xn-F(xn)/F’(xn) nieco spowalnia iterację numeryczne liczenie pochodnych w każdej iteracji może być kosztowne w praktyce można np. wstawić tutaj un-1 można również używać oszacowania pochodnej w wielu kolejnych iteracjach odnawiać pochodną gdy iteracja zwalnia

iteracja Newtona z pochodną liczoną w poprzednim kroku (nieiterowaną) zamiast dla naszego przykładu: f(u)=u(u-1) z dt=0.1 dt=1 iterowana pochodna 0.80000 0.78297 0.78300 0.78300 pochodna brana z punktu tn-1, un-1 dt=0.5 z poprzedniego kroku 0.8 0.6857 0.6950 0.6935 0.6938 0.6937 iterowana 0.8 0.4 0.5333 0.5523 0.5527 0.5527 stara 0.8 0.4 0.8 0.4 iterowana 0.8 0.6857 0.6937 0.6937 0.80000 0.78297 0.78300 0.78300 brak zbieżności  bez różnicy! wolniej w mianowniku: 1-dt(2u-1) stara: 0.94 , doiterowana 0.9434 stara: 0.7 doiterowana: 0.806 stara 0.4 doiterowana 0.89

jawny schemat Eulera [globalny błąd O(Dt)] niejawny schemat Eulera [globalny błąd O(Dt)] u(t) f(t,u) u(t) [t,u(t)] dokładne f(t,u) [t+ Dt,u(t+Dt)] [t+ Dt,u(t+Dt)] Dt t Dt t t u(t) f(t,u) Dt [t,u(t)] dokładne [t+ Dt,u(t+Dt)] przesunięcie wyliczane na podstawie średniej arytmetycznej z chwil t i t+Dt [wzór trapezów]

Punkt t2=0.5 u2 = ? [dokładnie: 1.1331] dokładność wzóru trapezów a jawnego schematu Eulera: eksperyment Równanie: Warunek początkowy: u1=u(t1=0)=1 Rozwiązanie: Punkt t2=0.5 u2 = ? [dokładnie: 1.1331] jawny Euler Euler jawny jeden krok: u2=u1+Dt t1u1=u1= 1 u2 wzór trapezów u2=u1+(t1u1+t2u2) Dt /2 = u1+t2u2 Dt /2 u2:= u1+u2 /8 iteracja funkcjonalna wynik 8/7 TR wygląda na bardziej dokładny od E: niejawny Euler: 4/3=1.333 (pokazać) nieco gorzej niż jawny

Oszacować błąd lokalny wzoru trapezów 1. rozw. Taylora wstecz 2. dla dowolnej funkcji ciągłej f(t)=f(t+Dt)+O(Dt) (wstawimy, rząd błędu pozostanie trzeci) 3. Rozwiązać na u(t+Dt) Euler miał rząd obcięcia Dt2 pozbyć się go.

3. Rozwiązać na u(t+Dt) [przepisane] 4. Uśrednić z rozwinięciem Taylora do przodu 5. Wynik 6. Korzystamy z równania jawny i niejawny Euler – lokalny błąd rzędu drugiego (rząd dokładności 1) wzór trapezów – lokalny błąd rzędu trzeciego (rząd dokładności 2)

rozwiązanie u=exp(lt) stabilność bezwzględną wzoru trapezów problem modelowy: WP: u(t=0)=1. rozwiązanie u=exp(lt) zbiór punktów na p. Gaussa, które są nie dalej od (-2,0) niż od (0,2)

Implementowana np. w SPICE. region bzwz. stabilności wzoru trapezów Dt Im (l) Dt Re(l) Wniosek: dla l<0 wzór trapezów bezwzględnie stabilny dla dowolnego kroku czasowego ! A-stabilny druga bariera Dahlquista: maksymalny rząd dokładności metody A-stabilnej =2 schemat trapezów jest najdokładniejszą metodą A-stabilną spośród liniowych metod wielokrokowych Implementowana np. w SPICE.

region bzwz. stabilności Eulera: koło o promieniu 1 i środku (-1,0) Dt Im (l) Dt Re(l) region bzwz. stabilności wzoru trapezów Dt Im (l) Dt Re(l) niejawna metoda Eulera: region bezwzględnej stabilności Dt Im (l) między metodami można przechodzić w sposób ciągły 1 Dt Re(l) q=0,1,1/2 – Euler jawny, niejawny i wzór trapezów odpowiednio w wykładzie na temat niejawnych formuł RK zobaczymy, że dokładność rzędu 2 uzyskana tylko dla q=1/2 region stabilności ? -1

wzór trapezów = używa prawej strony z poprzedniego kroku czasowego iteracja funkcjonalna a wzór trapezów problem początkowy: u’=-100u, u(0)=1 z rozwiązaniem dokładnym u(t)=exp(-100t) Dt=0.01 = graniczny dla zbieżności IF dla niejawnego Eulera 1,0, 0.5, 0.25, 0.375, 0.3125, 0.34375, 0.328125, 0.33593, 0.33203, 0.333984, ... ,0.333333 wzór trapezów = używa prawej strony z poprzedniego kroku czasowego z wagą 0.5 – co nieco stabilizuje iterację. niestety iteracja funkcjonalna dla Dt=0.02 już przestaje być zbieżna (+1,-1,+1,-1,itd..) wzór trapezów zwiększa zakres zbieżności iteracji dwukrotnie (wyraz podkreślony stabilizuje iteracje) ale to wciąż mało metoda Newtona-Raphsona pozostaje

) jawne metody różnicowe wysokiej dokładności ?? poznane metody: 1) 2) 3) ) Poznane metody: jednokrokowe (1-3), jawna (1) i niejawne (2-3), pierwszego (1-2) i drugiego (3) rzędu dokładności Metody (2-3) A stabilne, metoda (2) nadstabilna jawne metody różnicowe wysokiej dokładności ??

jawne metody jednokrokowe wyższego rzędu dokładności niż jawny Euler u’=f(t,u), u(0)=u0 rozwinięcie Taylora ponownie: liczymy pochodne: z RR. RR różniczkujemy po czasie czyli podobnie Zależnie od tego gdzie się zatrzymamy uzyskamy błąd lokalny zadanego rzędu

Zależnie od tego gdzie się zatrzymamy uzyskamy błąd lokalny zadanego rzędu np. pomysł: mało przydatny w praktyce ze względu na konieczność analitycznego wyliczenia pochodnych cząstkowych f. Dla metod ogólnych: nie powinniśmy liczyć, że f jest dane wzorem

podejście alternatywne: inspirowane całkowaniem prawa strona = funkcja tylko t z rozwiązaniem: jeśli zastąpimy całkę kwadraturą prostokątów z wywołaniem funkcji w lewym końcu przedziału u(tn)=u(tn-1)+Dt f(tn-1) + O(Dt2) - rozpoznajemy jawny schemat Eulera tn-1 tn kwadratura prostokątów z wywołaniem funkcji w prawym końcu przedziału u(tn)=u(tn-1)+Dt f(tn) + O(Dt2) - rozpoznajemy niejawny schemat Eulera tn-1 tn kwadratura trapezów u(tn)=u(tn-1)+Dt f(tn)/2+ Dt f(tn-1)/2 + O(Dt3) - rozpoznajemy niejawny schemat trapezów tn-1 tn

reguła punktu środkowego wzór prostokątów z wywołaniem funkcji w środku przedziału (dokładny dla funkcji liniowej, znoszenie błędów) tn-1 tn-1/2 tn uogólniony wzór na równanie równania u’=f(t,u) ale - skąd rozwiązanie w środku przedziału? np. ze schematu Eulera: błąd lokalny Eulera O(Dt2), czy reguła punktu środkowego zachowa trzeci rząd błędu lokalnego?

sprawdźmy to rozważając bardziej ogólny schemat: obliczone na początku kroku obliczone gdzieś w środku przedziału (tn-1,tn) z odpowiednio oszacowanym rozwiązaniem u dla tego t (wzór typu Eulera) jest to jawny dwustopniowy schemat Rungego-Kutty. potencjalna wyższa dokładność od jawnego Eulera kosztem dwóch wywołań f (podobnie jak we wzorze trapezów, ale RK: jawny) b1,b2,a,c – parametry metody –jakie muszą być aby RK2 (2 = rząd dokładności) reguła punktu środkowego: należy do tej klasy z b1=0, b2=1, c=1/2, a =1/2

u’=f(t,u) jak dobrać b1,b2,c,a ? – metodą brutalnej siły - Jawne metody Rungego-Kutty dwustopniowe: wybór parametrów (*) jak dobrać b1,b2,c,a ? – metodą brutalnej siły - tak aby rozwinięcie Taylora metody zgadzało się z rozwinięciem Taylora dokładnego równania różniczkowego do wyrazów tak wysokiego rzędu jak to tylko możliwe u’=f(t,u) przypominamy: rozwinięcie Taylora dla funkcji dwóch zmiennych wstawiamy rozwiązanie dokładne u(tn), u(tn-1) do (*) i rozwijamy względem tn-1, un-1

to trzeba rozwinąć wstawmy k2 do rozwinięcia. Zachowajmy człony do Dt2: (wszystko liczone w tn-1,un-1) rozwinięcie Taylora rozwiązania dokładnego uzyskaliśmy kilka slajdów wcześniej czyli: rząd Dt: b1+b2=1, rząd Dt2: b2c=b2a=1/2 czyli reguła punktu środkowego: b1=0, b2=1, c=1/2, a =1/2 ma błąd lokalny rzędu O(Dt3) mamy metodę równie dokładną co wzór trapezów – ale jawną (co ma swoje zalety i wady) Wyższy rząd błędu do uzyskania tylko w metodach o większej niż 2 liczbie stopni

cztery parametry i trzy równania b1+b2=1 b2c=b2a=1/2 - pozostaje swoboda w wyborze parametrów reguła punktu środkowego RK2 b1=0, b2=1, c=1/2, a =1/2 dwa zastosowania jawnego schematu Eulera oszacowanie wstępne w punkcie pośrednim (błąd lokalny rzędu drugiego) oszacowanie docelowe (błąd lokalny oszacowania: rzędu trzeciego) albo (przesunięty indeks) u(t) [t,u(t)] dokładne 1) Szacujemy metodą Eulera punkt środkowy [t+Dt/2,u(t+Dt/2)] korzystając z f(t,u) w lewym końcu przedziału 2) Wykorzystujemy wartość f w tym punkcie do wyliczenia zmiany y na całym przedziale Dt [t+Dt/2,y(t+Dt/2)] Dt t

inny wybór: b1=b2=1/2, wtedy musi a=c=1 RK punktu środkowego:b1+b2=1, b2c=b2a=1/2 inny wybór: b1=b2=1/2, wtedy musi a=c=1 metoda podobna do wzoru trapezów (ale jawna) u(t) 1) Szacujemy metodą Eulera punkt końcowy [t+Dt,u(t+Dt)] korzystając z f(t,u) w lewym końcu przedziału 2) krok z t do t+Dt wykonujemy biorąc średnią arytmetyczną z f na początku i końcu [t,u(t)] dokładne Dt t metoda RK2 trapezów

punkt środkowy b2=1, b1=0 [b1+b2]=1 czy ma sens b1=1, b2=0 ? dla błędu lokalnego O(Dt3) potrzeba aby, rząd Dt: b1+b2=1, rząd Dt2: b2c=b2a=1/2 punkt środkowy b2=1, b1=0 [b1+b2]=1 czy ma sens b1=1, b2=0 ?

Metody Rungego-Kutty, forma ogólna są to metody jednokrokowe, czyli można zapisać: metoda RK w s-odsłonach (stage) (unikamy słowa „krok”) z c A b wzory przedstawiane w formie tabel Butchera

Metody Rungego-Kutty, forma ogólna czasem zapisywane w postaci: tutaj Ui – przybliżone rozwiązanie w chwili tn-1+ciDt zazwyczaj niższej dokładności niż rozwiązanie końcowe

jawne metody Rungego-Kutty aij=0 dla ji obcięte sumowanie: odsłona i-ta wyliczana na podstawie tylko wcześniejszych odsłon historycznie wszystkie RK były jawne, uogólnienie okazało się przydatne dla problemów sztywnych

(dla każdej jawnej RK, zaczynamy – k1 Wyprowadzanie formuł RK (a,b,c) Rozwijamy rozwiązanie dokładne w szereg Taylora względem tn-1 Podstawiamy rozwiązanie dokładne do ogólnej formy RK i rozwijamy względem tn-1 Wartości parametrów a,b,c uzyskujemy z porównania. zazwyczaj w sposób niejednoznaczny najbardziej popularne: jawne formuły 4-etapowe RK4: o 4-tym stopniu zbieżności (4-tym rzędzie dokładności) i 5-tym rzędzie błędu lokalnego ogólna tabela Butchera: dla jawnych RK4 c1=0 (dla każdej jawnej RK, zaczynamy – k1 od wyliczenia prawej strony w kroku początkowym)

klasyczna formuła RK4: k2 u’ u(t) k3 k1 k4 4 wywołania f na krok, błąd lokalny O(Dt5) gdy f tylko funkcja czasu RK4 redukuje się do formuły Simpsona (dokładnie całkuje wielomiany trzeciego stopnia):

Jawne schematy RK dla układu równań różniczkowych 2 zmienne zależne u1, u2, 2 prawe strony f1, f2 2 równania, s-odsłon (i=1,2,...,s) zapis wektorowy un-1, un , f, U1, U2, ... UN są wektorami o 2 składowych

Tabela Butchera dla klasycznej jawnej RK4 1/2 1 1/6 1/3

Liczba kroków a rząd zbieżności jawnych metod RK: rząd 1 2 3 4 5 6 7 8 Dlaczego RK4 najbardziej popularna: Liczba kroków a rząd zbieżności jawnych metod RK: rząd 1 2 3 4 5 6 7 8 minimalna liczba odsłon 1 2 3 4 6 7 9 11 RK4 – wyjątkowo opłacalna RK1 – metoda RK w jednej odsłonie b1+b2=1, przy b1=1, b2=0 dostaniemy jawnego Eulera warunek a*b2=c*b2 =1/2 nie będzie spełniony jawny schemat Eulera to jawna metoda RK1

jawny Euler tabela Butchera b1=b2=1/2, a=c=1 RK2 trapezów 1/2 1 RK2 punktu środkowego 1/2 1

Szacowanie błędu lokalnego w metodach jednokrokowych Po co? 1) W rachunkach numerycznych musimy znać oszacowanie błędu Aby ustawić krok czasowy tak, aby błąd był akceptowalny Gdy oszacowanie jest w miarę dokładne: można poprawić wynik

Oszacowanie błędu lokalnego w metodach jednokrokowych W każdym kroku generujemy nowy błąd w rachunkach. Znamy jego rząd. dla RK: wstawialiśmy rozwiązanie dokładne do schematu i je rozwijaliśmy w szereg T. wybór b1=0, b2=1, c=1/2, a =1/2 dawał RK2 punktu środkowego Rozwijając do jednego rzędu wyżej z Dt uzyskamy oszacowanie błędu lokalnego dn= u(tn) - un [przy założeniu, że u(tn-1) = un-1] świetny wzór choć mało praktyczny

Oszacowanie błędu (lokalnego) w metodach jednokrokowych metodą rzędu p z chwili tn-1 wykonujemy krok do tn może zależeć od tn-1 oraz un-1, ale nie zależy od Dt folia wcześniej szacowanie błędu: ekstrapolacja Richardsona (step doubling) osadzanie (embedding)

ekstrapolacja Richardsona dwa kroki Dt: dostaniemy lepsze oszacowanie u(tn+1) tn-1 tn tn+1 Dt Dt jeden krok 2Dt: dostaniemy gorsze oszacowanie u(tn+1) tn-1 tn+1 2Dt szacujemy Cn z porównania obydwu rozwiązań

(lub, ze w jednym kroku zmienia się o O(Dt)] ekstrapolacja Richardsona błąd lokalny u(tn)-un=dn jest: wykonujemy krok następny od tn do tn+1 odchylenie wyniku numerycznego od dokładnego u(tn+1)-un+1= g dn +dn+1 zakładamy, że krok jest na tyle mały, że stała błędu się nie zmienia Cn Cn+1 (lub, ze w jednym kroku zmienia się o O(Dt)] wtedy błąd lokalny popełniony w chwili tn+1 jest dn+1  dn. 2) gdy krok mały: współczynnik wzmocnienia błędu g  1 [np. du/dt=-lu jawny E. (1-lDt)] (błąd popełniony w kroku pierwszym nie jest istotnie wzmacniany) Przy tym założeniu: błąd po drugim kroku – suma błędów g dn+dn+1  2dn,

ekstrapolacja Richardsona tn-1 tn tn+1 Dt Dt to chwili tn+1 dojdziemy z tn-1 w pojedynczym kroku 2Dt tn-1 tn+1 2Dt dostaniemy gorsze oszacowanie u(tn+1) chcemy poznać Cn (to + znajomość p da nam oszacowanie błędu): odejmujemy niebieskie wzory tak aby wyeliminować rozwiązanie dokładne (nam niedostępne)

ekstrapolacja Richardsona błąd wykonany po dwóch krokach Dt wynosi więc: pierwszy wniosek: jeśli znamy rząd metody p to potrafimy go podnieść o jeden

ekstrapolacja Richardsona podnosimy rząd dokładności metody „algorytm”

Euler (p=1) błąd lokalny O(Dt2) Przykład: ekstrapolacja Richardsona r. dokładne: Euler (p=1) błąd lokalny O(Dt2) Euler po poprawce: błąd lokalny O(Dt3) kreski: RK2 punktu środkowego (p=2), b.lok. O(Dt3) znając rząd dokładności możemy radykalnie poprawić dokładność metody przy natdatku (50 procent) numeryki

ekstrapolacja Richardsona Euler RK2 RK2 z odciętym błędem

Oszacowanie błędu lokalnego w metodach jednokrokowych ekstrapolacja Richardsona (step doubling) osadzanie (embedding) cel: szacujemy błąd lokalny metody rzędu p przy pomocy lepszej metody, np. rzędu p+1 obydwie metody szacują rozwiązanie w tych samych chwilach czasowych co daje oszacowanie błędu gorszej metody nie nadaje się do poprawiania schematu p po cóż zresztą poprawiać gdy mamy p+1

celem szacowania błędu nie jest poprawa wyniku, (dla poprawy zawsze można Dt zmienić) lecz adaptacja Dt : stały krok zawsze może okazać się zbyt wielki albo zbyt mały. JAKI KROK CZASOWY SYMULACJI USTAWIĆ gdy coś ciekawego zdarza się tylko czasem ?

Dt(nowy)=(tol/E)1/(p+1) Dt Automatyczna kontrola kroku czasowego dla metod jednokrokowych Program może sam dobierać krok czasowy w zależności od tego co dzieje się w symulacji. Chcemy utrzymać błąd na poziomie zbliżonym do parametru tol. nie większy aby zachować wymaganą dokładność, nie mniejszy aby nie tracić czasu na rachunki zbyt dokładne Szacujemy błąd lokalny E (ekstrapolacja Richardsona lub metody embedding) E=C[Dt]p+1 chcemy zmienić krok odpowiednio do naszych wymagań z Dt do Dt(nowy) tol=C[Dt(nowy)]p+1 Dt(nowy)=(tol/E)1/(p+1) Dt Dt(nowy)=(S tol /E)1/(p+1) Dt dla bezpieczeństwa S<1 wzór zwiększy zbyt mały krok i vice versa uwaga: błąd jest szacowany, zawsze warto dorzucić sztywne ograniczenia na Dt

do { } while ( t<T) Dt:=(S tol /E)1/(p+1) Dt Automatyczna kontrola kroku czasowego dla metod jednokrokowych symulacja ustawiająca krok czasowy może wyglądać np. tak: u0= warunek początkowy t0=0 n=1 do { jeśli E<tol { tn:=tn+Dt n:=n+1 (oznacza akceptację wyniku) } Dt:=(S tol /E)1/(p+1) Dt } while ( t<T)

RK2 Dt x2 V2 Przykład: oscylator harmoniczny używane oszacowanie błędu z RK2 Uwaga: tutaj rozwiązania nie poprawiamy przez ekstrapolacje tolerancja błędu obcięcia tol=0.1 RK2 start Dt x2 V2 tol=1e-2 tol=1e-3 algorytm ustawia minimalny krok czasowy gdy zmiany prędkości lub położenia są maksymalne

wyniki Konrada Rekiecia RK4 – spirala się skręca zamiast rozkręcać E(t) tol=.1 RK2 RK4 przy założonej tolerancji RK4 wcale nie jest dokładniejsze od RK2

... tylko pozwala stawiać dłuższe kroki dt