MATEMATYKA-ułamki zwykłe

SPIS TREŚCI Co to są ułamki zwykłe? Jakie są rodzaje ułamków zwykłych? Ułamki właściwe i niewłaściwe Liczby mieszane Rozszerzanie i skracanie ułamków zwykłych Porównywanie ułamków zwykłych Dodawanie ułamków zwykłych Odejmowanie ułamków zwykłych Mnożenie ułamków zwykłych Dzielenie ułamków zwykłych Wykonanie

CO TO SĄ UŁAMKI ZWYKŁE? W życiu codziennym często znajdujemy się w sytuacji, gdy musimy jakąś całość podzielić na części. Wtedy to każdą z tych części możemy zapisać w postaci ułamka. Jedna z czterech części - to ¼,  dwie z trzech części - to ⅔.   W każdym ułamku wyróżniamy licznik, który liczy i mianownik, który określa na ile części została podzielona całość. Licznik od mianownika oddzielony został kreską ułamkową, która zastępuje nam dzielenie. Ułamek to liczba oznaczająca część całości, lub wyrażająca ilość. Zapisujemy a/b,  gdzie a - to licznik ułamka, b - mianownik ułamka.

CO TO SĄ UŁAMKI ZWYKŁE? CD Współczesny sposób zapisu ułamków pochodzi od matematyków hinduskich, zapisywali oni licznik i mianownik, nie używając jednak kreski rozdzielającej. Dodanie kreski rozdzielającej zawdzięczamy Arabom tłumaczącym dzieła hindusów. W Europie jako pierwszy w swoich pracach znane do dziś oznaczenie ułamków publikuje włoski matematyk Fibonacci.

JAKIE SĄ RODZAJE UŁAMKÓW?

UŁAMKI WŁAŚCIWE I NIEWŁAŚCIWE Ułamki dzielimy na właściwe i niewłaściwe. Ułamek właściwy - to taki ułamek, w którym licznik jest mniejszy od mianownika. Ułamki właściwe są mniejsze od 1. Przykłady: 4/5,  1/7,  7/8 Ułamek niewłaściwy - to taki ułamek, w którym licznik jest większy od mianownika lub równy mianownikowi. Ułamki niewłaściwe są większe lub równe 1. Przykłady: 5/3,  12/12,  15/7

Przykłady liczb mieszanych: 2¼, 3⅔… LICZBY MIESZANE Ułamki niewłaściwe przedstawione w postaci całości i ułamka właściwego nazywamy liczbami mieszanymi. Przykłady liczb mieszanych: 2¼, 3⅔…

ROZSZERZANIE I SKRACANIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH Rozszerzanie ułamków to mnożenie, a skracanie (redukowanie) ułamków to dzielenie licznika i mianownika ułamka przez taką samą liczbę różną od zera. Rozszerzając lub skracając ułamek nie zmieniamy jego wartości. Dzięki tej własności operacje rozszerzania i skracania ułamka często wykorzystujemy w działaniach na ułamkach. Rozszerzanie wykorzystujemy w dodawaniu i odejmowaniu ułamków przy sprowadzaniu ich do wspólnego mianownika. Aby rozszerzyć ułamek, należy pomnożyć licznik i mianownik przez tę samą liczbę różną od zera. Aby skrócić (zredukować) ułamek, należy podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę różną od zera. Skracając ułamek szukamy (jeśli istnieje) najmniejszego wspólnego dzielnika licznika i mianownika tego ułamka. Następnie zarówno licznik jak i mianownik dzielimy przez znaleziony dzielnik. W ten sposób mamy ułamek uproszczony równoważny poprzedniemu. Przykłady: 3/4= 3·5/4·5= 15/20   ułamek trzy czwarte został rozszerzony przez 5. 6/9= 6:3/9:3= 2/3   ułamek sześć dziewiątych został skrócony przez 3.

ROZSZERZANIE I SKRACANIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH CD Są takie ułamki, których nie da się już skrócić (uprościć), takie ułamki nazywamy nieskracalnymi. Ułamki są nieskracalne, wtedy gdy licznik i mianownik nie mają takich samych dzielników większych od liczby 1. O liczbach, których największym wspólnym dzielnikiem jest liczba 1, mówimy, że są względnie pierwsze. Ułamkiem nieskracalnym nazywamy taki ułamek, którego licznik i mianownik są liczbami względnie pierwszymi. Przykłady ułamków nieskracalnych: 7/10,  6/25,  2/15,  3/20…

PORÓWNYWANIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH Trudniej jest porównać dwa ułamki zwykłe od dwóch liczb naturalnych, na które wystarczy, że zerkniemy okiem, a już potrafimy wskazać większą z nich. W przypadku dwóch ułamków o jednakowych licznikach lub mianownikach porównywanie nie jest trudne. W przypadku ułamków o różnych licznikach i różnych mianownikach, należy sprowadzić te ułamki do wspólnego mianownika lub licznika, bo w przeciwnym wypadku wskazanie większej może być kłopotliwe. Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same mianowniki to ten jest większy, który ma większy licznik. Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same liczniki to ten jest większy, który ma mniejszy mianownik. Jeżeli ułamki nie mają ani równych liczników, ani równych mianowników, to można sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika lub licznika za pomocą operacji rozszerzania. Przykłady: 2/5< 3/5,  8/10> 3/10 5/12< 5/10,  1/3> 1/4

DODAWANIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH Jeżeli ułamki mają takie same mianowniki to dodajemy liczniki, a mianownik zostawiamy bez zmian. 2/7+ 3/7= 5/7Jeżeli chcemy dodać liczby mieszane, dodajemy całości do całości, a ułamki do ułamków: 2 3/8+5 2/8=7 5/8Jeżeli ułamki zwykłe mają różne mianowniki, to najpierw należy sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, a potem dodać liczniki, pozostawiając mianownik bez zmian. Dodawanie ułamków jest przemienne i łączne.

ODEJMOWANIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH Aby odjąć ułamki o jednakowych mianownikach, odejmujemy ich liczniki, a mianownik zostawiamy bez zmian. 7/10− 4/10= 3/10Jeżeli chcemy odjąć liczby mieszane, odejmujemy całości od całości, a ułamki od ułamków: 4 3/5−1 2/5=3 1/5Aby odjąć ułamki o różnych mianownikach, najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika, następnie odejmujemy.

MNOŻENIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH Aby pomnożyć liczbę naturalną przez ułamek (lub odwrotnie), mnożymy licznik ułamka przez tę liczbę, a mianownik zostawiamy bez zmian. Przykład: 4· 3/5= 12/5=2 3/5Jeżeli chcemy pomnożyć dwa ułamki, mnożymy licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego. Przykład: 2/3· 3/5= 6/15= 2/5 Podczas mnożenia jeśli to możliwe można stosować skracanie ułamków. Należy pamiętać, aby skracając zawsze wybierać jedną liczbę z licznika, drugą z mianownika. Jeżeli chcemy pomnożyć przez siebie dwie liczby mieszane, to obie zamieniamy na ułamki niewłaściwe i mnożymy licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik. Przykład: 2 1/5·1 2/3= 11/5· 5/3= 55/15=3 10/15=3 2/3Mnożenie ułamków jest przemienne i łączne

DZIELENIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH Odwrotność liczby Jeżeli iloczyn dwóch liczb jest równy 1 , to mówimy, że jedna liczba jest odwrotnością drugiej. Ułamek 4/3jest odwrotnością 3/4, liczba 5 jest odwrotnością 1/5. Aby podzielić dwie liczby należy dzielną pomnożyć przez odwrotność dzielnika. Przykład: 1/5: 2/3= 1/5· 3/2= 3/10

WYKONANIE Monika Stasiak z klasy VI„d” Magdalena Jasińska z klasy VI„d”