Wykład: Podstawy Teorii Sygnałów 2015/2016   Wykładowca: dr inż. Marek Ossowski marek.ossowski@p.lodz.pl, Godziny konsultacji: czwartek 10:00-12:00 Tel.426312515 (praca) 501673231 !!!! Tylko w razie super pilnych spraw! 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Program Wykładów Podstawowe pojęcia i definicje dotyczące sygnałów. Klasyfikacja systemów i sygnałów. Splot analogowy i dyskretny. Odpowiedź systemów LTI. Szereg Fouriera. Dyskretny szereg Fouriera. Dyskretna Transformata Fouriera. Algorytm FFT. Transformata DTFT. Przekształcenie Fouriera i jego zastosowania. Próbkowanie sygnałów Modulacja Energia sygnału i moc. Transformata Z 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Literatura   ·[1] Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów, Richard G. Lyons, WKŁ, W-wa. ·[2] Telekomunikacja, Richard Read WKŁ, W-wa, 2000. ·[3] Podstawy telekomunikacji, Jajszczyk, WPP, Poznań, 1984. ·[4] Podstawy telekomunikacji analogowej i cyfrowej, David Gregg, 1983. ·[5] Signals and systems, Michał Tadeusiewicz,WPŁ, Łódź, 2001. [6] Sygnały i systemy. Zadania, Michał Tadeusiewicz, Marek Ossowski, WPŁ, Łódź, 2001. [7] Haykin S. Systemy telekomunikacyjne, WKŁ, Warszawa 1998, [8] Frenzel L.E., Communication Electronics, Mc Graw Hill Book Co, New York 1994 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Wykład pierwszy Podstawowe pojęcia i definicje dotyczące sygnałów. Klasyfikacja sygnałów Dyskretyzacja i kwantyzacja Klasyfikacja systemów Splot analogowy i dyskretny. 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

POJĘCIE SYGNAŁU W języku technicznym słowo „sygnał” oznacza to samo co w języku potocznym – sygnały są nadawane i odbierane, służą do komunikowania się. Sygnałem nazywamy wielkość fizyczną zmieniającą się w takt treści wiadomości i niosącą energię w postaci przydatnej do przesyłania na odleglość, przetwarzania, zapisu i przechowywania Ponieważ sygnał „niesie” zazwyczaj pewną informację o naturze badanych systemów lub zjawisk bywa nazywany „nośnikiem informacji”. 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Z matematycznego punktu widzenia Abstrakcyjny model dowolnej mierzalnej wielkości fizycznej zmieniającej się w czasie, generowanej przez zjawiska lub systemy fizyczne. Najczęściej opisywane przez podanie pewnych funkcji matematycznych zależnych od czasu. 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Klasyfikacja sygnałów (1) Sygnały powstają na styku bodziec-czujnik i w zależności od wielkości fizycznej i rodzaju energii można przykładowo wyróżnić sygnały Mechaniczne z energią sił, naprężeń i drgań Chemiczne z energią reakcji Dźwiękowe z energią drgań akustycznych Optyczne z energią fal świetlnych Elektryczne z energią elektro-magnetyczną 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Rzeczywiste – opisane funkcjami przyjmującymi wartości rzeczywiste Inne klasyfikacje sygnałów (cd) Ze względu na rodzaj modelu matematycznego sygnały mogą być Rzeczywiste – opisane funkcjami przyjmującymi wartości rzeczywiste Zespolone Dystrybucyjne – opisane wielkościami niefunkcyjnymi =dystrybucjami 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Inne klasyfikacje sygnałów: Ze względu na determinizm Determinstyczne – jeśli w każdej chwili potrafimy przewidzieć wartość sygnału i opisać go w sposób jednoznaczny (formułą, wykresem, tablicą wartości) Niedeterministyczne (losowe, stochastyczne) Czas trwania: Skończone Nieskończone Okresowe i nieokresowe Ze względu na moc i energię 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Sygnał ciągły z czasem ciągłym Sygnał analogowy Sygnał ciągły z czasem ciągłym 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Sygnał o wartościach dyskretnych z czasem ciągłym (po kwantyzacji) Sygnał analogowy Sygnał o wartościach dyskretnych z czasem ciągłym (po kwantyzacji) 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Przykłady sygnałów cd Sygnał o wartościach ciągłych (ciągły) z czasem dyskretnym (po dyskretyzacji) 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Przykłady sygnałów cd Sygnał o wartościach dyskretnych) z czasem dyskretnym (po kwantyzacji i dyskretyzacji) => cyfrowy 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Dyskretyzacja sygnału Polega na pobraniu z sygnału ciągłego x(t) jego „próbek” w wybranych, najczęściej równoodległych, chwilach (próbkowanie) 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Kwantyzacja sygnału Sprowadza zbiór wartości sygnału x(t) [najczęściej nieskończony zbiór liczb rzeczywistych] do jego skończonego podzbioru. Wynika z konieczności stosowania przetwornika A/C przed komputerem oraz z ograniczonej liczby bitów do przechowywania liczb. 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Charakterystyki przykładowych kwantyzatorów sygnału analogowego Idealny Nieidealny (nieliniowość i histereza) 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

„Cyfryzacja” sygnału Sprowadza zbiór wartości sygnału x(t) [najczęściej nieskończony zbiór liczb rzeczywistych] do jego skończonego podzbioru, ale jedynie w wybranych chwilach. Sygnał cyfrowy = sygnał dyskretny w czasie i skwantowany „w wartości” 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Przetworniki analogowo-cyfrowe Zmieniają wejściowe napięcie analogowe na odpowiadającą mu liczbę całkowitą ze znakiem, zapisaną na określonej liczbie bitów w wybranym formacie (najczęściej w kodzie uzupełnieniowym do dwóch). Liczba ta to inaczej numer przedziału kwantowania, do którego należy aktualna wartość napięcia wejściowego . 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

sygnału przyjmuje dla czasu –t wartości Odbicie zwierciadlane sygnału Sygnał odbity , otrzymany jako odbicie zwierciadlane sygnału przyjmuje dla czasu –t wartości sygnału oryginalnego w chwilach t. Sygnał x(t) oraz jego odbicie x(-t) 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Odbicie zwierciadlane sygnału dyskretnego Sygnał dyskretny i jego odbicie 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Przesunięcie sygnału sygnał x(t) oraz sygnał przesunięty x(t-to) 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Okresowość sygnałów Sygnał ciągły x(t) nazywany jest sygnałem okresowym jeżeli istnieje taki przedział czasu T, że: dla każdego t Sygnał dyskretny x(n) nazywany jest sygnałem okresowym jeżeli istnieje taka liczba N, że: 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

· A - amplituda , -pulsacja, częstotliwość kątowa Sygnał sinusoidalny · A - amplituda , -pulsacja, częstotliwość kątowa ·       T – okres związany z kątem Postać ogólna sygnału sinusoidalnego: 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ  nosi nazwę fazy.

Dyskretny sygnał sinusoidalny: uzyskany poprzez próbkowanie sygnału ciągłego: z przedziałem próbkowania TS. 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Dyskretny sygnał sinusoidalny (cd) gdzie fS jest częstotliwością próbkowania, k jest liczbą całkowitą 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Efekt ALIASINGU (niejednoznaczności) Efekt aliasingu dla k=1 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Skok jednostkowy 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Skok jednostkowy function y=unit(x) % przykladowa implementacja Implementacja w MATLABIE Funkcja wbudowana function y=unit(x) % przykladowa implementacja y=((x==0)*0.5)+(x>0) return heaviside Step function=skok jednostkowy HEAVISIDE(X) i 0 dlar X < 0, 1 oraz X > 0, and .5 for X == 0. 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Skok jednostkowy – wykres w MATLABIE Definicja przedziału czasu i rozdzielczość Definicja u(t) Własna wbudowana Drukuj wykres Uściślij osie t=-5:0.1:10; u=unit(t); u=heaviside(t); plot(t,u); ylim([-0.2 1.2]) 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Impuls Diraca dla dowolnego rzeczywistego a>0 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Impuls Diraca w MATLABIE Tekst z linii poleceń >> dirac=unit(t+0.1)-unit(t-0.1); >> plot(t,dirac);ylim([-0.2 1.2]);grid on 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Impuls prostokątny o polu: 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Dla 0, impuls prostokątny dąży impulsu Diraca: Związek między skokiem jednostkowym a impulsem Dirca: 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Dyskretny skok jednostkowy: 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Próbka jednostkowa, impuls jednostkowy, delta Kroneckera 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Związki między podstawowymi sygnałami dyskretnymi: 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Opis sygnału ciągłego Aproksymacja w przedziale: funkcją schodkową składającą się z prostokątów o wysokościach x(tk) i szerokości : 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

k-ty prostokąt opisany jest zależnością: Rysunek przesuniętego prostokąta 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Aproksymacja: Dla aproksymacja schodkowa dąży do oryginalnej funkcji ciągłej a suma staje się całką: 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Dla A dla t>0 Uwzględniając, że dla 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Opis sygnałów dyskretnych 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Uogólnienie . 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Klasyfikacja systemów System jest matematycznym odwzorowaniem przekształcającym sygnał wejściowy w wyjściowy. Fizycznie: zbiór połączonych wzajemnie elementów realizujących transformację sygnału wejściowego w wyjściowy. SYSTEM ANALOGOWY f(*) SYSTEM DYSKRETNY f(*) 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

DEFINICJA LINIOWOŚCI ADDYTYWNOŚĆ system jest addytywny, jeśli odpowiedź na sumę sygnałów wejściowych równa jest sumie odpowiedzi na każdy z sygnałów wejściowych działających osobno. DLA SYSTEMÓW CIĄGŁYCH: DLA SYSTEMÓW DYSKRETNYCH: 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

JEDNORODNOŚĆ jeżeli pomnożenie sygnału wejściowego przez stałą dowolną implikuje pomnożenie sygnału wyjściowego przez tę samą stałą. System addytywny i jednorodny (homogeniczny) jest liniowy. 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Liniowość (w wersji praktycznej): system jest liniowy, jeśli odpowiedź na kombinację liniową sygnałów wejściowych równa jest kombinacji liniowej odpowiedzi na każdy z sygnałów wejściowych działających osobno. DLA SYSTEMÓW CIĄGŁYCH: DLA SYSTEMÓW DYSKRETNYCH: 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

DEFINICJA STACJONARNOŚCI system jest STACJONARNY (niezmienny w czasie), jeśli sygnał wejściowy przesunięty w czasie powoduje powstanie przesuniętego w czasie sygnału dla każdej chwili t i dowolnej wartości d Inaczej: w systemach niezmiennych w czasie przesunięcie w czasie sygnału wejściowego powoduje analogiczne przesunięcie w czasie odpowiedzi systemu. 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Inercyjność (bezinercyjność) systemów: Uwaga1: System liniowy i stacjonarny jest systemem LTI (lub inaczej LSI) Uwaga2: Analogicznie jak dla systemów ciągłych definiuje się stacjonarność systemów dyskretnych Inercyjność (bezinercyjność) systemów: Ciągły w czasie system nazywamy bezinercyjnym (nieinercyjnym) jeśli sygnał wyjściowy w dowolnej chwili t zależy od wartości sygnału wejściowego w tej samej chwili t. W przeciwnym wypadku (jeśli sygnał wyjściowy w dowolnej chwili t zależy od wartości sygnału wejściowego w innych niż t chwilach), system jest INERCYJNY. Analogicznie definiuje się inercyjność systemów dyskretnych, wprowadzając zamiast chwili t próbkę n 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Przyczynowość systemów: Ciągły w czasie system nazywamy przyczynowym, jeżeli odpowiedź w danej chwili to zależy jedynie od wartości sygnału wejściowego w chwilach t<=to. System dyskretny nazywamy przyczynowym, jeżeli odpowiedź w danej próbce czasowej no zależy jedynie od wartości sygnału wejściowego w próbkach n<=no. 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Przykład 1: Dany jest system ciągły (analogowy) opisany zależnością: dokonać klasyfikacji systemu (liniowość, stacjonarność, inercyjność, przyczynowość) Rozwiązanie: Oznaczmy: 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

czyli: Wyznaczmy odpowiedź systemu na kombinację liniową sygnałów x1 oraz x2: i porównajmy z kombinacją liniową odpowiedzi: Łatwo wykazać, że System nieliniowy!!!! 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Oznaczmy odpowiedź układu na przesunięty o d sygnał : ‘Przesunięta’ odpowiedź układu jest natomiast postaci: WNIOSEK System nie jest stacjonarny. Jest natomiast przyczynowy (to wynika z opisu), oraz bezinercyjny bowiem wartość y(t) zależy jedynie od wartości x(t) w bieżącej chwili. 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Przykłady systemów: Ciągły, liniowy, stacjonarny, inercyjny, przyczynowy: Dyskretny liniowy, stacjonarny ale nie będący przyczynowym: 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Stabilność Cel: określenie jaki system generuje skończoną odpowiedź na dowolny ograniczony sygnał wejściowy. Rozpatrujemy system analogowy o sygnale wejściowym x(t) i wyjściowym y(t). System jest stabilny, jeżeli dla dowolnego ograniczonego sygnału wejściowego x(t) takiego że: 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

generowany jest ograniczony sygnał wyjściowy y(t) taki, że: BIBO Stabilność generowany jest ograniczony sygnał wyjściowy y(t) taki, że: gdzie Kx i Ky są dowolnymi stałymi dodatnimi. BIBO stabilność: stabilność ograniczonego wejścia-wyjścia 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

BIBO Stabilność - Przykład Równanie systemu: Sygnał wejściowy ograniczony: Wniosek: system BIBO niestabilny 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Splot ciągły (analogowy) Jest to matematyczna operacja, która przeprowadzona na dwóch funkcjach generuje trzecią: 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Splot dyskretny Zastosowanie: W układach LTI splot pozwala wyznaczyć odpowiedź układu y(t) na dowolne wymuszenie x(t) jeśli znana jest odpowiedź h(t) tegoż układu na wymuszenie sygnałem impulsowym Wówczas: 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Zastosowanie plotu W układach LTI splot pozwala wyznaczyć odpowiedź układu y(t) na dowolne wymuszenie x(t) jeśli znana jest odpowiedź h(t) tegoż układu na wymuszenie sygnałem impulsowym Wówczas: 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Graficzna interpretacja splotu ETAPY KONSTRUKCJI: Odbijanie zwierciadlane Przesuwanie Mnożenie Sumowanie (całkowanie) Przykład : Dane są funkcje: Zakładając, że Wyznaczmy splot: 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

0.5 0.5 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Funkcja odbita względem osi 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Utworzenie funkcji dla ustalonej wartości t=3 1 0.5 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

mnożenie funkcji dla ustalonej wartości t=3 Obliczanie pola 1 0.5 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Jeśli powtórzymy tę operację dla dostatecznie dużej liczby punktów osi czasu to wykreślimy krzywą przybliżoną f(t): 1 0.5 1 1 0.5 0.5 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

1 1 0.5 0.5 1 1 0.5 0.5 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

1 1 0.5 0.5 1 1 0.5 0.5 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Wykres funkcji splotowej t 1 2 3 4 5 f(t) 0.5 1.375 1.5 1 2 3 4 5 f(t) 0.5 1.375 1.5 2 1 1 2 3 4 5 t 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Obliczenia przybliżone   Tablica wyników to=1 k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 tk 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 f1(tk) f2(to-tk) f1(tk)f2(to-tk) Sumując ostatni wiersz pomnożony przez otrzymujemy  jeśli przyjmiemy 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Analitycznie: 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

1 0.5 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Przykład splotu dyskretnego: 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Odbicie: Przesunięcie o pewną ustaloną wartość n, np.:. 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Mnożenie dla n=1: 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Wykres funkcji splotowej n 1 2 3 4 5 f(n) 6 Sumowanie dla n=1: Wykres funkcji splotowej n 1 2 3 4 5 f(n) 6 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

%oblicz minimalna dlugosc wektora czasu dyskretnego x1=[1 2 3 4]; x2=[1 1 1 ]; %oblicz minimalna dlugosc wektora czasu dyskretnego len=length(x1)+length(x2); %wektor dlugosci sygna?ów ograniczonych minlen=len-1; dt=0:minlen-1; % skala dyskretnego czasu % aby ?atwiej rysowa? i liczy? dope?nij wektory zerami x11=zeros(1,minlen-length(x1)); x1=[x1 x11]; x22=zeros(1,minlen-length(x2)); x2=[x2 x22]; y=zeros(1,minlen); for n=1:minlen %petla zewnetrzna for k=1:n % pętla wewn?trzna y(n)=y(n)+x1(k)*x2(n-k+1); end %stem(dt,y) subplot(4,1,1); stem(dt,x1) title('Sygna? pierwszy') subplot(4,1,2); stem(dt,x2) title('Sygna? drugi') subplot(4,1,3:4); stem(dt,y); grid on title('Splot sygna?ów') 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Efekt działania procedury 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Przykład operacji na sygnale Wykorzystując sygnał x(t) z Rys.1 naszkicuj następujące sygnały: a) -x(t-3), b)2x(1-t). Rys.1 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Rozwiązanie a) Fig.1.3 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

Rozwiązanie b) 2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ

2017-04-24 PTS 2015/16 PŁ