Kwaterniony jako nośniki obrotu Piotr Orzechowski aero@priv.ckp.pl
Poszukiwania uniwersalnego sposobu na reprezentację obrotów w 3D … „ … uogólnienie liczb zespolonych ? ” Sir William Rowan Hamilton
Notacja macierzowa kwaternionu czyli :
Definiujemy macierze i, j, k : Ponadto dla dowolnej liczby rzeczywistej r :
Notacja kwaternionu przy pomocy pary : liczby rzeczywistej i trójwymiarowego wektora współczynników części urojonej czyli
Liczby urojone i, j, k :
Osiowo-kątowa reprezentacja obrotu Każda seria obrotów może być opisana przez pojedynczy obrót wokół osi. Kwaternion = kąt + oś obrotu (!) … reprezentuje obrót, gdy : =
Odwrotność kwaternionu W przypadku jednostkowych kwaternionów reprezentujących obrót osiowo-kątowy : Poprzez negację wektora v zmieniamy zwrot osi obrotu n, co powoduje odwrócenie kierunku obrotu, który uważamy za ‘dodatni’.
Mnożenie Główne własności mnożenia :
Obrót wektora w R3 * Punkt a o współrzędnych (x, y, z) p = [ 0 (x, y, z) ] * q = Kwaterniony - są nośnikami obrotu! :D
Kwaterniony w grafice komputerowej Główne zalety : Prosta modyfikacja i szybkie łączenie obrotów Szybka inwersja obrotów Unikanie kosztownych normalizacji Tylko cztery liczby (małe zużycie pamięci) Płynna konwersja z/do macierzy obrotu Płynna interpolacja obrotów