Kwaterniony jako nośniki obrotu Piotr Orzechowski aero@priv.ckp.pl.

Slides:



Advertisements
Podobne prezentacje
Modele oświetlenia Punktowe źródła światła Inne
Advertisements

Teoria maszyn i części maszyn
Funkcja liniowa, jej wykres i własności
Ruch i jego parametry Mechanika – prawa ruchu ciał
mgr inż. Ryszard Chybicki Zespół Szkół Ponadgimnazjalnych
Kinematyka punktu materialnego
Temat: Ruch jednostajny
przekształcanie wykresów funkcji
WOKÓŁ NAS.
Przekształcenia afiniczne
Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu
CZWOROKĄTY Patryk Madej Ia Rad Bahar Ia.
Ruch i jego parametry Mechanika – prawa ruchu ciał
Liczby wokół nas A. Cedzidło.
WYKŁAD 11 FUNKCJE FALOWE ELEKTRONU W ATOMIE WODORU Z UWZGLĘDNIENIEM SPINU; SKŁADANIE MOMENTÓW PĘDU.
Liczby zespolone Niekiedy równanie nie posiada rozwiązania w dziedzinie liczb rzeczywistych: wprowadźmy jednak pewną dziwaczną liczbę (liczbę urojoną „i”)
Wykład 1 dr hab. Ewa Popko
Wykład 2 Pole skalarne i wektorowe
Podstawy rachunku macierzowego
Podstawy krystalografii
Rzutowanie 3D  2D Rzutowanie planarne Rzut równoległe
Te figury nie są symetryczne względem pewnej prostej
Obiekt bryła obrotowa (ang lathe = „tokarka”)
Liczby zespolone z = a + bi.
Wykresy funkcji jednej i dwóch zmiennych
Temat: Symulacje komputerowe lotu helikoptera w języku Java
Temat: Symulacje komputerowe lotu helikoptera w języku Java
Matematyka.
KINEMATYKA MANIPULATORÓW I ROBOTÓW
MECHANIKA NIEBA WYKŁAD r.
Opis matematyczny elementów i układów liniowych
Współrzędne jednorodne
Współrzędne jednorodne
Dodatkowe własności funkcji B-sklejanych zawężenie f do K Rozważmy funkcjeIch zawężenia do dowolnego przedziałutworzą układ wielomianów. Dla i=k ten układ.
Podstawowe elementy liniowe
Jednostka modułowa 311[07]O1 Jm. 4/1
Wektory SW Department of Physics, Opole University of Technology.
Rzut stereograficzny Spinory Cartana
Kinematyka prosta.
Funkcja liniowa Wykonała: Dżesika Budzińska kl. II A.
Obliczenia optyczne (wykład)
Pole magnetyczne od jednego zezwoju
Funkcja liniowa ©M.
Zasady przywiązywania układów współrzędnych do członów.
Wytrzymałość materiałów Wykład nr 2
Przekształcenia liniowe
ANALIZA KINEMATYCZNA MANIPULATORÓW ROBOTÓW METODĄ MACIERZOWĄ
Politechnika Rzeszowska
FUNKCJE Opracował: Karol Kara.
RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ
dr hab. inż. Monika Lewandowska
FUNKCJE Pojęcie funkcji
RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY
Grafika i komunikacja człowieka z komputerem
Fizyka z astronomią technikum
Grafika i komunikacja człowieka z komputerem
UKŁAD RÓWNAŃ LINIOWYCH INTERPRETACJA GRAFICZNA
Grafika i komunikacja człowieka z komputerem
Treści multimedialne - kodowanie, przetwarzanie, prezentacja Odtwarzanie treści multimedialnych Andrzej Majkowski 1 informatyka +
Trochę algebry liniowej.
WYKŁAD 8 FALE ELEKTROMAGNETYCZNE W OŚRODKU JEDNORODNYM I ANIZOTROPOWYM
Matematyka Ekonomia, sem I i II.
WYKŁAD 5 OPTYKA FALOWA OSCYLACJE I FALE
Grafika komputerowa.
Grafika 2d - Podstawy. Kontakt Daniel Sadowski FTP: draver/GRK - wyklady.
KULA KULA JEST TO ZBIÓR PUNKTÓW W PRZESTRZENI, KTÓRYCH ODLEGŁOŚĆ OD JEJ ŚRODKA JEST MNIEJSZA LUB RÓWNA PROMIENIOWI.
Dynamika bryły sztywnej
Symulacje komputerowe
Symulacje komputerowe
Algebra WYKŁAD 4 ALGEBRA.
Zapis prezentacji:

Kwaterniony jako nośniki obrotu Piotr Orzechowski aero@priv.ckp.pl

Poszukiwania uniwersalnego sposobu na reprezentację obrotów w 3D … „ … uogólnienie liczb zespolonych ? ” Sir William Rowan Hamilton

Notacja macierzowa kwaternionu czyli :

Definiujemy macierze i, j, k : Ponadto dla dowolnej liczby rzeczywistej r :

Notacja kwaternionu przy pomocy pary : liczby rzeczywistej i trójwymiarowego wektora współczynników części urojonej czyli

Liczby urojone i, j, k :

Osiowo-kątowa reprezentacja obrotu Każda seria obrotów może być opisana przez pojedynczy obrót wokół osi. Kwaternion = kąt + oś obrotu (!) … reprezentuje obrót, gdy : =

Odwrotność kwaternionu W przypadku jednostkowych kwaternionów reprezentujących obrót osiowo-kątowy : Poprzez negację wektora v zmieniamy zwrot osi obrotu n, co powoduje odwrócenie kierunku obrotu, który uważamy za ‘dodatni’.

Mnożenie Główne własności mnożenia :

Obrót wektora w R3 * Punkt a o współrzędnych (x, y, z) p = [ 0 (x, y, z) ] * q = Kwaterniony - są nośnikami obrotu! :D

Kwaterniony w grafice komputerowej Główne zalety : Prosta modyfikacja i szybkie łączenie obrotów Szybka inwersja obrotów Unikanie kosztownych normalizacji Tylko cztery liczby (małe zużycie pamięci) Płynna konwersja z/do macierzy obrotu Płynna interpolacja obrotów