RÓWNANIA Wprowadzenie

Najstarszy egipski papirus, datowany na mniej więcej 2000 lat przed naszą erą dotyczy matematycznych rozważań niejakiego Ahmesa. Henry Rhind przywiózł go w roku 1858 z Egiptu do British Museum i stąd znany jest on powszechnie jako papirus Rhinda.

Papirus Rhinda Ahmes podaje w nim 84 ciekawe zadania matematyczne. W niektórych zadaniach niewiadomą oznacza się słowem aha (mnóstwo, stos)

Z wymienionego papirusu pochodzą takie zadania: 1. Suma pewnej wielkości i jej dwóch trzecich i jeszcze jej 1/7 wynosi 37. Jaka to liczba? 2. Aha i siódma część aha dają razem 19. Ile wynosi aha? Zadanie 2 można zapisać w następujący sposób: aha + = 19 aha 7 Po obliczeniu wiemy, że aha = 16,625

Równania służą do zapisywania i rozwiązywania wielu problemów. Równanie to dwa wyrażenia połączone znakiem równości. Równania służą do zapisywania i rozwiązywania wielu problemów.

X – 4 = 12 Jeżeli liczbę X pomniejszymy o 4 to otrzymamy 12 Możemy to zdanie zapisać przy pomocy równania w taki sposób: X – 4 = 12

X + 16 = 37 4 · X = 28 Zapisz podane zdania za pomocą równań: 1. Adam ma x płyt CD polskich wykonawców i 16 zagranicznych, razem ma 37 płyt. X + 16 = 37 2. Liczba 28 jest 4 razy większa od liczby x. 4 · X = 28

2 · X + 2 · ( X – 2 ) = 18 Zapisz podane zdanie za pomocą równania: 3. Obwód prostokąta ma 18 cm długości. Jeden bok jest o 2 cm krótszy od drugiego. a = X b = X – 2 b = X – 2 Obw = 2 · a + 2 · b a = X Ze wzoru na obwód prostokąta otrzymujemy równanie: 2 · X + 2 · ( X – 2 ) = 18 a b

Mówimy, że liczba spełnia równanie, gdy podstawiając ją w miejsce niewiadomej otrzymamy równość prawdziwą. Liczbę tę nazywamy pierwiastkiem równania.

2 · x + 3 = 15 Dane jest równanie: Liczba x = 6 jest pierwiastkiem tego równania, gdyż po wstawieniu w miejsce niewiadomej spełnia to równanie. Sprawdzenie: L = 2 · 6 + 3 = 12 + 3 = 15 P = 15 L = P

Przerysuj tabelkę. Sprawdź, czy wskazana liczba spełnia podane równanie. Zaznacz to w tabeli. TAK NIE X = – 4 – 2 · x = 8 X = 3 5 · x – 9 = 7 X = 1 3 · x + 12 = 16 – x

4 cegły i 2 kg waży tyle, ile 1 cegła i 8 kg. Ile waży 1 cegła? Przykład: 4 cegły i 2 kg waży tyle, ile 1 cegła i 8 kg. Ile waży 1 cegła? Oznaczmy przez x wagę 1 cegły. x x x x x Oto równanie: 4 · x + 2 = x + 8

Z obu szalek zdejmujemy po 1 odważniku, każdy po 2 kilogramy. Uwaga: W kolejnych krokach należy dążyć do tego, aby po jednej stronie znalazły się tylko niewiadome, a po drugiej tylko liczby. Z obu szalek zdejmujemy po 1 odważniku, każdy po 2 kilogramy. Po lewej stronie zostaną tylko 4 cegły. Po prawej: 1 cegła i 3 odważniki = 6 kg

Po zdjęciu z obu szalek po 1 odważniku, sytuację przedstawia rysunek i otrzymaliśmy równanie: 4 · x = x + 6 Czyli 4 cegły ważą tyle co 1 cegła i 6 kg Teraz z obu szalek zdejmujemy po 1 cegle.

3 · x = 6 Otrzymamy równanie: Po lewej stronie zostaną 3 cegły, po prawej 3 odważniki po 2 kg, czyli 6 kg Otrzymamy równanie: 3 · x = 6 czyli, 3 cegły ważą razem 6 kg.

x = 6 : 3 x = 2 kg mieliśmy 3 · x = 6 więc 1 cegła waży: Odp. Jedna cegła waży 2 kg.

Jakie działania można wykonywać rozwiązując równanie? Biorąc pod uwagę rysunki i tok rozumowania podczas obliczania wagi 1 cegły, można:

dołożyć coś jednakowego na obie szalki lub zdjąć coś jednakowego z obu szalek a waga będzie w równowadze czyli do obu stron równania można dodać lub od obu stron równania można odjąć tę samą liczbę, a równanie będzie równoważne danemu. Np. Od obu stron równania odejmujemy 2 4 · x + 2 = x + 8 – 2 4 · x + 2 – 2 = x + 8 – 2

4 · x = x + 6 4 · x – x = x + 6 – x 3 · x = 6 3 · x = 6 3 · x 6 3 3 Otrzymujemy: Od obu stron równania odejmujemy x 4 · x = x + 6 – x Redukujemy wyrazy –x i x 4 · x – x = x + 6 – x 3 · x = 6 A teraz można obie strony równania pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera, a równanie będzie równoważne danemu. Obie strony równania dzielimy przez 3 3 · x = 6 : 3 3 · x 6 = 3 3 x = 2

3 x – 4 = 8 – x + x 3 x – 4 + x = 8 – x + x 4 x – 4 = 8 + 4 Zadanie: Rozwiąż równanie 3 x – 4 = 8 – x Do obu stron równania dodajemy x + x Redukujemy niewiadome x po obu stronach 3 x – 4 + x = 8 – x + x Do obu stron równania dodajemy 4 4 x – 4 = 8 + 4 Redukujemy - 4 i 4 do zera 4 x – 4 + 4 = 8 + 4 4 x = 12 Obie strony równania dzielimy przez 4 : 4 4 · x 12 = 4 4 x = 3

Równania z jedną niewiadomą mogą mieć różną liczbę rozwiązań. Np. pierwiastkiem równania x + 2x = 3x jest dowolna liczba. Jeśli wybierzesz dowolną, jakąkolwiek liczbę, okaże się, że spełnia ona to równanie. Takie równanie nazywamy tożsamościowym. Inne przykłady takich równań to: x = x 2 (x+1) + 1 = 2 x +3

Inny przykład: dane jest równanie x = x + 2. Nie znajdziesz liczby, która po podstawieniu spełniałaby tę równość. Takie równanie nazywamy sprzecznym. Innymi przykładami są: x+1=x+2 2 (x +1) = 2x

K O N I E C