Analiza stanu naprężenia

średnia gęstość sił wewnętrznych na powierzchni DF naprężenie w punkcie A : - funkcja wektorowa zbiór wektorów naprężenia w ustalonym punkcie przy dowolnej płaszczyźnie przekroju

STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE wybieramy 3 szczególne płaszczyzny przekroju - prostopadłe do osi układu współrzędnych 11, 22, 33 - naprężenia normalne, pozostałe to naprężenia styczne

KONWENCJA ZNAKOWANIA NAPRĘŻEŃ naprężenie normalne jest dodatnie, jeżeli jest zgodnie skierowane z normalną zewnętrzną płaszczyzny

KONWENCJA ZNAKOWANIA NAPRĘŻEŃ naprężenie styczne jest dodatnie, jeżeli: 1) normalna zewnętrzna płaszczyzny jest zgodnie skierowana z osią układu, do której jest ona równoległa 2) naprężenie styczne jest zgodnie skierowane z osią układu, do której jest ono równoległe, lub gdy oba warunki są jednocześnie niespełnione.

Transformacja tensora naprężenia x’2 x’1 x’3 x2 x1 x3 e’1 e’2 e’3 e2 e1 e3 Prawo transformacji tensorów drugiego rzędu

Macierz przejścia Pierwszy wiersz x3 x’3 x’2 e3 e’2 e’3 x2 e2 e1 e’1

Naprężenia główne Poszukujemy takiej płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt, aby odpowiadający jej wektor naprężenia miał taki sam kierunek jak wersor normalny płaszczyzny. warunek kolinearności zagadnienie wartości i wektorów własnych

Zagadnienie wartości i wektorów własnych

Zagadnienie wartości i wektorów własnych

Zagadnienie wartości i wektorów własnych Jest to układ jednorodny Równanie charakterystyczne

Zagadnienie wartości i wektorów własnych Równanie charakterystyczne Niezmienniki

Zagadnienie wartości i wektorów własnych równanie charakterystyczne ma zawsze 3 pierwiastki rzeczywiste, które można uporządkować s1 > s2 > s3 W układzie własnym naprężenia normalne (wartości własne) przyjmują wartości ekstremalne. Nazywać je będziemy naprężeniami głównymi każdej z wartości głównych odpowiada płaszczyzna główna, określona wersorem normalnym

Zagadnienie wartości i wektorów własnych wersory określające płaszczyzny główne są ortonormalne, tzn. dla dowolnego tensora naprężenia zawsze istnieją 3 wzajemnie prostopadłe naprężenia i kierunki (płaszczyzny) główne.

Płaski stan naprężenia stan naprężenia, dla którego wszystkie składowe leżą w jednej płaszczyźnie, np. (x1, x2). x1 x2 11 22 12 21 macierz przejścia

Płaski stan naprężenia naprężenia główne Kierunki naprężeń głównych

EKSTREMALNE NAPRĘŻENIA STYCZNE Problem : W punkcie A znany jest tensor naprężenia w osiach głównych. Jaką płaszczyzną należy przekroić ciało w pkt. A, aby miara rzutu wektora naprężenia odpowiadającego tej płaszczyźnie na nią samą była maksymalna? wektor naprężenia wersor normalny  - miara rzutu wektora naprężenia na normalną  - miara rzutu wektora naprężenia

EKSTREMALNE NAPRĘŻENIA STYCZNE

EKSTREMALNE NAPRĘŻENIA STYCZNE + warunek Zadanie sprowadza się do znalezienia ekstremum funkcji z warunkiem pobocznym

EKSTREMALNE NAPRĘŻENIA STYCZNE warunki konieczne istnienia ekstremum Naprężenia styczne osiągają swoje ekstrema na płaszczyznach nachylonych pod kątem 45º do płaszczyzn głównych