Ostyganie sześcianu Współrzędne kartezjańskie – rozdzielenie zmiennych Piotr Ciszewski WFiIS 26.01.2009

1 2 3 4 5 6 7 Plan prezentacji Przedstawienie problemu Równanie przewodnictwa Warunki brzegowe Rozwiązanie równania przewodnictwa Szereg Fouriera przypomnienie Wyliczenie stałej V Czas ostygania 1 2 3 4 5 6 7

Przedstawienie problemu 1 Mamy sześcian o długości boku l: W chwili t=0 podgrzewamy go do pewnej temperatury i obserwujemy proces jego schładzania. Aby przeanalizować ten proces należy rozwiązać równanie przewodnictwa cieplnego. l l l

Równanie przewodnictwa 2 Ogólny zapis równania przewodnictwa: Zakładamy że nasza funkcja u jest funkcją położenia i czasu u(x,y,z,t) , a współczynnik zależy od wewnętrznej struktury, pojemności cieplnej, kształtu oraz fizycznej wielkości układu:

Zakładamy warunki brzegowe: 3 Zakładamy warunki brzegowe: Na ściankach w trakcie ostygania temperatura jest równa 0. W chwili t = 0 temperatura sześcianu wynosi T0

Rozwiązanie równania przewodnictwa 4 . Funkcja u zależy od położenia i od czasu, więc dokonujemy separacji zmiennych: Po podstawieniu do równania przewodnictwa otrzymujemy: i przyrównujemy do

Rozwiązanie równania przewodnictwa 4 . Przyjmujemy, że: Więc : Z powyższych warunków możemy zapisać równania różniczkowe:

Rozwiązanie równania przewodnictwa 4 . Po rozwiązaniu otrzymujemy funkcje: Gdzie to stałe. Korzystając z warunków początkowych podanych wcześniej wyliczamy wartości parametrów .

Rozwiązanie równania przewodnictwa 4 . Dla funkcji A(x) obliczamy parametr w następujący sposób: Stąd ostatecznie:

Rozwiązanie równania przewodnictwa 4 . Analogicznie wyliczamy parametry dla funkcji B(y) i C(z) i otrzymujemy: Teraz funkcje A(x) B(y) C(z) przyjmują postać:

Rozwiązanie równania przewodnictwa 4 . Postać szczególna rozwiązania równania przewodnictwa: Postać ogólna rozwiązania równania przewodnictwa:

Szereg Fouriera przypomnienie 5 . Szereg Fouriera przypomnienie:

Wyliczenie stałej V 6 . Teraz wyliczymy współczynnik V stosując wzór na szereg Fouriera oraz korzystając z warunków początkowych. Wiemy że: Więc:

Podstawiając wyliczone wcześniej wartości na Czas ostygania 7 . Sześcian ostyga najwolniej gdy wykładnik funkcji eksponencjalnej jest najmniejszy: Pamiętamy, że : Podstawiając wyliczone wcześniej wartości na

Wartość λ jest minimalna gdy: Czas ostygania 7 . Wartość λ jest minimalna gdy: wtedy

. . Dziękuję