Wojciech Baszczyk Dominique Jullier Michał Liszcz Jakub Nowosiński Kwadratury Gaussa Wojciech Baszczyk Dominique Jullier Michał Liszcz Jakub Nowosiński

Plan Kwadratury Słownictwo Kwadratury Gaussa Podstawowe twierdzenia Kwadratura Gausa-Legende’a Kwadratura Gaussa-Czebyszewa Kwadratura Gaussa-Laguerre’a Kwadratura Gaussa-Hermite’a

Kwadratura Całkowanie numeryczne 𝐹: 𝑎,𝑏 →ℝ 𝑎 𝑏 𝐹 𝑥 𝑑𝑥 𝐹 𝑥 =𝑝 𝑥 ⋅𝑓(𝑥) 𝐹: 𝑎,𝑏 →ℝ 𝑎 𝑏 𝐹 𝑥 𝑑𝑥 𝐹 𝑥 =𝑝 𝑥 ⋅𝑓(𝑥) 𝑝(𝑥) – funkcja wagowa, 𝑝 𝑥 ≥0 𝑓(𝑥) – nowa funkcja gładka 𝑎 𝑏 𝐹 𝑥 𝑑𝑥= 𝑎 𝑏 𝑝 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈ 𝑎 𝑏 𝑝 𝑥 𝜑 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘=0 𝑁 𝐴 𝑘 𝑓( 𝑥 𝑘 ) 𝐴 𝑘 = 𝑎 𝑏 𝑝 𝑥 𝜙 𝑘 𝑥 𝑑𝑥

kwadratura jest rzędu 𝑟 ⇔∀ 𝑊∈ℝ 𝑥 𝑟−1 : 𝐸 𝑊 =0 Węzły kwadratury: 𝑥 1 , 𝑥 2 , … 𝑥 𝑁 𝑥 𝑖 ∈[𝑎,𝑏] Szukana całka: 𝐼 𝑓 = 𝑎 𝑏 𝑝 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Kwadratura: 𝑆 𝑓 = 𝑘=0 𝑁 𝐴 𝑘 𝑓( 𝑥 𝑘 ) Błąd kwadratury: 𝐸 𝑓 =𝐼 𝑓 −𝑆(𝑓) Rząd kwadratury: kwadratura jest rzędu 𝑟 ⇔∀ 𝑊∈ℝ 𝑥 𝑟−1 : 𝐸 𝑊 =0

Wielomiany ortogonalne 𝑝:[𝑎,𝑏]→ℝ 𝑝 𝑥 ≥0 ∀ 𝑥∈[𝑎,𝑏] 𝑝 całkowalna na [𝑎,𝑏] 𝑓∈ℝ[𝑥] 𝑔∈ℝ[𝑥] Iloczyn skalarny z wagą 𝑝: 𝑓 𝑥 ,𝑔 𝑥 𝑝 = 𝑎 𝑏 𝑝 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 Wielomiany ortogonalne: 𝑓, 𝑔 ortogonalne ⇔ 𝑓,𝑔 𝑝 =0

Kwadratura Gaussa 𝑆 𝑓 = 𝑘=0 𝑁 𝐴 𝑘 𝑓( 𝑥 𝑘 ) Dane: Szukane: 𝑆 𝑓 = 𝑘=0 𝑁 𝐴 𝑘 𝑓( 𝑥 𝑘 ) Dane: Funkcja wagowa Liczba węzłów Szukane: Położenia węzłów Współczynniki 𝐴 𝑘 Maksymalizacja rzędu kwadratury

Twierdzenia TW. 1 Wielomian ortogonalny w [𝑎,𝑏] posiada tylko jednokrotne pierwiastki rzeczywiste, wszystkie leżące w tym przedziale TW. 2 Jeśli węzły 𝑥 0 , 𝑥 1 , …, 𝑥 𝑁 są zerami (N+1)-szego wielomianu ortogonalnego w [𝑎,𝑏], to kwadratura 𝑘=0 𝑁 𝐴 𝑘 𝑓( 𝑥 𝑘 ) jest dokładna dla każdego wielomianu 𝑊∈ℝ 𝑥 2𝑁+1 Wniosek: kwadratura jest rzędu 2𝑁+2=2(𝑁+1) Nie istnieje kwadratura Gaussa rzędu wyższego niż 2(𝑁+1) TW. 3 Wszystkie współczynniki 𝐴 𝑘 w kwadraturach Gaussa są dodatnie

Kwadratura Gaussa – Legendre’a

Kwadratura Gaussa – Legendre’a Wielomiany Legendre`a zależność rekurencyjna ortogonalność z wagą p(x)=1 na przedziale (a,b)=[-1,1]

Kwadratura Gaussa – Legendre’a Otrzymywanie wzór Rodriguesa współczynniki w rozwinięciu w szereg Maclaurina funkcji G(x,t) postaci: odpowiednie równania różniczkowe

Kwadratura Gaussa – Legendre’a

Kwadratura Gaussa – Legendre’a Po wyliczeniu wzór na współczynniki oraz błąd wynoszą odpowiednio;

Kwadratura Gaussa – Legendre’a Przykład;

Kwadratura Gaussa-Czebyszewa Kwadratura dla przedziału : 𝑎,𝑏 = −1, 1 Funkcja wagowa: 𝑝 𝑥 = 1 1 −𝑥 2 Wielomiany Czebyszewa 𝑇 𝑛+1 𝑥 =2𝑥 𝑇 𝑛 𝑥 − 𝑇 𝑛−1 (𝑥) 𝑇 0 𝑥 =1 𝑇 1 𝑥 =𝑥 𝑇 𝑛 𝑥 = cos 𝑛 ∗ arccos 𝑥

Kwadratura Gaussa-Czebyszewa Wielomiany Czebyszewa: 𝑇 0 𝑥 =1 𝑇 1 𝑥 =𝑥 𝑇 2 𝑥 =2 𝑥 2 −1 𝑇 3 𝑥 =4 𝑥 3 −3𝑥 𝑇 4 𝑥 =8 𝑥 4 −8 𝑥 2 +1 𝑇 5 𝑥 =16 𝑥 5 −20 𝑥 3 +5𝑥 …

Kwadratura Gaussa-Czebyszewa −1 +1 1 1 −𝑥 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥≈𝑆 𝑓 = 𝑘=0 𝑁 𝐴 𝑘 𝑓( 𝑥 𝑘 ) 𝑇 𝑁+1 𝑥 𝑘 =0, 𝑘=0,1,…, 𝑁 −1 +1 1 1 −𝑥 2 𝑇 𝑗 (𝑥) 𝑑𝑥= 𝑘=0 𝑁 𝐴 𝑘 𝑇 𝑗 ( 𝑥 𝑘 ) , 𝑗=0,1,…, 𝑁 𝑇 0 ( 𝑥 0 ) ⋯ 𝑇 0 ( 𝑥 𝑁 ) ⋮ ⋱ ⋮ 𝑇 𝑁 ( 𝑥 0 ) ⋯ 𝑇 𝑁 ( 𝑥 𝑁 ) ⋅ 𝐴 0 ⋮ 𝐴 𝑁 = −∞ +∞ 1 1 −𝑥 2 𝑇 0 𝑥 𝑑𝑥 ⋮ 0

Kwadratura Gaussa-Czebyszewa −1 +1 1 1 −𝑥 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥≈𝑆 𝑓 = 𝑘=0 𝑁 𝐴 𝑘 𝑓( 𝑥 𝑘 ) 𝐴 𝑘 = 𝜋 𝑁+1 𝑥 𝑘 =𝑐𝑜𝑠 2𝑘+1 𝜋 2𝑁+2

Kwadratura Gaussa-Czebyszewa Przykład zastosowania: −1 +1 1 1 −𝑥 2 𝑥 5 + 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑘=0 𝑁 𝐴 𝑘 ( 𝑥 𝑘 5 + 𝑥 𝑘 2 ) ≈1.5707963267

Kwadratura Gaussa-Laguerre'a Kwadratura dla przedziału a, b =[0, ∞) Funkcja wagowa: 𝑝 𝑥 = 𝑒 −𝑥 Wielomian Laguerre'a 𝐿 𝑛+1 (𝑥)= 1 𝑛+1 ( 2𝑛+1−𝑥 𝐿 𝑛 𝑥 −𝑛 𝐿 𝑛−1 𝑥 ) 𝐿 0 𝑥 =1 𝐿 1 𝑥 =1−𝑥 𝐿 𝑛 𝑥 = (−1) 𝑛 𝑒 𝑥 𝑑 𝑛 𝑑𝑥 𝑛 ( 𝑒 −𝑥 𝑥 𝑛 )

Kwadratura Gaussa-Laguerre'a 𝐿 0 𝑥 =1 𝐿 1 𝑥 =−𝑥+1 𝐿 2 𝑥 = 1 2 ( 𝑥 2 −4𝑥+2) 𝐿 3 𝑥 = 1 6 ( −𝑥 3 + 9𝑥 2 −18𝑥+6) …

Kwadratura Gaussa-Laguerre'a 0 +∞ 𝑒 −𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥≈𝑆 𝑓 = 𝑘=0 𝑁 𝐴 𝑘 𝑓( 𝑥 𝑘 ) 0 +∞ 𝑒 −𝑥 𝐿 𝑗 (𝑥) 𝑑𝑥= 𝑘=0 𝑁 𝐴 𝑘 𝐿 𝑗 ( 𝑥 𝑘 ) , 𝑗=0,1,…, 𝑁 𝐿 0 ( 𝑥 0 ) ⋯ 𝐿 0 ( 𝑥 𝑁 ) ⋮ ⋱ ⋮ 𝐿 𝑁 ( 𝑥 0 ) ⋯ 𝐿 𝑁 ( 𝑥 𝑁 ) ⋅ 𝐴 0 ⋮ 𝐴 𝑁 = 0 +∞ 𝑒 −𝑥 𝐿 0 𝑥 𝑑𝑥 ⋮ 0

Kwadratura Gaussa-Laguerre'a 0 +∞ 𝑒 −𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥≈𝑆 𝑓 = 𝑘=0 𝑁 𝐴 𝑘 𝑓( 𝑥 𝑘 ) 𝐴 𝑘 = ( 𝑁+1 !) 2 𝐿 𝑁+1 ′ 𝑥 𝑘 𝐿 𝑁+2 ( 𝑥 𝑘 ) 𝐸 𝑓 = ( 𝑁+1 !) 2 2𝑁+2 ! 𝑓 2𝑁+2 𝜂 , 𝜂∈(0,+∞)

Kwadratura Gaussa-Laguerre'a 𝑵 𝒙 𝒌 𝑨 𝒌 2 0.5857864376 0.8535533905 3.414213562 0.1464466094 3 0.4157745567 0.7110930099 2.294280360 0.2785177335 6.289945082 0.01038925650 4 0.3225476896 0.6031541043 1.745761101 0.3574186924 4.536620296 0.03888790851 9.395070912 0.0005392947055

Kwadratura Gaussa-Laguerre'a Przykład zastosowania: 0 +∞ 𝑒 −𝑥 3 𝑥 2 +4𝑥−2 𝑑𝑥 =8

Kwadratura Gaussa-Hermite’a Kwadratura dla przedziału nieskończonego : 𝑎,𝑏 = −∞, +∞ Funkcja wagowa: 𝑝 𝑥 = 𝑒 − 𝑥 2 Wielomiany Hermite’a 𝐻 𝑛+1 𝑥 =2𝑥 𝐻 𝑛 𝑥 −2𝑛 𝐻 𝑛−1 (𝑥) 𝐻 0 𝑥 =1 𝐻 1 𝑥 =2𝑥 𝐻 𝑛 𝑥 = −1 𝑛 𝑒 𝑥 2 𝑑 𝑛 𝑑 𝑥 𝑛 𝑒 − 𝑥 2

Kwadratura Gaussa-Hermite’a Wielomiany Hermite’a: 𝐻 0 𝑥 =1 𝐻 1 𝑥 =2𝑥 𝐻 2 𝑥 =4 𝑥 2 −2 𝐻 3 𝑥 =8 𝑥 3 −12𝑥 𝐻 4 𝑥 =16 𝑥 4 −48 𝑥 2 +12 𝐻 5 𝑥 =32 𝑥 5 −160 𝑥 3 +120𝑥 …

Kwadratura Gaussa-Hermite’a −∞ +∞ 𝑒 − 𝑥 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥≈𝑆 𝑓 = 𝑘=0 𝑁 𝐴 𝑘 𝑓( 𝑥 𝑘 ) 𝐻 𝑁+1 𝑥 𝑘 =0, 𝑘=0,1,…, 𝑁 −∞ +∞ 𝑒 − 𝑥 2 𝐻 𝑗 (𝑥) 𝑑𝑥= 𝑘=0 𝑁 𝐴 𝑘 𝐻 𝑗 ( 𝑥 𝑘 ) , 𝑗=0,1,…, 𝑁 𝐻 0 ( 𝑥 0 ) ⋯ 𝐻 0 ( 𝑥 𝑁 ) ⋮ ⋱ ⋮ 𝐻 𝑁 ( 𝑥 0 ) ⋯ 𝐻 𝑁 ( 𝑥 𝑁 ) ⋅ 𝐴 0 ⋮ 𝐴 𝑁 = −∞ +∞ 𝑒 − 𝑥 2 𝐻 0 𝑥 𝑑𝑥 ⋮ 0

Kwadratura Gaussa-Hermite’a −∞ +∞ 𝑒 − 𝑥 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥≈𝑆 𝑓 = 𝑘=0 𝑁 𝐴 𝑘 𝑓( 𝑥 𝑘 ) 𝐴 𝑘 = 2 𝑁+2 𝑁+1 ! 𝐻 𝑁+1 ′ 𝑥 𝑘 𝐻 𝑁+2 ( 𝑥 𝑘 ) =…= 2 𝑁 (𝑁+1)! 𝜋 (𝑁+1) 2 𝐻 𝑁 𝑥 𝑘 2 𝐸 𝑓 = 𝑁+1 ! 𝜋 2 𝑁+1 2𝑁+2 ! 𝑓 2𝑁+2 𝜂 , 𝜂∈(−∞,+∞)

Kwadratura Gaussa-Hermite’a 𝑵 𝒙 𝒌 𝑨 𝒌 2 ±0.7071067811 0.8862269254 3 ±1.224744871 0.2954089751 1.181635900 4 ±1.650680123 0.08131283544 ±0.5246476232 0.8049140900 7 ±2.651961356 0.0009717812450 ±1.673551628 0.05451558281 ±0.8162878828 0.4256072526 0.8102646175

Kwadratura Gaussa-Hermite’a Przykład zastosowania: −∞ +∞ 𝑒 − 𝑥 2 𝑥 5 + 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝜋 2 ≈0.886227

Koniec Dziękujemy za uwagę