Prognozowanie (finanse 2011) dr Grzegorz Szafrański pokój B106 Termin konsultacji piątki: parzysty , nieparzysty

Prognozowanie strukturalne Wykorzystanie faktu korelacji zmiennych: przyczynowejprzyczynowej (związek przyczynowo-skutkowy a jego stabilność), symptomatycznejsymptomatycznej (ukryty mechanizm, wspólne przyczyny różnych zjawisk i przybliżenie ich działania przez związaną z nimi zmienną tzw. aproksymantę jak np. przyczyny jednokierunkowo oddziałujące na zmienną w czasie – trend, wykazujące dostosowania do poziomu równowagi – modele AR, cykle – analiza spektralna), przypadkowejprzypadkowej – bezzasadne.

Budowa modelu Sformułuj problem ekonomiczny Zilustruj go danymi empirycznymi Podaj jego teoretyczne rozwiązanie (hipotezy, model ekonomiczny) Dobierz zmienne objaśniające Sprawdź teorię za pomocą modelu ekonometrycznego

Dwie typowe sytuacje Dobrze określona w literaturze teoria ekonomiczna i model Liczne badania potwierdzają teorię Problemy doboru zmiennych, wykorzystania dostępnych danych i krytycznego spojrzenia na wyniki Problem słabo rozpoznany na gruncie teoretycznym Brak potwierdzenia teorii lub nieliczne badania Problemy poprawnego opisu mechanizmu za pomocą podstawowych praw ekonomii

Weryfikacja modelu Budowa postaci modelu (liniowy, potęgowy, inny nieliniowy?) Estymacja modelu (wybór metody, MNK, MNW czy inna?) Weryfikacja ekonomiczna (czy zgodny z teorią?) Weryfikacja statystyczna (na ile zgodny z teorią?) Propozycje poprawy i wykorzystania modelu

Problem ekonomiczny Krótki opis problemu: Im większa produkcja tym wyższe koszty, ale rosną one coraz wolniej. Dlaczego? Odpowiedzi szukamy w teorii ekonomicznej: W produkcji występują koszty stałe (nie zależą od wielkości produkcji) i zmienne (zależne). Jak je wydzielić, gdy mamy dane: Y – koszt całkowity, w mln zł X – ilość produktów, w tys. szt.

Model ekonomiczny Formułujemy hipotezę ekonomiczną w postaciY zależy od X: Y = f(X) Zależność ta może mieć postać liniową Y= 0 1 X i to parametry modelu –Czy istnieje empiryczna zależność między X a Y? –Czy jest ona zgodna z hipotezą (np. czy 1 )?

Model ekonometryczny Przedstawiamy teorię ekonomiczną z dokładnością do zmiennej losowej t i badamy, czy zachodziła w pewnym okresie czasu: t = 1,...,T Sprawdzamy zależność stochastyczną: y t = 0 1 x t t E( t ) = 0, x t nielosowe, stąd E(y t ) = 0 1 x t D 2 ( t ) = E( t 2 )= E( t t-i ) = 0 Zwykle przyjmuje się również postać rozkładu zmiennej t ~ N(0, 2 )

Metoda najmniejszych kwadratów Estymacja – szacowanie nieznanych parametrów modelu na podstawie próby wg określonego kryterium Funkcja regresji II rodzaju – wartość teoretyczna: p t = b 0 b 1 x t To co zostaje to reszta: e t = y t – (b 0 b 1 x t Kryterium MNK: minimalizacja sumy kwadratów reszt SSQ dla różnych wartości ocen parametrów a 0, a 1 SSQ(b 0, b 1 ) = t e t 2 minimalizuj

Metoda regresji Próbujemy poznać nieznane parametry modelu y t = 0 1 x t t estymacjęPoprzez estymację: y t = b 0 b 1 x t e t EstymatorEstymator to przepis na b 0 i b 1 np. dla MNK taki: b 1 t [(x t x średnie ) (y t y średnie )]/ t (x t x średnie ) 2 b 0 y średnie b 1 x średnie

Zadanie Dokonaj estymacji modelu: Problemy dostępności danych Dane w pliku jedna_zmienna.xlsjedna_zmienna.xls y – koszty w mln złotych, x – ilość w tys. sztuk

Konwencja Model zwykle zapisujemy: próba: –

Model popytu (liniowy) Popyt na bilety do kina (Przykład 1 Funkcja popytu – paliwa (przykład 3 Maddala r. 4) WydatkiCena biletu Liczba wizyt OkresQPPQ = QP/P Stycze ń Luty 150 PLN 152 PLN 30 PLN 38 PLN 5454

MNK wiele zmiennych Model dla wielu zmiennych: Zapis macierzowy (przykład – macierze):,

MNK wiele zmiennych cd Po estymacji otrzymujemy: estymator wektora : Uzyskujemy go przez minimalizację wyrażenia:

Warunki stosowalności Równanie liniowe względem parametrów i zakłóceń np.: T > K (na ogół dużo większe) Kolumny X liniowo niezależne (wtedy X T X jest macierzą nieosobliwą)

Założenia estymatora KMNK 1.E( t ) =0 2.macierz wariancji-kowariancji D 2 ( t )= 2 I 3.Zmienne X są nielosowe (w powtarzanych próbach przyjmują ustalone wartości) Zwykle przyjmuje się również postać rozkładu zmiennej t ~ N(0, 2 I)

Własności estymatora KMNK zmienną losową, Estymator KMNK jest zmienną losową, gdyż jest funkcją zmiennych losowych Jeżeli spełnione są założeniań klasycznej MNK to: e t = 0 i prognozy są nieobciążone nieobciążony E(b i ) = β i i estymator jest nieobciążony efektywna Wariancja estymatora D 2 (b i jest najmniejsza (z liniowych estymatorów), metoda MNK jest efektywna zgodny Ponadto estymator jest zgodny, (potocznie) im dłuższa próba tym trafniejsza ocena estymatora.

MNK – prognoza Prognozę wyznaczamy na podstawie: Czyli oprócz K=k+1 ocen parametrów potrzebujemy K prognoz zmiennych objaśniających. Mówimy, że prognozy strukturalne są warunkowe ze względu na zmienne objaśniające Składnik resztowy przyjmujemy zgodnie z zasadą prognozy nieobiążonej jako równy 0, bo: E( t )=0 Zapis macierzowy: