III. Proste zagadnienia kwantowe Mechanika Kwantowa III. Proste zagadnienia kwantowe WYKŁAD 11 Orbitalny moment pędu

Plan wykładu operator orbitalnego momentu pędu we współrzędnych kartezjańskich, operator orbitalnego momentu pędu we współrzędnych sferycznych, operator kwadratu orbitalnego momentu pędu we współrzędnych sferycznych, wartości własne i funkcje własne powyższych operatorów, harmoniki sferyczne.

Operator orbitalnego momentu pędu W tym wykładzie będziemy korzystać z wyników otrzymanych dla ogólnego momentu pędu J (Wykład 10)

Operator orbitalnego momentu pędu Operator orbitalnego momentu pędu (omp) podstawowe informacje

Operator orbitalnego momentu pędu Wprowadzamy operator całkowitego momentu pędu zdefiniowany jako: oraz (niehermitowskie) operatory: - „podnoszący”: - „obniżający”:

Operator orbitalnego momentu pędu Podstawowe własności wprowadzonych operatorów

Operator orbitalnego momentu pędu Ponieważ operatory L2 i L3 komutują, więc mają wspólny zbiór wektorów własnych: gdzie: . Dodatkowo mamy:

Operator orbitalnego momentu pędu Elementy macierzowe

Operator orbitalnego momentu pędu Elementy macierzowe

Operator omp we współrzędnych kartezjańskich Składowe operatora omp (L) w reprezentacji położeniowej (współrzędne kartezjańskie):

Operator omp we współrzędnych sferycznych element objętości

Operator omp we współrzędnych sferycznych Operatory Li we współrzędnych sferycznych:

Operator omp we współrzędnych sferycznych Operatory L+ we współrzędnych sferycznych: Operator L2 we współrzędnych sferycznych:

Operator omp we współrzędnych sferycznych Wyniki pośrednie podczas obliczania L2:

Operator omp we współrzędnych sferycznych Wyniki pośrednie podczas obliczania L2:

Zagadnienie własne omp Wprowadzamy bazę za pomocą stanów kątowych: gdzie  jest kątem bryłowym. Warunek ortonormalności: Warunek zupełności:

Zagadnienie własne omp Ze względu na zależności: możemy napisać:

Zagadnienie własne omp Na podstawie powyższych równań widzimy, że można dokonać faktoryzacji funkcji własnych, tzn. skąd otrzymamy:

Zagadnienie własne omp Żądanie, aby liczba kwantowa m była liczbą całkowitą wynika z żądania niezmienniczości układu fizycznego przy obrotach o kąt 2. Z faktu, że m jest liczbą całkowitą wynika, że liczba kwantowa l też musi być liczbą całkowitą, ponieważ zmienia się od –l do l co jeden.

Harmoniki sferyczne Harmoniki sferyczne to funkcje własne orbitalnego momentu pędu w reprezentacji położeniowej Własności:

Konstrukcja harmonik sferycznych 1) 2) 3) Harmoniki sferyczne Konstrukcja harmonik sferycznych 1) 2) 3)

Harmoniki sferyczne Wyniki

Harmoniki sferyczne Kilka przykładów

Harmoniki sferyczne Kilka przykładów

Reprezentacja graficzna harmonik sferycznych Harmoniki sferyczne Reprezentacja graficzna harmonik sferycznych Kolor czerwony – część dodatnia funkcji harmonik, kolor zielony – część ujemna źródło - Wikipedia