Analiza matematyczna III. Funkcje Funkcje II – własności podstawowe WYKŁAD 5 Funkcje II – własności podstawowe Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012

Plan wykładu asymptoty funkcji; funkcje ciągłe i ich własności.

Asymptoty funkcji Prosta x=a jest asymptotą pionową lewostronną (prawostronną) funkcji f, jeśli: Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Asymptoty funkcji Prosta jest asymptotą pionową obustronną funkcji, jeżeli jest jednocześnie jej asymptotą lewostronną i prawostronną. Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Asymptoty funkcji Prosta y=A+x+B+ jest asymptotą ukośną funkcji f w , jeśli: Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Asymptoty funkcji Analogicznie definiujemy asymptotę ukośną y=A-x+B- w -. W przypadku, gdy współczynnik A jest równy 0, to asymptotę ukośną nazywamy asymptotą poziomą. Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Asymptoty funkcji Warunek istnienia asymptoty ukośnej: Prosta y=A+x+B+ jest asymptotą ukośną funkcji f w , wtedy i tylko wtedy, gdy:

Asymptoty funkcji Warunek istnienia asymptot poziomych: Prosta y=B+ jest asymptotą poziomą funkcji f w , wtedy i tylko wtedy, gdy:

Analogiczne warunki istnieją dla asymptot w -. Asymptoty funkcji Analogiczne warunki istnieją dla asymptot w -.

Funkcje ciągłe i ich własności Otoczenie punktu Otoczeniem o promieniu r>0 punktu x0R nazywamy zbiór: R x0 + r x0 - r x0 O(x0,r)

Funkcje ciągłe i ich własności Otoczenie punktu Otoczeniem lewostronnym o promieniu r>0 punktu x0R nazywamy zbiór: Otoczeniem prawostronnym o promieniu r>0 punktu x0R nazywamy zbiór:

Funkcje ciągłe i ich własności Niech x0R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x0). Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy: Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Funkcje ciągłe i ich własności Analogicznie definiujemy funkcję lewostronnie i prawostronnie ciągłą w punkcie, tj.:

Funkcje ciągłe i ich własności Funkcja jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie ciągła lewostronnie i prawostronnie.

Nieciągłość funkcji Nieciągłość funkcji Niech x0R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x0). Funkcja f jest nieciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje granica albo Nieciągłość funkcji badamy wyłącznie w punktach należących do jej dziedziny.

Nieciągłość funkcji Nieciągłość pierwszego rodzaju Funkcja f ma w punkcie x0 nieciągłość pierwszego rodzaju, jeżeli istnieją granice skończone oraz

Nieciągłość funkcji Nieciągłość pierwszego rodzaju Funkcja f ma w punkcie x0 nieciągłość pierwszego rodzaju typu „skok”, jeżeli: Funkcja f ma w punkcie x0 nieciągłość pierwszego rodzaju typu „luka”, jeżeli:

Nieciągłość funkcji Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Nieciągłość funkcji Nieciągłość drugiego rodzaju Funkcja f ma w punkcie x0 nieciągłość drugiego rodzaju, jeżeli co najmniej jedna z granic nie istnieje lub jest niewłaściwa.

Nieciągłość funkcji Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Działania na funkcjach ciągłych Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x0, to: - funkcja f+g jest ciągła w punkcie x0; - funkcja f-g jest ciągła w punkcie x0; - funkcja fg jest ciągła w punkcie x0; - funkcja f/g jest ciągła w punkcie x0, o ile g(x0)0.

Działania na funkcjach ciągłych Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x0 oraz funkcja g jest ciągła w punkcie y0=f(x0), to: - funkcja złożona jest ciągła w punkcie x0. Jeżeli funkcja f jest ciągła i rosnąca w przedziale [a,b], to funkcja odwrotna f -1 jest ciągła i rosnąca w przedziale [f(a),f(b)],

Działania na funkcjach ciągłych Funkcje elementarne są ciągłe w swoich dziedzinach. Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym, to jest na nim ograniczona.

Działania na funkcjach ciągłych Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [a,b] oraz spełnia warunek f(a) < f(b), to: Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Działania na funkcjach ciągłych Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [a,b] oraz spełnia warunek f(a) f(b) < 0, to istnieje punkt taki, że f(c)=0: Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.