„Figury niemożliwe” Projekt został wykonany przez : 1.Konrad Sroka   Projekt został wykonany przez : 1.Konrad Sroka 2.Michał Świderski 3.Daniel Cokan 4.Adrian Laskowski

Cele projektu Projekt „Figury niemożliwe” przedstawia figury o których nie mówi się na lekcjach matematyki . Niektóre są złudzeniem optycznym i choć sprawiają wrażenie trójwymiarowych, to tak naprawdę istnieją tylko na płaszczyźnie. Inne choć istnieją, mają niecodzienne własności. Wreszcie ostatnia grupa figur to te, które tylko wydają się nieprawdopodobne i niemożliwe do skonstruowania.

Co to są z punktu widzenia matematyki figury niemożliwe? Figury niemożliwe można uznać, ze szczególny typ złudzeń optycznych. Są to figury, które można narysować zgodnie ze wszystkimi zasadami perspektywy, ale nie można ich skonstruować w rzeczywistości (istnieją co prawda imitujące je trójwymiarowe modele, ale właśnie one wykorzystują zasadę złudzenia optycznego). Po raz pierwszy takie figury opisał w 1958 roku Roger Penrose - brytyjski matematyk - wraz ze swoim ojcem - genetykiem. Artykuł ukazał się w czasopiśmie "British Journal of Psychology".

Przykłady figur niemożliwych

Figura Thiery’ego

Na czym polega „niemożliwość” tej figury? Niemożliwa: dwie prostopadłościenne beleczki widziane z różnych punktów widzenia i niewłaściwie połączone. Możliwa, ale niejednoznaczna: pojedyncza prostopadłościenna beleczka z płaskimi „skrzydełkami” (dwa równe „naturalne” warianty interpretacyjne)

Trójkąt Penrose’a (ang.Tribar Penrose’a)

Czym zadziwia ta figura? Tribar ( inna nazwa tej figury) składa się z trzech prostych belek o kwadratowym przekroju poprzecznym, które spotykają się parami pod kątem prostym w wierzchołkach trójkąta. Belki można rozłożyć, tworząc kostki lub prostopadłościan. Tribar w rzeczywistości trójwymiarowej nie może istnieć, gdyż suma kątów trójkąta powstałego po złączeniu belek wyniosłaby ponad 180 stopni, co jak wiemy jest niemożliwe.

Sześcian Neckera

Co jest niezwykłego w tym sześcianie? Sześcian został narysowany tak, że widz ma dwie “opcje” odbioru. Jednak ludzki mózg może mieć tylko jeden obraz w jednym czasie. Kiedy brakuje cech związanych z głębią jak cień, maskowanie, struktura powierzchni lub wskaźniki pozycji w przestrzeni, mózg nie może zdecydować, która perspektywa jest właściwa. Ten sam obraz pojawia się na siatkówce w obu przypadkach, tylko różnie interpretowany. Nasza percepcja wybiera tu kompromis i wymienia pomiędzy dwoma perspektywami.

Schody Penrose’a

Coś o schodach. Ciekawym i wartym uwagi obiektem są również Schody Penrose’a. Obiekt ten został zaprojektowany przez Lionela Penrose’a i jego syna Rogera. Rysunek przedstawia schody załamane czterokrotnie pod kątem 90 stopni. Nie byłoby w tym nic dziwnego, gdyby nie to, że schody prowadzą w górę, a jednak na górę po nich nie można wejść – ciągle wraca się do punktu wyjściowego. Jest to niemożliwe do wykonania w trzech wymiarach, ale dwuwymiarowy rysunek umożliwia przedstawienie tej paradoksalnej budowli dzięki zakłóceniu perspektywy.

Diabelskie widły (ang.Devils Fork)

O co tu chodzi? "Devils Fork" - jedna z wielu niesamowitych brył autorstwa Oscara Reuterswarda. Zaburzenie perspektywy "kłucą" trzy wystające w lewą stronę wypustki z ich podstawą.

Inne figury niemożliwe.

Kwadrat Penrose’a

Dolmen

Wstęga Möbiusa

Kto to był Möbius? Był to niemiecki matematyk urodzony1790 roku w Schulpforte, zm. 1868 roku w Lipsku. Odkrywca wstęgi nazwanej jego nazwiskiem. Figura okazała się bardzo znacząca w topologii. Jest ona nieorientowalną powierzchnią dwuwymiarową, która rozważana jako zanurzona w przestrzeni trójwymiarowej ma tylko jedną stronę.

Coś więcej o wstędze Wstęga Möbiusa to dwuwymiarowa zwarta rozmaitość istniejąca w przestrzeni trójwymiarowej, którą można uzyskać sklejając taśmę końcami "na odwrót". Jej najważniejszą cechą jest to, że ma tylko jedną stronę (jest tzw. powierzchnią jednostronną). Posiada również tylko jedną krawędź - "sklejenie" tej krawędzi (niemożliwe w przestrzeni trójwymiarowej) daje butelkę Kleina, opisaną przez niemieckiego matematyka Augusta Möbiusa i Johanna Benedicta Listinga w 1858 roku.

Jakie zastosowanie ma wstęga Möbiusa? w technice używa się pasów transmisyjnych skręconych w kształt wstęgi Möbiusa, co powoduje, że ich powierzchnia zużywa się jednakowo po obu stronach Również elementy wstęgi Möbiusa można spotkać w narciarskich skokach akrobatycznych. W czasie "Koziołka Möbiusa" ciało skoczka kreśli fragment tej powierzchni.

Niezwykła bryła

Butelka Kleina

Kim był Klein ? Felix Christian Klein ur. 25 kwietnia 1849 w Dusseldorfie, zm. 22 czerwca 1925 w Getyndze. Niemiecki matematyk i profesor Uniwersytetu w Lipsku, Getyndze oraz politechniki w Monachium. Od 1913 członek Berlińskiej Akademii Nauk. Zajmował się geometrią, równaniami algebraicznymi, teorią funkcji oraz historią matematyki.

Co to jest Butelka Kleina? Powierzchnia będąca jednostronną, mająca dwa wymiary i nie mająca żadnego brzegu. Jej ścianki wewnętrzne są zarazem zewnętrzne. Ponieważ nie ma objętości, wydaje się być idealnym pojemnikiem na różne napoje, gdyż nie da się jej opróżnić, ale o dziwo można ją napełnić.

Czy taka butelka istnieje? Butelkę Kleina można skonstruować ze wstęgi Möbiusa należy skleić wszystkie punkty brzegu wstęgi (lub skleić dwie wstęgi brzegami ). Butelka Kleina nie daje się włożyć w przestrzeń trójwymiarową – włożenie takie prowadzi do pojawienia się tzw. samoprzecięć powierzchni. Bez przecięć butelkę można włożyć w przestrzeń czterowymiarową. Wysokiej klasy specjaliści przy użyciu bardzo wyrafinowanego sprzętu potrafią wykonać Butelkę Kleina ze szkła.

Dziękujemy za obejrzenie projektu „Figury niemożliwe” Informacje o figurach posiadamy z : -Internetu -Książek -Wiedzy Nauczyciela