Różne metody liczenia

Wyniki ankiety 1. Jakich sposobów używasz do liczenia podczas sprawdzianów? 2. Często korzystasz z kalkulatora do mnożenia 2 i 3 cyfrowych liczb?

3. Z jakimi działaniami masz najwięcej problemów? 4. Jakie znasz inne sposoby liczenia liczb?

Co to jest liczba? Skąd wzięła się matematyka? W jaki sposób liczyli nasi przodkowie, zarówno ci z czasów starożytnych, ale także i ci bliscy nam – nasi rodzice, dziadkowie, pradziadkowie? Są to pytania, które być może część z was stawiała sobie ucząc się matematyki.

Człowiek potrafił liczyć już w epoce pierwotnej, choć nie znał jeszcze cyfr. Wyniki swoich obliczeń zapisywał na kościach, nacinając na nich kreski. Za najstarszy zapis liczby uważa się 55 nacięć na kości wilka sprzed 30 tysięcy lat. Kość tę znaleziono w Czechach w 1937r. W latach 60 ubiegłego wieku w Afryce znaleziono kości z wyrytymi na nich karbami liczące ponad 25 000 lat.

W dzisiejszych czasach, kiedy musimy wykonać jakieś skomplikowane obliczenia, sięgamy po kalkulator lub włączamy komputer. Pierwszy daje nam możliwość wykonywania raczej prostszych obliczeń , za to za pomocą bardzo zaawansowanych programów komputerowych obliczenia te mogą być już bardzo skomplikowane. Oczywiście możemy liczyć na palcach, w pamięci, lub za pomocą kartki i ołówka, jednak maszyny liczące są zdecydowanie szybsze i wygodniejsze. Jednak jak radzili sobie z trudnymi rachunkami ludzie w czasach, gdy nie znano jeszcze elektroniki?

Dalszy rozwój matematyki wiąże się z rozwojem cywilizacji i można go podzielić na dwa nurty: praktyczny oraz teoretyczny. Wiadomo, że potrzeba liczenia brał a się z problemów czysto praktycznych, takich jak budowanie mostów, domów, maszyn oblężniczych, czy rozszyfrowywanie zagadek astronomicznych.

Warto teraz rozważyć w jaki sposób rozwijały się „ maszyny” liczące Warto teraz rozważyć w jaki sposób rozwijały się „ maszyny” liczące. Pierwszym znanym, poza palcami, narzędziem wspomagającym liczenie były używane przez Chińczyków patyczki. Rachowanie za ich pomocą pozwalało dodawać i odejmować . W celu zsumowania dwóch liczb układano dwie kupki z ilością patyczków odpowiadającą dodawanym liczbom, a następnie po połączeniu ich liczono patyczki ponownie. Innym urządzeniem wspomagającym obliczenia było inkaskie kipu, którego użycie polegał o na wiązaniu supełków w odpowiednich miejscach. Niestety ich odczytanie do tej pory nie jest całkowicie możliwe, dlatego nie znamy w pełni jego możliwości obliczeniowych.

Kolejnym, tym razem dużo bardziej zaawansowanym urządzeniem liczącym było liczydło. Wykorzystywano je już w starożytnej Gracji, Chinach oraz Japonii. Jest ono tak proste w obsłudze, a zarazem pozwala w bardzo krótkim czasie wykonywać dodawanie, odejmowanie, mnożenie, a najbardziej wprawionym użytkownikom nawet dzielenie, że przetrwał o próbę czasu i jest wykorzystywane do dziś . Uniwersalizm liczydła spowodował przestój w rozwoju maszyn liczących. Przez wieki rozwijał y się przeróżne metody rozwiązywania równań , układów równań , które pozwalały w coraz to szybszy i dokładniejszy sposób znajdować rozwiązania problemów, lecz wszystkie one wymagały liczenia bądź w pamięci, bądź za pomocą kartki lub liczydła.

wykonywać skomplikowane obliczenia szybciej niż na kalkulatorze. Rozwój urządzeń liczących rozpoczęło na nowo wynalezienie w XVII w. suwaka logarytmicznego. Jest to rodzaj linijki z wysuwanym środkiem działają ca na zasadzie dodawania logarytmów, dzięki której można mnożyć, dzielić , obliczać kwadraty, sześciany , odwrotności liczb, a także sinusy i tangensy. Funkcjonuje na zasadzie przesuwania podziałki. Był używany zwłaszcza przez inżynierów jeszcze w latach osiemdziesiątych XX w, a niektórzy korzystają z niego nawet dziś . Dobrze wprawiony użytkownik potrafił wykonywać skomplikowane obliczenia szybciej niż na kalkulatorze.

Dalszy rozwój maszyn służących do liczenia związany jest z urządzeniami i działającymi na zasadzie kół zębatych oraz przekładni, czyli z użyciem mechaniki. Pierwsze takie maszyny powstały pod koniec XVII w, więc w okresie zbliżonym do wynalezienia suwaka logarytmicznego. Końcową formę przybrały suwaki w XIX w., otrzymując nazwę „ arytmometr” , lub potocznie „ kręciołek” . Nazwa wzięła się stąd, że dodawanie i odejmowanie przy jego pomocy, polegał o na wielokrotnym pokręcaniu korbki. Najpóźniejsze formy tego narzędzia potrafiły nawet wyliczać pierwiastki. Arytmometr był bezpośrednim poprzednikiem kalkulatora i używany był do drugiej połowy XX w, zwłaszcza przez księgowych.

W czasach nam współczesnych pojawia się elektronika, która pozwala wykonywać ogromną ilość obliczeń w bardzo krótkim czasie. Pojawiły się kalkulatory będące podstawą dzisiejszych rachunków oraz komputery. Ciekawe jakie urządzenia wymyślą następne pokolenia?

O to kilka przykładów różnych metod liczenia: Szybka tabliczka mnożenia metoda graficzna - sposób japoński mnożenie (źródło: http://www.youtube.com/watch?v=e-P5RGdjICo)

2. Mnożenia dowolnej cyfry przez 9. Wyciągnij przed siebie obie dłonie i szeroko rozsuń palce. 1. Aby pomnożyć szybko 9 przez dowolną cyfrę od 1 do 10, wystarczy, że zegniesz odpowiadający jej palec (licząc od lewej), np. jeśli chcesz pomnożyć przez 4, zegnij czwarty palec od lewej strony. 2. Zwróć uwagę, że po lewej stronie od zgiętego palca pozostały 3 wyprostowane, natomiast po prawej stronie pozostało 6 wyprostowanych. Jak by nie patrzeć, wynikiem mnożenia 4 x 9 musi być 36! 3. Spróbuj sam dla innych kombinacji.

3. Mnożenie przez 6,7 i 8 Oto sposób mnożenia na palcach liczb większych od 5. Chcąc skorzystać z tej metody, musimy dobrze już mnożyć do 25. Mamy wykonać mnożenie: 7 x 8 Ale 7 = 5 + 2, a 8 = 5 + 3, to znaczy 7 • 8 = (5 + 2) • (5 + 3) Należy podnieść 2 palce u jednej ręki i 3 palce u drugiej ręki. Suma palców podniesionych (2 + 3) wskaże cyfrę dziesiątek iloczynu (5), a jedności iloczynu otrzymamy mnożąc liczbę zgiętych palców jednej ręki przez liczbę palców drugiej ręki: 3 x 2 = 6

4. Szybka metoda mnożenia z Indii Hinduski sposób mnożenia liczb opiera się na tabelce. Rozpowszechniony był w Europie w późnym Średniowieczu i w czasach Odrodzenia. 69 x 24   Mnożymy liczbę dwucyfrową 69 przez dwucyfrową 24. Potrzebny będzie kwadrat 2 x 2. Pierwszy czynnik (69) wpisujemy u góry, drugi czynnik (24) wpisujemy z prawej strony od góry. Wykonujemy kolejno mnożenie wpisując wyniki do tabeli i sumujemy cyfry wzdłuż przekątnych. Przy wykonywaniu dodawania „na ukos” w drugiej linii dostaliśmy 15. Ponieważ jest to liczba dwucyfrowa, dlatego cyfrę dziesiątek (1) przenosimy do kolejnego rzędu. Dostajemy 1656. Zatem 69 x 24 = 1656 6 9 1 1 1 2 8 2 2 3 4 6= 1 + 5 4 4 5 6 1 16556

Niekonwencjonalne, szybkie metody liczenia w pamięci

5. TABLICZKA MNOŻENIA OD 11 DO 19 Aby pomnożyć dwie liczby od 11 do 19 dodajemy do jednej z liczb cyfrę jedności drugiej liczby i dopisujemy zero. Do tego wyniku dodajemy wynik mnożenia cyfr jedności z obydwu liczb, np.: 17 x 19 = (19 + 7) x 10 + 9 x 7 = 260 + 63 = 323 lub: (17 + 9) x 10 + 7 x 9 = 323

6.PODNOSZENIE DO KWADRATU LICZB DWUCYFROWYCH Aby podnieść do kwadratu liczbę dwucyfrową należy wykonać trzy proste działania: Podnieść do kwadratu cyfrę jedności Pomnożyć obydwie cyfry i podwoić ten wynik Podnieść do kwadratu cyfrę dziesiątek np.: 23^2 = 529 1. 3^2 = 9 - zapisujemy 9 2. 2 x 3 x 2 = 12 - zapisujemy 2, przenosimy dalej 1 3. 22 = 4 - zapisujemy 5 (4 + 1 = 5)

7. PODNOSZENIE DO KWADRATU LICZB Z 5 NA KOŃCU Aby podnieść do kwadratu liczbę należy wykonać dwa proste działania: Mnożymy liczbę dziesiątek przez liczbę o 1 od niej większą Do otrzymanego wyniku dopisujemy 25 np.: 35^2 = 1225 1. 3 x 4 = 12 - zapisujemy 12 2. do otrzymanego wyniku dopisujemy 25

MNOŻENIE LICZB WIELOCYFROWYCH PRZEZ 11 Aby pomnożyć jakąkolwiek wielocyfrową liczbę przez 11, wykonujemy następujące działania: Przepisujemy pierwszą cyfrę (poczynając od prawej strony liczby) Dodajemy pierwszą i drugą cyfrę i zapisujemy wynik. Jeżeli jest on dwucyfrowy, zapisujemy cyfrę jedności a dziesiątki przenosimy dalej. Powtarzamy poprzednie działanie, dodając cyfry drugą i trzecią, trzecią i czwartą itd.... aż dodamy przedostatnią i ostatnią. Przepisujemy ostatnią cyfrę. Np.: 1793 x 11 = 19723 Przepisujemy 3 3 + 9 = 12 3. 9 + 7 = 16 , 16 + 1 = 17 7 + 1 = 8 , 8 + 1 = 9 5. przepisujemy 1 łączymy wszystkie cyfry:

DZIELENIE PRZEZ 5 Aby podzielić jakąkolwiek liczbę przez 5 należy daną liczbę pomnożyć przez 2 i dopisać przecinek, odliczając jedno miejsce od końca wyniku, np.: 60 : 5 = 12,0 DZIELENIE PRZEZ 25 Aby podzielić jakąkolwiek liczbę przez 25 należy daną liczbę pomnożyć przez 4 i dopisać przecinek, odliczając dwa miejsca od końca wyniku, np.: 100 : 25 = 4,00 DZIELENIE PRZEZ 125 Aby podzielić jakąkolwiek liczbę przez 125 należy daną liczbę pomnożyć przez 8 i dopisać przecinek, odliczając trzy miejsca od końca wyniku, np.: 500 : 125 = 4,000

Wielu z nas chętnie żyłoby w świecie bez matematyki i bez rozwiązywania zadań rachunkowych. Jednak jej historia pokazuje, ż e jest ona jedną z gałęzi rozwoju cywilizacji, dzięki niej możliwy był rozwój ludzkości. Dzięki niej powstał a również maszyna licząca, przed którą siedzisz – komputer (bo pierwsze komputery powstały w celu wykonywania skomplikowanych obliczeń ). Czy nadal chciał byś żyć w czasach kiedy matematyka dopiera powstawała, a wynalazcy konstruowali liczydło?

Liczenie pieniędzy Kolejny dowód że matematyka jest potrzebna w codziennym życiu Pieniądze można przeliczać na różne sposoby, w różnych krajach spotykane są przeróżne metody liczenia pieniędzy Źródło: http://www.milanos.pl/vid-24587-Sposoby-liczenia-pieniedzy-na-swiecie.html Autor: SAMIMYS

Bibliografia: http://www.youtube.com/watch?v=e-P5RGdjICo Źródło: http://www.milanos.pl/vid-24587-Sposoby-liczenia-pieniedzy-na-swiecie.html 3. ŁUKASZ DAWIDOWSKI1”O historii matematyki i liczenia” 4. Zajączkowski.org „Szybki algorytm mnożenia”