Liczby charakterystyczne dla danych statystycznych

Na tej lekcji poznasz pojęcia: Średniej arytmetycznej Mediany Rozstępu Mody Po uważnej analizie przykładów będziesz umiał je policzyć i zinterpretować otrzymane wyniki.

Próba, Liczebność, Częstość Wyniki zebrane podczas pomiarów obserwacji czy ankiet nazywamy próbą. Liczebność wyniku to liczba wskazująca, ile razy dany wynik pojawił się w danej próbie. Częstość to liczba, która jest ilorazem liczebności danej zmiennej do liczebności wszystkich danych.

PRZYKŁAD 1: Liczebność, Częstość Pewna grupa turystyczna zwiedziła: Kraków, Gdańsk, Warszawę, Sopot, Zakopane. Uczestnikom zadano pytanie „Które z tych miast podoba Ci się najbardziej?” Oto odpowiedzi: Miasto Turyści Liczebność Częstość Kraków //// 4 Gdańsk Warszawa // 2 Sopot / 1 Zakopane 12

Definicja średniej arytmetycznej Średnia arytmetyczna to liczba uzyskana poprzez dodanie wszystkich wyników w serii danych i podzielenie tej sumy przez liczebność serii. Przykład: Średnia ocen to iloraz sumy ocen przez ich liczbę.

Średnia arytmetyczna – zadanie 1 Oblicz średnią ocen z matematyki na podstawie danych z tabelki obok. Obliczamy sumę ocen: 1 · 6 = 6 4 · 5 = 20 11 · 4 = 44 13 · 3 = 39 3 · 2 = 6 0 · 1 = 0 Suma jest równa: 115. Liczba wszystkich ocen: 32 Ocena Liczba ocen celujący 1 bardzo dobry 4 dobry 11 dostateczny 13 dopuszczający 3 niedostateczny Średnia jest równa:

Średnia arytmetyczna – zadanie 2 Przez kolejne dni czerwca mierzono temperaturę o tej samej godzinie i otrzymano następujące wyniki: 13,17,15,14,16,14,16,16,15,13,15,17,20,21,23,22,20,21,17,19,18,19,19,22,22,19,23. Temp 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 liczebność 2 3 1 4

Przykład 2 Przebadano próbę 100 pudełek zapałek. Okazało się, że liczby zapałek w pudełkach różniły się. Wyniki przedstawiono w tabeli. Wskaż średnią liczbę zapałek w pudełku. Liczba zapałek w pudełku 47 48 49 50 51 Liczba pudełek 4 20 35 24 17

Definicja mediany Dla nieparzystej liczby danych mediana jest to środkowa wartość zebranych danych uporządkowanych rosnąco. Dla parzystej próby danych mediana jest to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wartości zebranych danych uporządkowanych rosnąco.

Przykład 3 1,2,3,4,5,5,6 Nieparzysta ilość danych: Oceny: 3,5,6,1,2,4,5 Uporządkowane rosnąco: 1,2,3,4,5,5,6 Mediana: 4 Parzysta ilość danych: Oceny: 5,1,3,4,5,2 Uporządkowane rosnąco: 1,2,3,4,5,5 Mediana:

Definicja mody Modalna (moda, dominanta) jest to liczba, która w danej próbie występuje najczęściej.

Przykład 4 Wiek uczniów pewnej klasy i dwóch opiekunów jest następujący: 15,15,16,15,15,15,15,16,15,15,14,15,15,15,15, 15,15,15,15,15,15,38,47. Ile wynosi moda tej próby? Moda wynosi 15, ponieważ 15 powtarza się aż 18 razy i jest to najczęstszy wynik w tej grupie osób.

Definicje rozstępu Rozstęp danych to różnica między największą i najmniejszą liczbą w określonej serii danych.

Przykład 5 Zważono 7 osób. Masy tych osób wyrażone w kg: 52, 59, 63, 68, 72, 72, 80 Ile wynosi rozstęp? Największa wartość to: 80 Najmniejsza wartość to: 52 Różnica między największą i najmniejszą wartością wynosi: 28 Rozstęp jest równy: 80 – 52 =28

Zadanie 1 Planując rozbudowę drogi, prowadzi się badania natężenia ruchu samochodowego. Diagram oraz tabela sporządzona na podstawie tego diagramu przedstawia, ile samochodów osobowych, dostawczych i autobusów przejechało pewnego dnia przez skrzyżowanie ulic w godzinach: 7-8, 10-11, 13-14, 16-17. Korzystając z diagramu i tabeli odpowiedz na pytania. Najmniej samochodów przejeżdżało przez skrzyżowanie w godzinach: A. 7-8 B. 10-11 C. 13-14 D. 16-17 Najwięcej samochodów przejeżdżało przez skrzyżowanie w godzinach: A. 7-8 B. 10-11 C. 13-14 D. 16-17 Średnia liczba aut przejeżdżających przez skrzyżowanie w ciągu godziny jest równa: A. 200 B. 150 C. 260 D. 320   7-8 10-11 13-14 16-17 samochody osobowe 140 120 80 autobusy 100 40 90 60 samochody dostawcze 50 Odp.: B, A, C

Zadanie – ciąg dalszy   7-8 10-11 13-14 16-17 samochody osobowe 140 120 80 autobusy 100 40 90 60 samochody dostawcze 50 Wykorzystując dane z poszczególnych wierszy tabeli odpowiedz na pytania: Rozstęp danych dla samochodów dostawczych to liczba: A. 80 B. 100 C. 90 D. 70 Modalna dla samochodów osobowych wynosi: A. 50 B. 80 C. 120 D. 100 Mediana dla autobusów jest równa: A. 85 B. 90 C. 75 D. 80 Odp.: D, B, C

Zadanie 2 Mając wzrost dziewcząt w pewnej klasie [w cm] : 153, 155, 156, 168, 170, 156, 165, 170, 150, 154 podaj wymienione wartości charakterystyczne. Porządkujemy dane: 150, 153, 154, 155, 156, 156, 165, 168, 170, 170 Wartość największa 170 Wartość najmniejsza 150 Rozstęp danych 20 Średnia arytmetyczna 159,7 Mediana 156 Moda 156 i 170

Zadanie 3 cena batona w zł 0,50 0,60 0,70 0,80 1,00 liczba sprzedanych batonów 102 154 31 134 50 W szkolnym sklepiku zanotowano, ile batoników każdego gatunku sprzedano. Na podstawie danych z tabeli odpowiedz na pytania. Na jakim diagramie najłatwiej przedstawić te dane? A. prostokątny B. kołowy C. słupkowy D. piramida Oblicz średnią cenę batonu w tym sklepiku. Czy jest ona równa: A. 0,45zł B. 0,72zł C. 0,65zł D. 0,75zł Ile wynosi moda dla tej próby danych? A. 90 B. 0,70 C. 1,00 D. 0,60 Odp.: C, B , D

Zadanie 4 Odp.: B,B,A Dziennik z dn. 22.04.09r. podał prognozę pogody dla Mazowsza w dn. 22-24.04. Na podstawie tabeli odpowiedz na pytania. Średnia temperatura na Mazowszu w ciągu trzech dni wyniosła: A. 15oC B. 16,5oC C. 16oC D. 17,5oC Mediana temperatury na Mazowszu w ciągu trzech nocy była równa: A. 1oC B. 2oC C. 3oC D. 2,5oC Które zdanie jest fałszywe? Najwyższa średnia temperatura w ciągu trzech dni była w Siedlcach. Najcieplejsze noce były w Płocku. W Radomiu i Siedlcach temperatury każdej nocy i każdego dnia były takie same. W każdym z tych miast najchłodniejszym dniem była środa. miasto Środa 22.04 Czwartek 23.04 Piątek 24.04 dzień noc Warszawa 15oC 1oC 16oC 2oC 18oC Płock 17oC 3oC Radom Siedlce Odp.: B,B,A

Zadanie 5 Miasto Temperatura w oC Bydgoszcz +15 Gdańsk Koszalin +14 Kraków +18 Łódź +16 Poznań +17 Olsztyn Szczecin Wrocław Warszawa Oto temperatury powietrza zanotowane pewnego wrześniowego dnia 2003r. W kilku miastach Polski. Które zdanie nie jest prawdziwe? Najwyższą temperaturę powietrza tego dnia zanotowano tylko w Olsztynie, Warszawie i Krakowie. Rozstęp temperatur jest równy 4oC. Modalną temperaturą tego dnia było 18oC. Mediana temperatur wynosi 16oC. Odp. D

Zadanie 6 Powyższy diagram łodygowo – listkowy przedstawia wzrost (w cm) koali w pewnej populacji. Cyfry w zaznaczonej kolumnie (łodydze) oznaczają dziesiątki, a cyfry bocznej (listki) oznaczają jedności. Na podstawie diagramu odpowiedz na pytania. Średni wzrost samców koali w tej populacji jest równy: A. 71,8 cm B. 67,1cm C. 65cm D. 61,8cm Mediana wzrostu samic w tej populacji jest równa: A. 60 cm B. 61cm C. 65cm D. 66cm Modalna wzrostu całej populacji przedstawionej na diagramie jest równa: A. 56 cm B. 66cm C. 68cm D. 72cm Odp.: A, B, B

Czas zjazdu (w sekundach) Zadanie 7 Zawodnik Czas zjazdu (w sekundach) I II III Adam 48 51 54 Bartek 53 49 Maciek 50 Na obozie Adam, Bartek i Maciek zorganizowali zawody narciarskie, które polegały na trzykrotnym zjeździe ze stoku. Wygrywał ten zawodnik, którego średni czas zjazdu był najkrótszy. Wyniki przedstawia tabela. Ustal kolejność zawodników. Zapisz obliczenia. Podaj medianę czasu zjazdu wszystkich zawodników. Podaj dominantę (modalną) czasu zjazdu wszystkich zawodników. Chłopcy losowali kolejność, w jakiej zjeżdżali. Ile było możliwych różnych wyników tego losowania?

Podsumowanie Na tej lekcji poznałeś pojęcia: średniej arytmetycznej, mediany, mody, rozstępu

Informacje Lekcja przygotowana w ramach projektu „Wykorzystaj swoją szansę” AUTOR: ANNA SAJDYK Teraz przejdź do rozwiązywania TESTU oraz opracowania ZADAŃ OTWARTYCH Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego