Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: I Liceum Ogólnokształcące im. Adama Asnyka w Kaliszu ID grupy: 97_60_MF_G2 Opiekun: Ewelina Lis-Jarnuszkiewicz Kompetencja: Matematyczno - fizyczna Temat projektowy: Paradoksy nieskończoności Semestr/rok szkolny: 2011/2012 …………………………………………………….

Paradoksy nieskończoności

Kilka definicji… Paradoks - w uproszczeniu, jest to coś (np. stwierdzenie), co ma pozory fałszu, choć (po stosownej analizie) okazuje sie prawda (w odpowiednio zmodyfikowanym języku). Antynomia- to sprzeczność logiczna. Sofizmat. To rozumowanie, które ma pozory poprawności, ale (po stosownej analizie) okazuje sie niepoprawne. Uwaga!!! W terminologii anglosaskiej używa sie terminu paradox zarówno dla antynomii, jak i dla paradoksów.

Czym jest nieskończoność? Nieskończoność (symbol: ∞) – byt nieograniczony (w sensie wielkości bądź ilości), który przyjęło się oznaczać za pomocą znaku nieskończoności, symbolem podobnym do przewróconej ósemki (lemniskata). Sam symbol zapewne oznacza powtarzalność cyfr w liczbach jak również to, że całkowita suma cyfr w liczbie dąży do określonej cyfry od 1 do 9 gdyż system dziesiętny jest ogólnie przyjętą symboliką.

Gottfried Wilhelm Leibniz w XVII wieku pisał: „…nie ma nic bardziej namacalnego niż absurdalność idei liczby aktualnie nieskończonej…”

Dawno, dawno temu… Nieskończoność rozważana była już od czasów starożytności. Przez długi czas podchodzono do niej bardzo nieufnie - szybko zorientowano się, że pojęcie to prowadzi do wielu paradoksów (z których najbardziej znane to paradoksy Zenona z Elei). Zauważano także takie absurdy, jak fakt, że liczb naturalnych i kwadratów liczb naturalnych jest tyle samo, co przeczyło intuicji, która mówiła, że część musi być mniejsza od całości.

Znane paradoksy

Hotel nieskończoność, czyli hotel hilberta W pewnym hotelu jest nieskończona ilość pokoi, wszystkie są zajęte. Wyobraźmy sobie, że przychodzi jeszcze jeden gość i prosi o pokój. Co robi portier? Osobę z pokoju nr 1 przenosi do „2”, osobę z „2” do „3”,…, osobę z pokoju nr n do pokoju n+1. Następuje swoiste przekwaterowanie. W wyniku tych zmian, wolny staje się pierwszy pokój, gdzie zamieszka nowy gość… A co zrobi pomysłowy portier, jeśli przyjedzie autobus z nieskończoną ilością gości?

W hotelu… Cóż, jeśli przyjedzie dodatkowy autobus, nasz sprytny portier przekwateruje gości do pokoi parzystych, czyli osoba z pokoju o numerze n zamieszka w pokoju o numerze 2n, uzyskamy wtedy nieskończoną ilość pokoi o numerach nieparzystych… Sytuacja jest podobna, gdy przyjedzie nieskończona liczba autobusów o nieskończonej liczbie pasażerów… Wystarczy sprytne przekwaterowanie…

Paradoksy zenona z elei…

dychotomia Sprinter ma do przebiegnięcia skończony dystans. Zanim jednak pokona całą odległość musi najpierw dobiec do 1/2 długości, ale zanim dobiegnie do 1/2 musi najpierw dobiec do 1/4, ale zanim dobiegnie do 1/4 musi najpierw dobiec do 1/8, i tak w nieskończoność. Wynika z tego, że biegacz ma do przebycia nieskończoną liczbę odcinków o skończonej długości. Ponieważ nie da się pokonać nieskończonej liczby odcinków w skończonym czasie, biegacz nigdy nie ukończy biegu. Co więcej biegacz nie może w ogóle rozpocząć biegu

Achilles i żółw Achilles i żółw stają na linii startu wyścigu na dowolny, skończony dystans. Achilles potrafi biegać 2 razy szybciej od żółwia i dlatego na starcie pozwala oddalić się żółwiowi o 1/2 całego dystansu. Achilles, jako biegnący 2 razy szybciej od żółwia, dobiegnie do 1/2 dystansu w momencie, gdy żółw dobiegnie do 3/4 dystansu. W momencie gdy Achilles przebiegnie 3/4 dystansu, żółw znowu mu "ucieknie" pokonując 7/8 dystansu. Gdy Achilles dotrze w to miejsce, żółw znowu będzie od niego o 1/16 dystansu dalej, i tak dalej w nieskończoność.

Rozwiązania paradoksów starożytnych W matematyczny sposób można łatwo udowodnić, że w tym przypadku suma nieskończonej liczby odcinków daje odcinek o skończonej długości, a więc czas potrzebny do pokonania go również jest skończony. Paradoks dotyczący Achillesa i żółwia można rozwiązać za pomocą wykresu pokazującego stosunek drogi do czasu i punkt, w którym Achilles zrówna się z żółwiem.

Paradoks galileusza W dziele „Discori” Galileusz zauważa, że liczb kwadratowych postaci 1, 4, 9, 16, . . . jest tyle samo co wszystkich liczb naturalnych 1, 2, 3, 4, . . ., Przeczyło to jednak intuicji, która mówiła, ze część musi być mniejsza od całości.

Paradoksy sumy nieskończonej Przeanalizujmy: 0 = 0 + 0 + 0 + . . . + 0 + . . . 0 = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + . . . + (1 − 1) + . . . 0 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . . + 1 − 1 + . . . 0 = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + . . . + (−1 + 1) + . . . = 1 0 = 1 Cóż…

…oraz Jeszcze jeden przykład. Weźmy s=0 s = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . . + 1 − 1 + . . . s = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . . + 1 − 1 + . . .) = 1 − s s = ½ Zatem 0 = ½ !!!!

Ile jest równa liczba 0,(9)??? Niech x=0,999999999… Zatem 10x=9,999999999… Odejmując stronami: 9x=9 Po podzieleniu: x=1 Czyli 0,(9) = 1.

Podobnie 0,4(9)… x=0,4999999999… 10x=4,9999999999… 9x=4,5 x=0,5 Zatem 0,4(9) = 0,5 Analogicznie inne przykłady, z 9 w okresie, np. 2,(9)=3 3,67(9)=3,68 itd.

Nieskończoność w innej odsłonie czyli fraktale Nieskończoność obserwujemy w przypadku fraktali. Powstają jako iteracje pewnych funkcji, najczęściej ciągu zbiorów, niejako kopiując „samego siebie” poprzez odwzorowania zwężające. Mówiąc po prostu powstają poprzez powtarzanie w nieskończoność pewnego fragmentu, pewnego „zabiegu” czyli iterując postępowanie. Zbiory fraktalne posiadają zadziwiające własności, szczególnie w kontekście wymiaru oraz tzw. samopodobieństwa.

Przykłady fraktali…

Trójkąt Sierpińskiego Fraktale w matematyce Dywan Sierpińskiego Trójkąt Sierpińskiego

Piramida Sierpińskiego Bryły fraktalne Kostka Mengera Piramida Sierpińskiego

Krzywa peano …to też fraktal… W każdym kroku długość krzywej zwiększa się trzykrotnie, oraz długość pojedynczego odcinka maleje trzykrotnie, z czego wynika, że długość w krzywej k-tym kroku wynosi 3k, a długość pojedynczego odcinka 1/3k.

Liczebność zbiorów

Moc zbioru To własność zbioru, która opisuje jego liczebność. Nieformalnie, moc zbioru jest tym większa im większy jest zbiór. Pojęcie mocy zbioru opiera się na pojęciu równoliczności dwóch zbiorów - zbiory A i B są równoliczne, gdy każdy element zbioru A można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru. Zbiory równoliczne mają tę samą moc.

Liczby kardynalne Moce zbiorów są konkretnymi obiektami matematycznymi, nazywanymi liczbami kardynalnymi. Liczba kardynalna jest naturalnym uogólnieniem liczby elementów zbioru skończonego, w szczególności moc zbioru n- elementowego wynosi dokładnie n. Zatem mocą zbioru pięcioelementowego jest po prostu 5. Znamy jednak jeszcze inne zbiory niż skończone, zbiór liczb naturalnych, wymiernych, podzielnych na 6 itp.

Zbiory równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych Zbiór parzystych (i nieparzystych) liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych (innymi słowy, zbiór nieskończony może być równoliczny ze swoim właściwym podzbiorem!) - funkcja wzajemnie jednoznaczna może być opisana, na przykład jako ciąg par {(2,1), (4,2), (6,3), (8,4), ... } Zbiór liczb pierwszych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych (argumentacja podobna jak wyżej) Zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb całkowitych. Funkcja wzajemnie jednoznaczna między tymi zbiorami może być opisana, na przykład, w postaci ciągu: {(1,0), (2,1), (3,-1), (4,2), (5,-2), (6,3), (7,-3)...}

Zbiór przeliczalny Zbiór przeliczalny – intuicyjnie, zbiór którego elementy można ustawić w ciąg (skończony bądź nie), tzn. "wypisać je po kolei", "ponumerować”. Zbiór przeliczalny to zbiór skończony lub zbiór równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Zatem znanymi nam zbiorami przeliczalnymi to: zbiór liczb naturalnych i całkowitych oraz ich podzbiory. A zbiór liczb wymiernych?

Czy zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny Czy zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny? Czy można go ustawić w ciąg nie pomijając żadnego elementu? Spróbujmy… (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), … (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), … (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), … …………………………….. (k,1), (k,2), (k,3), (k,4), … …………………………….. Niewiarygodne, zapisując liczby w takiej tablicy, gdzie liczby w nawiasach oznaczają licznik i mianownik, wymieniamy wszystkie liczby wymierne dodatnie, nie pomijamy żadnej!

Wniosek… Oznacza to, że zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, co przeczy intuicji. Przecież zbiór liczb wymiernych „wydaje się być” większy?! Równoliczność zbiorów nieskończonych jest paradoksem nieskończoności.

Najnowsza książka P.Coelho nosi właśnie tytuł „Alef”. Alef zero Najnowsza książka P.Coelho nosi właśnie tytuł „Alef”. Liczbę kardynalną zbioru liczb naturalnych – a więc i każdego nieskończonego zbioru przeliczalnego – oznacza się symbolem obok (czyt.: alef zero).

Moc zbioru liczb rzeczywistych Moc zbioru liczb rzeczywistych nazywana jest continuum. Jest to moc zbiorów nieskończonych nieprzeliczalnych. UWAGA! Jaka jest moc zbioru, który jest przedziałem (0,1) lub (-12,5)? Z uwagi na fakt, że liczba elementów każdego z tych zbiorów jest nieskończona i nieprzeliczalna, zatem moc każdego dowolnego przedziału ( odcinka) to continuum! To przeczy intuicji… Wszystkich liczb rzeczywistych jest tyle samo, co liczb rzeczywistych zawartych miedzy 0 a 1!

Zatem… Okazuje się więc, że mając trapez o różnych podstawach, możemy stwierdzić, że składają się one z takiej samej liczby punktów… Podobnie, dwa różne kwadraty na płaszczyźnie składają się z takiej samej liczby punktów, czyli continuum.

Nieskonczonosc to niekonczaca sie przygoda!

Nasz grupa: Jakub Horny Michał Szafrański Agnieszka Balcerzak Sylwia Witczak Aleksandra Porada Dominika Tyc Mateusz Bilich Karolina Kruk Aleksandra Oleszczuk Aleksandra Pietrzak