Dane informacyjne ZESPÓŁ SZKÓŁ NR 7 W POZNANIU ID grupy: 98/89_MF_G1 Nazwy szkół: ZESPÓŁ SZKÓŁ NR 7 W POZNANIU ID grupy: 98/89_MF_G1 Kompetencja: MATEMATYCZNO - FIZYCZNA Temat projektowy: LICZBY WYMIERNE SĄ OK. Semestr/rok szkolny: II semestr 2010/2011 Opiekun: ALINA SPECHT

Prezentację pod tytułem: LICZBY WYMIERNE SĄ OK. przygotował zespół w składzie: Victoria Adamowska Mikołaj Bastian Krzysztof Frydrych Łukasz Goliwąs Adam Grzywaczyk Karina Kubala Tomasz Kubiak Przemysław Łapiński Szymon Łuczak Bartłomiej Marek Milena Matuszewska Sebastian Remlein Konrad Rozynek

Cele projektu Projekt „Z fizyką, matematyką i przedsiębiorczością zdobywamy świat” ma na celu rozwój kompetencji uczniów w zakresie matematyki, fizyki oraz przedsiębiorczości i wykorzystania ich w praktyce.

Spis treści 1. Rachunki z ułamkami. 2. Zaokrąglenia. 3. System rzymski. 4. Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne. 5. Szacowanie wartości. 6. Obliczenia w praktyce. 7. Oś liczbowa i jej „mieszkańcy”. 8. Bibliografia

1. Rachunki z ułamkami

Ułamki dzielimy na: Zwykłe Dziesiętne Np. 0.1 Ułamek – wyrażenie postaci ,gdzie a, nazywane licznikiem, oraz b, nazywane mianownikiem, są dowolnymi wyrażeniami algebraicznymi. Linię oddzielającą licznik od mianownika nazywamy kreską ułamkową.

Jak mnożymy i dzielimy ułamki? Mnożenie wykonuje się według wzoru: Dzielenie wykonuje się według wzoru: Jak mnożymy i dzielimy ułamki?

Jak dodajemy i odejmujemy ułamki ? Ułamki o wspólnych mianownikach dodajemy i odejmujemy według wzoru: Ułamki o różnych mianownikach należy najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika:

2. Zaokrąglenia

Zaokrąglanie polega na: Zaokrąglanie – w matematyce przybliżanie pewnej liczby do innej, mającej mniej cyfr znaczących. Zaokrąglanie polega na: - odrzuceniu lub zastąpieniu zerami pewnej ilości cyfr końcowych danej liczby - zwiększeniu ostatniej z pozostałych cyfr o jeden, jeśli kolejna cyfra liczby pierwotnej była większa lub równa 5.

Na przykład po zaokrągleniu liczby 0,1239 do dwóch miejsc po przecinku otrzymamy 0,12, ponieważ pierwszą odrzuconą cyfrą jest 3, natomiast po zaokrągleniu 0,7691 także do dwóch miejsc po przecinku otrzymamy 0,77, ponieważ pierwszą odrzuconą cyfrą jest 9. Przy zaokrąglaniu w miejsce znaku równości ( = ) używa się znaku przybliżenia ( ≈ ).

Liczby można zaokrąglać do różnych miejsc po przecinku, np.: Można je także zaokrąglać do dziesiątek, setek, tysięcy itd.: 873462 ≈ 873460 873462 ≈ 873500 873462 ≈ 874000 873462 ≈ 870000 873462 ≈ 900000

3. System rzymski

System rzymski zapisywania liczb wykorzystuje cyfry pochodzenia etruskiego, które Rzymianie przejęli i zmodyfikowali ok. 500 p.n.e. Etruskowie na oznaczenie niektórych cyfr wykorzystali nie mające zastosowania w ich języku litery alfabetu greckiego: khi, theta iphi. Rzymianie przejmując etruski system zmodyfikowali w nim nieznacznie niektóre zasady. Z upływem czasu zmianom stylizacyjnym uległa również część symboli. Kształt znaków etruskich wziął się od dawnej metody oznaczania liczb pionowymi nacięciami na kawałkach drewna. W starożytności często wykonywano w ten sposób rejestry, spisy i rachunki przedstawiające liczbę jakichś towarów (czasem przybierało to formę długich lasek pokrytych setkami kresek), a system taki jeszcze w XIX w. n.e. był używany przez włoskich pasterzy do oznaczania liczebności swoich stad. Rzymianie stopniowo upraszczali te symbole i nadawali im formę podobnych do nich łacińskich liter.

I - oznacza liczbę 1. Jedno pionowe nacięcie oznaczało po prostu jeden element. Rzymianie nie zmodyfikowali tego znaku, bo wyglądał już jak ich litera I. V - oznacza liczbę 5. Co piąte nacięcie było podwójne i początkowo miało formę Λ. Rzymianie „obrócili” je tak, żeby wyglądało jak ich litera V. Hipoteza, że znak ten to górna połowa X oznaczającego 10 jest mało prawdopodobna. X - oznacza liczbę 10. Co dziesiąte nacięcie było przekreślane na ukos, a znak ten został później „wyprostowany”, przyjmując formę litery X.  L - oznacza liczbę 50. Przy oznaczaniu nacięciami dziesiąty znak Λ otrzymywał jeszcze jedną kreskę. Później przeszedł liczne zmiany – został obrócony, spłaszczony i podzielony na pół, aż wreszcie przyjął kształt litery L. 

C - oznacza liczbę 100. Również dziesiąte przekreślone nacięcie, czyli X, zaznaczano dodatkową kreską. W wyniku zmian przekształciło się w C, które pasowało tym bardziej, że było pierwszą literą łacińskiego słowa „centum”, oznaczającego sto. D - oznacza liczbę 500. Setne Λ obrysowywano kwadratową lub okrągłą ramką. Dość skomplikowane zmiany doprowadziły później do przekształcenia tego znaku w literę D, prawdopodobnie jako oznaczenie łacińskiego słowa „demi-mille”, czyli pół tysiąca.  M - oznacza liczbę 1000. Setne X także otaczano ramką. Nie do końca pewny jest przebieg zmian, w każdym razie w końcu znak ten stał się literą M, pierwszą w łacińskim słowie „mille”, czyli tysiąc (możliwe jest również, że cyfra przybrała taką formę nie w drodze ewolucji, ale zastąpienia starego znaku prostszą literą).

4. Zamiana Ułamków zwykłych na dziesiętne

UŁAMK ZWYKŁE Ułamek Zwykły to liczba oznaczająca część całości. Zapisujemy a/b, gdzie a oznacza licznik ułamka, b oznacza mianownik ułamka. Można podzielić je na: a) WŁAŚCIWE - to taki ułamek, w którym licznik jest mniejszy od mianownika np. b) NIEWŁAŚCIWE - to taki ułamek, w którym licznik jest większy od mianownika lub równy mianownikowi np. 1/2 1/4 2/3 3/2 5/3 8/8

UŁAMKI DZIESIĘTNE Ułamki Dziesiętne zapisuje się bez kreski ułamkowej, ale specjalną funkcję pełni przecinek dziesiętny, który oddziela część całkowitą od części ułamkowej. Pierwsze miejsce po przecinku oznacza części dziesiąte, drugie - części setne, trzecie - części tysiączne itd. 13,435

ZAMIANA UŁAMKÓW ZWYKŁYCH NA DZIESIĘTNE Aby przedstawić ułamek zwykły w postaci dziesiętnej, można podzielić jego licznik przez mianownik lub jeśli to możliwe rozszerzyć lub skrócić tak, aby jego mianownikiem była jedna z liczb 10, 100, 1000 itd., a następnie zapisać go bez kreski ułamkowej.

ZADANIA NA UŁAMKACH

ZAD.1 Oblicz: a) 4 2/5 + 0,15 = 4,4 + 0,15 = 4,55 b) 6 1/2 - 0,5 = 6 1/2 – 1/2 = 6 c) 9,75 + 1/4 = 9 3/4 + 1/4 = 10 d) 12 3/5 + 2 2/3 = 12 9/15 + 2 10/15 = 14 19/15 = 15 4/15 e) 7,5 + 0,25 = 7,75 ZAD.2 Najdłuższą jaszczurką na Ziemi jest waran paskowaty. Ciało największego warana, jakiego zmierzono, miało długość 4,75m, przy czym 7/10 długości stanowił ogon. Jak długi jest ogon tego warana? 4,75 – długość warana 7/10 = 0,7 długości warana – długość ogona 0,7 · 4,75m = 3,325m = 332,5cm Odp. Ogon tego warana ma długość 332,5cm.

ZAD.3 Przez pięć dni w tygodniu gazeta kosztuje 1,20zł, a jej sobotnie wydanie kosztuje 1,50zł. Za roczną pronumeratę tej gazety należy zapłacić 300zł. Ile złotych można zaoszczędzić, pronumerując tę gazetę zamiast kupować każde jej wydanie? Przyjmij, że rok ma 52 tygodnie. a) Tygodniowy koszt gazet: 5 · 1,20zł + 1,50zł = 6zł + 1,50zł = 7,50zł b) Roczny koszt gazet: 52 · 7,50zł = 390zł c) Zysk z prenumeraty: 390zł – 300zł = 90zł Odp. Prenumerując tą gazetę można zaoszczędzić 90zł. ZAD.4 Zamiana ułamków dziesiętnych na zwykłe: a) 0,7 = 7/10 b) 0,5 = 5/10 = 1/2 c) 2,5 = 2 1/2 d) 5,75 = 5 3/4

5. Szacowanie wartości

Definicja Szacowanie - przybliżone określanie wartości jakiejś wielkości przy posiadaniu niepełnych danych, występowania zakłóceń lub stosowaniu uproszczonego modelu opisującego parametry, cechy lub charakter tej wielkości.

Zadanie Ilu stroicieli pianin mieszka w Los Angeles? Na samym początku gdy przeczytamy to pytanie stwierdzimy, że nie jesteśmy w stanie tego określić, lecz później okazuje się, że jesteśmy w stanie to oszacować! W żadnym mieście nie mieszka więcej niż 108 Na początek musimy oszacować liczbę mieszkańców w Los Angeles. W Warszawie mieszka około 106 Ponieważ Los Angeles to duże miasto można oszacować że mieszka w nim około 107 Teraz musimy stwierdzić ile osób gra na jakiś instrumentach. Pewnie będzie to około 105 Pianino to bardzo popularny instrument więc na pianinach może grać około 80000 osób. Nie wszyscy oni jednak grają na pianinach.

Zadanie c.d. Jednak nie wszyscy oni mają własne pianina, część może gra w szkole, pracy lub u znajomych. Więc pianin może być około 40000. Musimy jednak doliczyć pianina znajdujące się w urzędach, szkołach, itd. Więc pianin w Los Angeles jest około 60000. Teraz musimy obliczyć jaką wydajność ma jeden stroiciel. Klawiszy w pianinie jest 88, tyle samo jest strun. Niekażdą strunę trzeba nastroić, więc powiedzmy że stroicielowi jedno pianino zajmuje 2 godziny . Załóżmy że zajmuje mu to około 1 godziny. Stroiciel jednak musi dojechać na miejsce.

Rok liczy sobie około 52 tygodnie doliczając do tego urlop i dni wolne załóżmy że pracuje on 5x48 dni w ciągu roku. Skoro pracuje 240 dni po 8 godzin to w ciągu roku może nastroić 240x8/3, czyli 640 pianin. Mamy 60000 pianin więc potrzeba około 100 stroicieli. Nie mam pewności czy to dobry wynik, lecz jest lepszy niż żaden. Możliwe, że źle oszacowałem, którąś z danych.

6. Obliczenia w praktyce

1. Plac zabaw „Jaś i Małgosia” ma kształt prostokąta o bokach długości 80 m i 40 m. Oblicz pole tego placu zabaw. Zapisz wszystkie obliczenia. P=a*b = 40m * 80m = 3200 m2 A=40m B=80m Odpowiedź: Pole tego placu zabaw wynosi 3200 m2. 2. Zamek w Łęczycy, który Król Kazimierz wybudował w 1365 roku, mieścił się na obszarze w kształcie prostokąta o wymiarach 50 m na 60 m. Oblicz pole powierzchni tego obszaru. Zapisz wszystkie obliczenia. A=50m B=60m P=a*b = 50m * 60m = 3000 m2 Odpowiedź: Pole powierzchni tego obszaru wynosi 3000 m2.

3. Boisko do piłki nożnej ma kształt prostokąta, którego długość może wynosić od 100 do 150 metrów, a szerokość od 64 do 75 metrów. Oblicz, ile wynosi pole najmniejszego z możliwych boisk do piłki nożnej. Zapisz obliczenia. A=100m p=a*b = 100*64= 6400m2 B=64m Odpowiedź: Najmniejsze pole powierzchni boiska wynosi 6400 m2 . 4. Na planie w skali 1:2000 działka ma 1,5 cm szerokości i 2,5 cm długości. Oblicz, ile siatki należy zakupić, aby ogrodzić całą działkę. Zapisz wszystkie obliczenia. A=1.5cm B=2,5cm p=a*b = 1,5*2,5= 3,75 cm2 Odpowiedź: Na planie w skali 1:2000 trzeba zakupić 3,75 cm2 siatki. 5. Działka ma kształt prostokąta, którego szerokość wynosi 24 m, a długość jest 2 razy większa. Na kwiaty i warzywa przeznaczono 80% powierzchni działki, a pozostałą część na pasiekę. Ile metrów kwadratowych działki przeznaczono na pasiekę? Zapisz obliczenia. A=24m p=a*b = 24*48 = 1152 m2 B=48m Odpowiedź: Na pasiekę przeznaczono 1152 m2 działki.

7. Oś Liczbowa I jej “mieszkańcy”

Od początku Oś liczbowa - prosta, na której ustalono zwrot, obrano punkt O i ustalono jednostkę odległości. Każdemu punktowi osi przyporządkowujemy liczbę rzeczywistą, która jest jej odległością od punktu O, opatrzoną znakiem + (plus) lub - (minus) w zależności od tego, czy punkt leży z prawej czy lewej strony punktu O. Oś liczbową możemy porównać do drogi, na której ustawione są domy w równych odległościach

Co „mieszka” na osi Każda oś posiada: Kierunek Punkt zerowy Jednostki Nazwę

Zastosowanie osi Oś liczbową wykorzystujemy: -podczas obliczeń z liczbami ujemnymi -rysując układ współrzędnych -podczas obliczeń przestrzennych, np. długość drogi hamowania pojazdu -przyrządy codziennego użytku (np. termometr, aparat, gitara)

Oś w muzyce Gdyby usunąć pudło gitary i zostawić sam gryf ujrzymy 6 bądź 4 osie liczbowe, której wyznacznikami są progi gitary

Zadanie z osią – obliczanie drogi hamowania Samochód wpadł w poślizg. Kierowca usiłował go zatrzymać przejeżdżając spory kawałek drogi. Wiadomo w którym miejscu kierowca stracił panowanie nad pojazdem. Policja wyznaczyła punkt zero przebytej trasy w miejscu żółtego budynku. Samochód straży stoi na miejscu zatrzymania się pojazdu. Oblicz długość drogi hamowania kierowcy siedzącego w czarnym kapeluszu w jego niebieskim samochodzie. Kierowca wg rysunku stoi w punkcie – 6 Policja stoi w punkcie 7 Obliczenia: 7 + (-6) = 13 Odpowiedź: Droga hamowania kierowcy wynosi 13 m

Zadanie – obliczanie tor spadania Spadochroniarz postanawia skoczyć z samolotu, który leci 1533 metry nad ziemią. Niestety spadochron nie zadziałał i kamikadze spada. Kurs został źle obrany i nieszczęśnik trafia 2612 metry pod powierzchnią oceanu. Oblicz długość jego toru upadku. Samolot „zawisnął” w punkcie 1533 Spadochroniarz utonął w punkcie – 2612 Obliczenia: 1533 + (-2612) =4145 Odpowiedź: Tor upadku ma długość 4145 metrów

Oś w życiu codziennym Osie możemy zobaczyć również na przedmiotach powszechnie używanych

8. BIBLIOGRAFIA http://www.math.edu.pl http://www.megamatma.pl http://pl.wikipedia.org http://www.sciaga.pl http://zadane.pl http://www.e-zadania.pl