Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia) Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 1 im. Żołnierzy Armii Krajowej w Gryficach ID grupy: 98/22_mf_g1 Kompetencja: Matematyczno-Fizyczna Temat projektowy: „Fotografując uczymy się geometrii” Semestr/rok szkolny: II/ 2010/2011

Dwusieczna kąta.

Definicja Zbiór punktów płaszczyzny/przestrzeni leżących w równej odległości od ramion kąta płaskiego / ścian kąta dwuściennego.

Własności Dwusieczna kąta płaskiego to prosta (dla kąta dwuściennego - płaszczyzna) przechodząca przez wierzchołek kąta (dla kąta dwuściennego przez krawędź) i dzielącą go na dwa kąty przystające (stąd nazwa: dwu-sieczna = krojąca na połowy). Dwusieczna jest jedyną osią symetrii kąta.

W każdym kącie płaskim dwusieczną można skonstruować cyrklem i linijką.

Podstawowe twierdzenia Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie (w środku okręgu wpisanego w trójkąt).

Dwusieczna Dowód. Dwusieczne dwóch kątów trójkąta nie są równoległe, więc przecinają się. Oznaczmy punkt ich przecięcia przez P. P leży na dwusiecznej kąta C, więc w równych odległościach od boków a i b. P leży też na dwusiecznej kąta B, zatem w równych odległościach od boków a i c. Skoro P leży w tej samej odległości od boków b i c, to leży na dwusiecznej kąta A, jest więc punktem wspólnym trzech dwusiecznych.

Podstawowe twierdzenia cd. Dwusieczne kątów czworokąta wypukłego przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków tego czworokąta są równe.

Symetralna odcinka Prosta prostopadła do danego odcinka i przechodząca przez jego środek. Równoważnie - prosta będąca zbiorem punktów równo oddalonych od obu końców odcinka. Poprawność drugiej definicji wynika z twierdzenia mówiącego, że taki zbiór punktów faktycznie tworzy prostą

Symetralna jest jedną z dwóch osi symetrii odcinka.

własności Tylko w niektórych czworokątach symetralne przecinają się w jednym punkcie np. kwadracie, rombie... Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest równo oddalony od jego wierzchołków. Wszystkie punkty leżące na symetralnej odcinka są równo oddalone od jego końców.

Rzuty figur przestrzennych na płaszczyznę. Geometria wykreślna to powstały pod koniec XVIII w. dział geometrii zajmujący się sposobami przedstawiania figur przestrzennych na płaszczyźnie. W odróżnieniu od geometrii teoretycznej jest nauką stosowaną, użyteczną w wielu dziedzinach techniki. Z niej wywodzi się m.in. rysunek techniczny maszynowy.

cd. Obrazowanie figur przestrzennych możliwe jest dzięki rzutom Monge'a. Ichidea polega na przedstawieniu przestrzeni trójwymiarowej z dwóch różnych kierunków widzenia (rzutowania). Dzięki temu położenie obiektów geometrycznych takich jak punkt i większości prostych staje się jednoznaczne i możliwe do odwzorowania na kartce papieru.

cd. Najczęściej stosowane są rzuty prostokątne (kierunek rzutowania jest prostopadły do rzutni) i prostopadłe (kierunki rzutowania są prostopadłe względem siebie). Tak uzyskane rzuty umownie nazywa się widokiem z góry i widokiem z boku. Możliwe jest wprowadzanie dodatkowych rzutni, o dowolnym usytuowaniu w celu ułatwienia, bądź przeprowadzenia konstrukcji

cd. Rzut – w geometrii odwzorowanie przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej na daną powierzchnię zwaną rzutnią, które każdemu punktowi przestrzeni przypisuje punkt przecięcia się z rzutnią pewnej prostej z danej rodziny prostych rzutujących przechodzącej przez punkt .

W zależności od definicji rodziny prostych rzutujących wyróżnia się rzuty: rzut równoległy – wszystkie proste rzutujące są równoległe do obranego kierunku prostokątny – kierunek rzutowania jest prostopadły do rzutni ukośny – kierunek rzutowania nie jest prostopadły do rzutni aksonometria – dostosowanie kierunku rzutowania i orientacji rzutni do kształtu rzutowanego obiektu rzut środkowy (perspektywa) – wszystkie proste rzutujące przechodzą przez pewien punkt zwany środkiem rzutu

rzutnia Rzutnia jest najczęściej płaszczyzną, choć stosuje się również rzuty na powierzchnię kuli, walca, stożka i inne.

Rzut można także rozumieć jako funkcję odwzorującą płaszczyznę na pewną jej prostą (będącą rzutnią) i ogólniej jako funkcję odwzorującą n- wymiarową przestrzeń euklidesową na pewną jej hiperpłaszczyznę.

Rzuty figur

GRANIASTOSŁUPY I OSTROSŁUPY PRAWIDŁOWE

Graniastosłupy Graniastosłup (wielościan) jest figurą przestrzenną, której obie podstawy są równoległymi wielokątami przystającymi, a ściany boczne są równoległobokami. Krawędzie boczne graniastosłupa są równoległe i mają jednakową długość.

Wśród graniastosłupów wyróżniamy: Graniastosłupy proste Krawędzie boczne graniastosłupów prostych są prostopadłe do obydwóch podstaw. Graniastosłupy pochyłe Podstawy graniastosłupów pochyłych są równoległe, a krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw. Ze względu na kształt podstawy wyróżniamy graniastosłupy: trójkątne, czworokątne, pięciokątne itd.

Graniastosłup prawidłowy Graniastosłupem prawidłowym nazywamy taki graniastosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny (trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt foremny, sześciokąt foremny...).

Graniastosłup prawidłowy Prostopadłościan Prostopadłościanem nazywamy graniastosłup prosty, którego wszystkie ściany są prostokątami. a, b - krawędź podstawy H - wysokość prostopadłościanu (krawędź boczna) c - przekątna podstawy x - przekątna ściany bocznej d - przekątna prostopadłościanu

Graniastosłup prawidłowy Sześcian Sześcianem nazywamy prostopadłościan, który ma wszystkie krawędzie równej długości. Jego wszystkie ściany są kwadratami. a - krawędź sześcianu, c - przekątna podstawy i ściany bocznej (w sześcianie są równe) d - przekątna sześcianu Sześcian jest szczególnym przypadkiem prostopadłościanu.

Graniastosłup prawidłowy Graniastosłup prawidłowy trójkątny Graniastosłupem prawidłowym trójkątnym nazywamy graniastosłup, którego podstawą jest trójkąt równoboczny, a jego ściany boczne są przystającymi (równymi) prostokątami. a - krawędź podstawy H - wysokość graniastosłupa h - wysokość podstawy c - przekątna ściany bocznej

Graniastosłup prawidłowy Graniastosłup prawidłowy czworokątny Graniastosłupem prawidłowym czworokątnym nazywamy graniastosłup, którego podstawą jest kwadrat, a jego ściany boczne są przystającymi (równymi) prostokątami. a - krawędź podstawy H - wysokość graniastosłupa c - przekątna podstawy d - przekątna graniastosłupa x - przekątna ściany bocznej

Ostrosłupy Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego jedna ściana, zwana podstawą ostrosłupa, jest dowolnym wielokątem, a pozostałe ściany, nazywane ścianami bocznymi ostrosłupa, są trójkątami o wspólnym wierzchołku.

Ostrosłupy Przekrojem ostrosłupa nazywamy część wspólną ostrosłupa i płaszczyzny (przekrój poprzeczny - płaszczyzna przecina wszystkie krawędzie boczne, przekrój przekątny - płaszczyzna przechodzi przez dwie krawędzie nie należące do jednej ściany).

Ostrosłupy Ostrosłup nazywamy ostrosłupem prawidłowym, gdy jego podstawą jest wielokąt foremny i spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie. Jeżeli ostrosłup jest prawidłowy, to wszystkie jego krawędzie boczne są równe, wszystkie kąty nachylenia krawędzi bocznych do płaszczyzny podstawy mają równe miary, wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

Ostrosłupy Czworościanem foremnym nazywamy ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi. H - wysokość czworościanu, a - krawędź czworościanu

Ostrosłupy Ostrosłupem ściętym nazywamy część Ostrosłupa zawartą między jego podstawą i przekroje płaszczyzną równoległą do podstawy wraz z tą płaszczyzną. Ściany boczne ostrosłupa ściętego są trapezami. Podstawy ostrosłupa ściętego są wielokątami podobnymi.

Długości okręgu i jego łuku.

Wzór na długość okręgu Wzór na długość okręgu: l=2*pi*r. Wzór na pole koła: pi*r^2. Pi jest w przybliżeniu równe 3,14. Na pierwszym rysunku jest okrąg o promieniu r, a na drugim koło o promieniu r.

Zastosowanie wzoru:

Długość łuku Na pierwszym rysunku jest okrąg i dwa promienie tworzące kąt alfa. Wyznaczają one łuk okręgu. Długość tego łuku można policzyć ze wzoru iloraz miary kąta alfa przez 360 stopni razy 2*pi*r. Na drugim rysunku jest koło i dwa promienie tworzące kąt alfa. Wyznaczają one wycinek koła. Pole tego koła można wyliczyć ze wzoru iloraz miary kąta alfa przez 360 stopni razy pi*r^2. Pi w przybliżeniu jest równe 3,14. Na trzecim rysunku jest również koło i dwa promienie tworzące kąt alfa. Jeżeli połączymi końce promieni odcinkiem wyznaczymy w ten sposób odcinek koła. Pole tego odcinka liczymy odejmując od pola wycinka koła pole trójkąta jaki tworzą promienie i odcinek łączący końce promieni

Jak to wygląda w praktyce:

Figury, które mają oś symetrii i figury, które mają środek symetrii.

Oś symetrii: Oś symetrii figury jest prostą, względem której ta figura jest do siebie osiowo symetryczna. Oś symetrii dzieli figurę na dwie przystające części.

Przykłady figur z jedną osią symetrii: Trójkąt równoramienny:

Przykłady figur z jedną osią symetrii: Trapez równoramienny:

Przykłady figur z dwiema osiami symetrii: Romb:

Przykłady figur z dwiema osiami symetrii: Odcinek:

Przykłady figur z dwiema osiami symetrii: Prostokąt:

Inne mające osie symetrii Wieża Eiffla

Inne mające osie symetrii Flaga Wielkiej Brytanii

Inne mające osie symetrii Odbicie w jeziorze

Inne mające osie symetrii Motyl

Środek symetrii Środek symetrii figury jest punktem, względem którego ta figura jest do siebie środkowosymetryczna. Figura obrócona o 180˚ wokół swojego środka symetrii nałoży się na siebie.

Figury, które mają środek symetrii Prostokąt:

Figury, które mają środek symetrii Odcinek:

Figury, które mają środek symetrii Koło:

Figury, które mają środek symetrii Sześciokąt foremny:

Wielokąty przystające i podobne

Wielokąty podobne Figury podobne Dwie figury geometryczne nazywamy figurami podobnymi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje przekształcenie geometryczne, zwane podobieństwem, takie że obrazem figur jest figura Figury podobne oznaczamy

Wielokąty podobne - obraz

Wielokąty przystające Figury przystające są to figury, które mają taki sam kształt i wielkość. Jeśli "nałożysz" jedną figurę na drugą, to idealnie się pokryją. Figurę przystającą możemy otrzymać między innymi przez:

Wielokąty przystające Przystające wielokąty Odpowiednie boki oraz kąty wielokątów przystających są równe. Obrazek poniżej Wielokąty również możemy dowolnie obracać czy tworzyć odbicia lustrzane jak wszystkie figury przystające. Ważne jest aby odpowiednie kąty oraz boki były równe.

Wielokąty przystające - obraz

Pary figur symetrycznych

Pary figur symetrycznych . Określenia. Istnieją dwa rodzaje symetrii figur na płaszczyźnie: symetria względem prostej i względem punktu. Prosta nazywana jest wtedy osią symetrii, a punkt środkiem symetrii. Dwa punkty nazywamy symetrycznymi względem danej osi, jeżeli leżą na odcinku prostopadłym do osi i są od niej równo oddalone. Aby więc otrzymać punkt symetryczny do punktu A lub B względem osi xy , należy z punktu A lub B poprowadzić prostopadłą do tej osi i odłożyć OA1 = OA, lub O'B1 = BO'. Oczywiście, istnieje tylko jeden punkt symetryczny do danego względem danej osi (dlaczego?). Dwie figury nazywamy symetrycznymi do siebie względem danej osi, jeżeli każdemu punktowi jednej figury odpowiada punkt drugiej figury, symetrycznie do niego względem tej osi położony. Jeżeli dana figura jest tego rodzaju, że wszystkie jej punkty są parami symetrycznie położone względem pewnej prostej, to tę figurę nazywamy figurą symetryczną. Składać się ona będzie z dwóch części, symetrycznie do siebie względem tej osi położonych. Figurę symetryczną do danej nazywamy jej obrazem symetrycznym. Tak więc np. punkt A1 jest obrazem symetrycznym punktu

Pary figur symetrycznych c.d. Twierdzenie. Obraz symetryczny danego odcinka względem osi jest odcinkiem równym danemu. Weźmy najpierw odcinek AC , który ma jeden punkt wspólny C z osią symetrii xy. Punktem symetrycznym do punktu A będzie punkt A1, położony na prostopadłej AA1 i będący w równej odległości od osi. Łatwo możemy wywnioskować, że punkty odcinka AC, np. punkt B, będą miały obrazy symetryczne, położone na odcinku A1C. Istotnie, poprowadźmy przez punkt B prostopadłą do osi symetrii, niech ona przetnie odcinek A1C w punkcie B1. Trójkąt AA1C jest równoramienny, więc kąt ACA1 został podzielony osią xy na połowy, a zatem trójkąt BB1C będzie także równoramienny, dlatego że trójkąty prostokątne, na które go podzieliła oś xy, są przystające (II cecha przystawania trójkątów).

Pary figur symetrycznych c.d. Ponieważ punkt ma tylko jeden obraz do siebie symetryczny, widzimy, że i na odwrót: wszystkie punkty symetryczne do punktów odcinka AC będą leżały na odcinku A1C. Możemy więc powiedzieć, że odcinek A1C jest miejscem geometrycznym punktów symetrycznych do punktów odcinka AC, tzn. jest obrazem symetrycznym odcinka AC. Oczywiście AC = A1C. To samo da się powiedzieć o odcinkach BC i B1C: BC = B1C. Stąd, po odjęciu, dostajemy AB = A1B1, cbdd. Uwaga. Jak należałoby poprowadzić rozumowanie, gdyby dany odcinek AB (ani jego przedłużenie) nie przecinał osi, zobaczymy później.

Pary figur symetrycznych c.d. Z tego, co powiedzieliśmy, wynika, że 1. Odcinek jest figurą symetryczną, której osią symetrii jest prosta prostopadła, przechodząca przez środek odcinka. 2. Kąt jest figurą symetryczną, której osią jest dwusieczna kąta. 3. Trójkąt równoramienny jest figurą symetryczną względem wysokości (za podstawę wzięty jest bok nierówny). Trójkąt równoboczny jest figurą symetryczną względem każdej ze swych wysokości.

Okrąg opisany na trójkącie

Okrąg opisany na trójkącie Okrąg opisany na wielokącie – okrąg, na którym leżą wszystkie wierzchołki wielokąta. Na wielokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy symetralne jego wszystkich boków przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest wówczas środkiem okręgu opisanego. Wynika stąd, że na żadnym wielokącie niewypukłym nie da się opisać okręgu. Również nie na każdym wielokącie wypukłym można go opisać. Można to jednak zrobić dla każdego trójkąta, prostokąta oraz wielokąta foremnego.

Okrąg opisany na trójkącie c.d. Okrąg można opisać na każdym trójkącie. Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie o bokach równych odpowiednio a, b, c. Promień możemy wyznaczyć też z twierdzenia sinusów, ze wzoru: Przykład Wystarczy znać długość boku i leżącego naprzeciwko niego kąta, np. mając dane a i α obliczamy Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy c/2. Przeciwprostokątna c jest zarazem średnicą tego okręgu, a kąt prosty trójkąta - oparty na średnicy. Z kolei w przypadku trójkąta równobocznego o boku a stosuje się wzór:

Okrąg wpisany w trójkąt Okrąg wpisany w wielokąt to okrąg, który jest styczny do każdego boku wielokąta. Odcinki łączące środek okręgu wpisanego z punktami styczności na bokach wielokąta są do nich prostopadłe i są promieniami tego okręgu. Czasem używa się także pojęcia koła wpisanego w wielokąt - jest to koło, które mieści się w nim całe i którego brzeg dotyka wszystkich boków wielokąta. Nie w każdy wielokąt można wpisać okrąg. Można tego jednak dokonać m.in. dla każdego trójkąta oraz każdego wielokąta foremnego. W czworokąt można go wpisać wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych jego boków są równe. Pole wielokąta, w który można wpisać okrąg jest równe iloczynowi połowy jego obwodu i długości promienia tego okręgu.

Okrąg wpisany w trójkąt c.d.

BADANIE ZALEŻNOŚCI W TRÓJKĄCIE PROSTOKĄTNYM .

Zależności w trójkącie prostokątnym

Zależności w trójkącie prostokątnym cd. Ponieważ a, b i c są całkowite (i dodatnie), to z ostatniego równania wynika, że c=1 . Ale wówczas nie istnieją liczby całkowite dodatnie takie, że a2+b2=1- sprzeczność. Nie ma prostokątów o podanej własności. (Być może można to było zrobić krócej.)

Trójkąt prostokątny Trójkąt prostokątny - trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty . Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną. Szczególnym rodzajem trójkąta prostokątnego jest trójkąt pitagorejski tj. taki, w którym długości boków są liczbami naturalnymi. Najprostszy z nich to trójkąt egipski o stosunkach długości boków 3:4:5 [1]. Trójkąt prostokątny jest figurą, na której opierają się podstawowe definicje funkcji trygonometrycznych kątów przy przeciwprostokątnej.

Trójkąt prostokątny

Zależności między bokami w trójkątach ekierkach W trójkącie prostokątnym równoramiennym: obie przyprostokątne mają taką samą długość jeśli znasz przyprostokątną, to przeciwprostokątną obliczysz mnożąc przyprostokątną przez jeśli znasz przeciwprostokątną, to przyprostokątną obliczysz dzieląc przeciwprostokątną przez

Trójkąt prostokątny równoramienny

Zależności między bokami w trójkątach ekierkach cd. W trójkącie prostokątnym z kątami 30° i 60° : naprzeciw kąta 30° leży krótsza przyprostokątna przeciwprostokątna jest dwa razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej jeśli znasz krótszą przyprostokąna, to dłuższą obliczysz mnożąc krótszą przez jeśli znasz dłuższą przyprostokątną, to krótszą obliczysz dzieląc dłuższą przez

Trójkąt prostokątny z kątami 30° i 60°

Możesz liczyć inaczej Jeśli nie chcesz lub nie potrafisz zapamiętać i stosować poznanych zależności, to wystarczy, że w każdym konkretnym zadaniu, w którym napotkasz trójkąt "ekierkę" odnajdziesz proste związki między bokami tego trójkąta, korzystając z twierdzenia Pitagorasa ułożysz odpowiednie równanie, rozwiążesz to równanie.

Przykład 1

Przykład 2

Przykład 3

Pary figur symetrycznych względem prostej i punktu .

Symetria figur płaskich O symetrii figur płaskich względem prostej mówi się prawidłowo, że jest to symetria względem osi symetrii. Dwie figury nazywamy symetrycznymi do siebie względem danej osi, kiedy każdemu punktowi jednej figury odpowiada punkt drugiej figury, symetrycznie do niego względem tej osi położony. Jeśli dowolna figura płaska wygląda tak, że wszystkie jej punkty są parami symetrycznie położone względem pewnej prostej, to tę figurę nazywamy figurą symetryczną.

Figura płaska względem prostej

Symetria figur płaskich cd. Składa się ona wtedy z dwóch części, symetrycznie do tej osi położonych względem siebie. Kiedy mamy figurę symetryczną do każdej wybranej to nazywamy ją wtedy obrazem symetrycznym, czyli obraz symetrii trójkąta względem osi to trójkąt do niego przystający. O symetrii dwóch figur płaskich względem wybranego punktu mówimy, kiedy każdemu punktowi jednej figury odpowiada punkt drugiej figury, symetrycznie do niego względem tego punktu położony. Kiedy wybrana figura wygląda tak, że wszystkie jej punkty są parami symetrycznie położone względem pewnego punktu jako środka, to nazywamy tę figurę środkowo symetryczną. I tak okrąg jest figurą symetryczną względem swego środka oraz obraz symetryczny prostokąta względem pewnego środka to prostokąt do niego przystający.

Pary figur symetrycznych względem prostej przykład 1

Przykład 2

Przykład 3

Pary figur symetrycznych względem punktu przykład1

Przykład 2

zdjęcie

zdjęcie

zdjęcie

zdjęcie

zdjęcie

zdjęcie