HISTORIA LICZBY. Dane INFORMACYJNE : Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 5 w Poznaniu ID grupy: 98/30_mf_g2 Opiekun: Olga Jakubczyk Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: HISTORIA LICZBY. Semestr III rok szkolny 2010/2011

HISTORIA LICZBY

System liczbowy to zbiór reguł jednolitego zapisu i nazewnictwa liczb System liczbowy to zbiór reguł jednolitego zapisu i nazewnictwa liczb. Do zapisywania liczb używa się pewnego skończonego zbioru znaków (cyfr), które można zestawiać ze sobą na różne sposoby otrzymując nieskończoną liczbę kombinacji. Celem projektu jest przedstawienie historii systemów zapisu liczb.

Wynalazek Cyfr

Kilka faktów o wynalezieniu cyfr Cyfra to umowny znak pisarski służący do zapisywania liczb. Już w trzecim tysiącleciu p.n.e. używano w Egipcie hieroglifów do oznaczania jednostek, dziesiątek i tak dalej aż do 10 000 000. Innych cyfr używano w Babilonii (tzw. babiloński system liczbowy), jeszcze innych w starożytnej Grecji i Rzymie. Liczba znaków służących do zapisu jest zależna od systemu liczbowego i przyjętego sposobu zapisu. 10 w systemie dziesiętnym, 16 - w szesnastkowym, ale w rzymskim już tylko siedem (I, V, X, L, C, D, M).

Rozpowszechnione obecnie tak zwane cyfry arabskie (układ dziesiętny) pochodzą naprawdę z Indii. Arabowie tylko sprowadzili je z Indii wraz z tablicą rachunkową zwaną (zbliżoną do dzisiejszego liczydła) do Europy - między X a XIII w. Dzieło Leonardo Pisano o abakusie podkreślające praktyczność arabskiego systemu zainteresowało kupców włoskich. W ten sposób w XIII wieku arabska notacja upowszechniła się we włoskich księgach handlowych, a w XIV wieku trafiła do epigrafiki kościelnej by w XVI wieku wyprzeć całkowicie cyfry rzymskie z potocznego użycia.

Wczesne średniowiecze używa wyłącznie cyfr rzymskich, na ogół nie zmienionych, tylko cyfry i liczby 4, 9, 40, 90 pisze się częściej IIII, VIIII, XXXX, LXXX niż IV, IX, XL, XC. Natomiast wielokrotność setek oznaczano przez powtarzanie litery C, np. CCC = 300. Połowę oznaczano przez przekreślenie cyfry. W niektórych systemach do zapisu liczb służyły kolejne litery alfabetu, najpierw dla kolejnych wartości 1 do 9, potem dalej dla kolejnych wielokrotności 10 i itd. - "1" i "10" zapisywano innymi znakami. Taki zapis stosowano np. w alfabetach: hebrajskim, starosłowiańskim (głagolica) i greckim.

Cyfry były składnikiem wielu pism Wyróżnia się między innymi: cyfry arabskie cyfry cyrylickie (słowiańskie) cyfry egipskie hieroglificzne cyfry greckie (starogreckie) cyfry Majów cyfry hebrajskie cyfry rzymskie cyfry babilońskie

W przeciągu lat stworzono wiele odrębnych systemów liczbowych charakterystycznych dla rejonu występowania. Kilka z nich zostanie przedstawionych w poniższej prezentacji 

Grecki system Liczbowy

CYFRY GRECKIE

Troszkę o alfabecie Pewnie znacie kilka z tych liczb, choćby nawet z przedmiotów szkolnych takich jak: matematyka, fizyka, chemia- nawet o tym nie wiedząc... Najczęściej używane liczby greckie to: alfa, beta, gamma i delta... Słyszeliście pewnie taki związek frazeologiczny jak ''alfa i omega‘‘ - oznacza on początek i koniec, dlatego, że alfa jest pierwszą liczbą grecką, a omega ostatnią... Alfa i omega można powiedzieć także o kimś kto jest wielkim autorytetem...

Przykładowe działania a + b = g 1 + 2 = 3 d + m = md 4 + 40 = 44 t + f = w 300 + 500 = 800 p + k + r = s 80 + 20+100 =200

Liczby od napisów odróżniano przez pisanie nad liczbami poziomej kreski, natomiast cyfrę tysięcy pisano dużą literą, lub poprzedzano kreską u dołu. Przykładowo, liczba 1234 mogła zostać zapisana na dwa sposoby:

Rzymski system liczbowy

Historia liczb rzymskich System rzymski zapisywania liczb wykorzystuje cyfry pochodzenia etruskiego, które Rzymianie przejęli i zmodyfikowali ok. 500 p.n.e. Nadaje się on, co prawda, do wygodnego zapisywania liczb, jest jednak niewygodny w prowadzeniu nawet prostych działań arytmetycznych, oraz nie pozwala na zapis ułamków.

Według rzymskiej legendy Romulus - założyciel i pierwszy król Rzymu - podzielił rzymski rok na dziesięć miesięcy. Oto lista rzymskich miesięcy z wyjaśnieniem znaczenia ich nazw: Martiu         miesiąc boga Marsa Aprilis           pochodzenie nieznane Maius           miesiąc Mai, matki Merkurego Junius           miesiąc bogini Junony Quintilis        piąty miesiąc Sextilis          szósty miesiąc September    siódmy miesiąc October        ósmy miesiąc November    dziewiąty miesiąc December     dziesiąty miesiąc  

W tym systemie rok miał tylko 304 dni, toteż król Numa dodał później dwa miesiące: Januarius (miesiąc boga Janusa) i Februarius (miesiąc oczyszczenia). W 153 roku p.n.e. początek Nowego Roku przesunięto z marca na 1 stycznia. Nawet z dwoma dodatkowymi miesiącami rok liczył tylko 355 dni, więc Rzymianie wciąż musieli dodawać dodatkowe dni, aby kalendarz sprawnie funkcjonował.

Rzymskie daty Każdego miesiąca daty obliczano w odniesieniu do specjalnych dni, znanych jako Kalendy, Idy i Nony. Oto te szczególne dni: Kalendy  - pierwszy dzień każdego miesiąca Idy          - 15 dzień marca, maja, lipca oraz października i 13 dzień wszystkich pozostałych miesięcy Nony       - 7 dzień marca, maja, lipca oraz października i 5 dzień wszystkich pozostałych miesięcy Daty obliczano wstecz od Kalend, Id i Non

Rzymskie dni tygodnia Przez większość swojej historii Rzymianie nie mieli tygodni w naszym rozumieniu tego słowa, chociaż co osiem dni następował dzień targowy. W 321 roku n.e. cesarz Konstantyn wprowadził nowy, siedmiodniowy tydzień, którego pierwszym dniem była niedziela. Rzymianie wierzyli, że Słońce i Księżyc są planetami i uważali, że łącznie istnieje siedem planet. Nazwano je na cześć rzymskich bogów i bogiń, a dni tygodnia otrzymały nazwy planet:

niedziela        dies Solis (dzień Słońca) poniedziałek  dies Lunae (dzień Księżyca) wtorek            dies Martis (dzień Marsa) środa              dies Mercurii (dzień Merkurego) czwartek         dies Jovis (dzień Jowisza) piątek             dies Veneris (dzień Wenus) sobota            dies Saturni (dzień Saturna)

Jakich znaków używa się do zapisywania liczb systemem rzymskim? I = 1 L = 50 C = 100 V = 5 D = 500 X = 10 M = 1000

C pochodzi od słowa centum = 100 M pochodzi od słowa mille = 1000

Liczby powstają z dodawania znaków. 6 = (V + I) = VI 11 = (X + I) = XI 60 = (L + X) = LX 110 = (C + X) = CX 600 = (D + C) = DC 1100 = (M + C) = MC

Liczby powstają również z odejmowania znaków. 4 = (V – 1) = IV 9 = (X – I) = IX 40 = (L – X) = XL 90 = (C – X) = XC 400 = (D – C) = CD 900 = (M – C) = CM

Jakie są inne zasady obowiązujące przy tworzeniu liczb systemem rzymskim? Obok siebie można zapisać tylko trzy jednakowe znaki I, X, C, M. Nie wolno powtarzać obok siebie znaków V, L, D.

Spróbuj zapisać liczby znakami rzymskimi: 78=LXXVIII 94=XCIV 116=CXVI 465=CDLXV 999=CMXCIX

Spróbuj odczytać liczby zapisane znakami rzymskimi: XLV = 45 LXXIX=79 CCXLVI=246 CDXCIV=494 MMM=3000

Jak zapisać systemem rzymskim większe liczby? ICI = 10 000 IXLVII = 4 600 IDCIVI = 60 400 Liczby w pionowych kreskach zwiększają swoją wartość stukrotnie.

Liczby podkreślone u góry zwiększają swoją wartość tysiąckrotnie. Jak zapisać jeszcze większe liczby systemem rzymskim? XXX = 30 000 DV = 505000 MM = 2 000 000 Liczby podkreślone u góry zwiększają swoją wartość tysiąckrotnie.

XV Konkurs Chopinowski Gdzie dzisiaj używa się zapisu liczb systemem rzymskim? Przy zapisywaniu dat i wieków 11 XI 1918 Przy numeracji ważnych rocznic XV Konkurs Chopinowski Przy imionach kolejnych królów Zygmunt III Waza

Gdzie jeszcze używa się zapisu liczb systemem rzymskim? Do oznaczania godzin na tarczy zegarowej Przy numeracji rozdziałów Na tablicach pamiątkowych W inskrypcjach

PROSTSZA NOTACJA WYKŁADNICZA

Prostsza notacja wykładnicza Postać wykładnicza to zapis liczby bezpośrednio w formie iloczynu postaci: gdzie: - M jest mantysą znormalizowaną do przedziału [1,10) - E jest wykładnikiem całkowitym. Notacja wykładnicza to uproszczony zapis bardzo dużych liczb i bardzo małych liczb.

Przykłady ZASTOSOWANIA NOTACJI WYKŁADNICZEJ: Za pomocą potęg o wykładnikach naturalnych zapisuje się bardzo duże liczby, np:   - masa Ziemi wynosi 5,976•1024 kg, - największa ryba świata- płetwal błękitny waży 1,2•105 kg, Za pomocą potęg o wykładniku całkowitym ujemnym określamy bardzo małe liczby, np: - masa najmniejszego ptaka - kolibra wynosi 2•10-3 kg - masa atomu wodoru 1,67•10-27 kg

System babiloński

Znaki babilońskie Babilońskich znaków używano w Mezopotamii około 5000 lat temu. Zachowały się do naszych czasów na glinianych tabliczkach. Wśród tych tablic uczeni znaleźli sporo tablic, na których wypisana jest cała wiedza matematyczna Babilonii. Babilończycy pisali pismem klinowym. Liter klinowych było dużo, ale znaków cyfrowych było niewiele. Babilończycy, którzy byli sławni za swoje słynne obserwacje astronomiczne i obliczenia, korzystali z pozycyjnego systemu sześćdziesiątkowego (systemu liczbowego o podstawie 60), który towarzyszy nam jeszcze dziś. Do dzisiaj dzielimy godziny na sześćdziesiąt minut, minuty na sześćdziesiąt sekund.

To nie jest takie trudne! System babiloński może wydawać się skomplikowany, jednak w rzeczywistości Babilończycy potrzebowali tylko dwóch symboli - dla oznaczenia jedności i dziesiątek. Znak    oznaczał jedności, znak  oznaczał dziesiątki. Ich cyfry były zbudowane właśnie z tych dwóch znaków.

Babilończycy nie znali cyfry zero Babilończycy nie znali cyfry zero. Zamiast zera pozostawiali na danej pozycji puste miejsce. Problem pojawiał się wtedy, gdy obok siebie było kilka takich pustych miejsc. Jednak w rachunkach starożytności nie operowano olbrzymimi wartościami, więc puste miejsca obok siebie w zapisie babilońskim były raczej rzadkością. W późniejszym okresie zaczęto takie puste miejsca zaznaczać małą, pionową kreseczką umieszczoną u góry.

Cyfry…

Wielki sennik babiloński

System egipski

Starożytne cyfry egipskie były używane w Egipcie aż do wczesnych lat pierwszego tysiąclecia naszej ery. Był to system dziesiętny, często zaokrąglany w górę, zapisywany przy użyciu hieroglifów. System zapisu przez hieratykę wymuszał skończony zapis liczb.

Opis znaków z tabeli: Pojedyncze pociągnięcie Kości pięty Kłębek liny Grzebień egipski Palec Kijanka lub żaba Człowiek wznoszący ręce

System indyjski

Historia systemu System liczbowy Indii tworzył podstawę obecnie stosowanych europejskich systemów liczbowych. Historia przyjęcia przez Europę tego systemu liczbowego nie była jednak prosta. Wschodnie i zachodnie części świata arabskiego w różny sposób rozwijały indyjski system liczbowy i w niewielkim stopniu  integrowały się między sobą. Zachodnia część arabskiego świata to Północna Afryka i Hiszpania. Głównie drogą poprzez Hiszpanię do Europy zawitał nowy system liczbowy.

Zagadnienie to nie jest jednak proste, gdyż Arabowie w XI wieku używali co najmniej trzy różne rodzaje systemów arytmetycznych, tj.: system bazujący na liczeniu na palcach z liczbami zapisywanymi wyłącznie przy pomocy słów (używany był w handlu); system sześćdziesiętny z liczbami zapisywanymi  arabskimi literami (pochodzi od systemu babilońskiego, używany był w astronomii) oraz arytmetyka indyjska  z pozycyjnymi ułamkami dziesiętnymi, w którym używano tablic pyłowych niezbędnych do przesuwania i ścierania liczb (podobne do naszych tablic z kredą).

dwie wersje cyfr arabskich Obecnie istnieją dwie wersje cyfr arabskich, różniące się wyglądem kilku cyfr: tzw. cyfry indyjsko - arabskie – stosowane obecnie w krajach arabskojęzycznych; przed 1928 r. w. używane także w Turcji. tzw. cyfry wschodnio-indyjsko-arabskie (lub wschodnio - arabskie) – stosowane w innych krajach islamskich, w których niearabski język urzędowy zapisywany jest przy pomocy pisma arabskiego.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ ٠ ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹ cyfry arabskie cyfry indyjsko-arabskie Cyfry wschodnio-indyjsko-arabskie

Przykład ابجد 1–2–3–4 czyli: ج = 3 , ب = 2 , ا = 1 , , د = 4

zastosowanie systemu: w handlu w pracach astronomicznych w życiu codziennym

Pojawienie się systemu dziesiętnego

 System dziesiętny Dla nas naturalnym sposobem prezentacji liczb jest system dziesiętny. Oznacza to, że wyróżniamy dziesięć cytr. Są nimi: zero, jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, sześć, siedem, osiem oraz dziewięć. Oznacza się je odpowiednio: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 oraz 9. Jak widać, wliczając zero, jest ich dziesięć. Spróbujcie uświadomić sobie, że liczenie jest tylko i wyłącznie ILOŚCIĄ, a nie zapisem liczb. Zapis dziesiętny powstał wieki temu, prawdopodobnie, dlatego, że mamy dziesięć palców.

Natomiast co się stanie, gdy będziemy mieli do policzenia jakąś większą ilość? Otóż, przeskakujemy automatycznie, na następną pozycję, a cyfry zwiększmy tylko na pozycji wysuniętej najbardziej w prawo. Właśnie ta najbardziej w prawo wysunięta pozycja jest najsłabsza, a najbardziej w lewo - najmocniejsza. Tym sposobem znowu zwiększamy cyfry, aż uzyskamy dziewięć. Następna liczba, przesunie cyfrę, która znajduje się o jedną pozycję w lewo. Natomiast gdy już nawet dziewiątka będzie na najbardziej w lewo wysuniętej pozycji, dodajemy nową pozycję. Cykl zaczyna się ponownie i tak w nieskończoność. Może wydać się wam to trochę skomplikowane, ale sobie to wyjaśnimy na przykładzie.

PRZYKŁAD: Weźmy liczbę 274, czyli dwieście siedemdziesiąt cztery PRZYKŁAD: Weźmy liczbę 274, czyli dwieście siedemdziesiąt cztery. Na najsłabszej pozycji widnieje cyfra 4. Pozycja ta nosi nazwę pozycji jedności, jeśli pamiętacie ze szkoły podstawowej. Mamy zatem 4 jedności. Na drugiej pozycji jest cyfra 7. Cyfra ta znajduje się na drugiej pozycji, czyli pozycji dziesiątek. Można więc powiedzieć, że jest tam siedem dziesiątek, inaczej mówiąc 70 jedności. Na trzeciej natomiast pozycji jest cyfra 2. Trzecia pozycja to pozycja setek, czyli mam dwie setki. Innymi słowy, liczba 274 to dwie setki, siedem dziesiątek i 4 jedności.

Można to zapisać następująco: 4. 1 + 7. 10 + 2. 100 Można to zapisać następująco: 4*1 + 7*10 + 2*100. Po dokonaniu tegoż działania, wyjdzie 274. Czas, aby się temu działaniu przyjrzeć. Jak widać, każdy kolejny składnik zawiera cyfrę z powyższej liczby oraz ciągle zwiększający mnożnik. Mnożnik ten najpierw jest równy 1, potem 10, a na końcu 100. Znaczy to, że każdy następny jest pomnożony przez 10. Można więc zapisać to jeszcze inaczej. Liczba 274 to tak jak: 4*100 + 7*101 + 2*102. Jak widzimy, mnożnik to liczba 10 z ciągle zwiększającą się potęgą.

POJAWIENIE SIĘ LICZYDŁA

Liczydło powstało w 440 r. p.n.e w Rzymie jako przyrząd wspomagający obliczenia w dawnych czasach. Zwykle w postaci deski z wyżłobieniami, w których umieszczano kamyki, czy też pręciki z koralikami. Każdy z rowków lub pręcików oznaczał pewną potęgę dziesięciu. Zasada liczenia opierała się na przesuwaniu kamyków bądź koralików. W obecnych czasach liczydło zostało wyparte przez kalkulator.

SOROBAN – „TACKA DO LICZENIA"

Soroban przywędrował do Japonii ok. XVI wieku z Chin Soroban przywędrował do Japonii ok. XVI wieku z Chin. Składa się z 23 lub 27 linii przeciętych belką poprzeczną. W jednej linii znajdują się 4 koraliki poniżej belki i 1 koralik powyżej niej. Obliczeń dokonuje się poprzez przesuwanie koralików do lub od belki poprzecznej. Każda pionowa linia przedstawia 1 cyfrę w liczbie. Każdy z koralików poniżej belki poprzecznej ma wartość równą 1, a powyżej niej wartość równą 5.

Zastosowanie sorobanu Można na nim wykonywać dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, a co najważniejsze, algorytmy tych działań są prawie identyczne z pisemnym dodawaniem odejmowaniem, mnożeniem i dzieleniem jakiego uczymy w szkole. Można zatem powiedzieć, że soroban jest mostem pomiędzy fizycznym wyobrażeniem liczby, a jej abstrakcyjną postacią jaką jest cyfra.

W dzisiejszych czasach liczydło zostało wyparte przez kalkulator, z dawnych cyfr stosuje się jedynie cyfry rzymskie i sporadycznie cyfry greckie a większość skomplikowanych obliczeń wykonują za nas programy komputerowe.

DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ 

Bibliografia Podręcznik do matematyki do kl. 2 gimnazjum ,,Matematyka z plusem’’ GWO Podręcznik do matematyki do kl. 2 i kl. 3 gimnazjum ,,Matematyka wokół nas’’ WSIP Zasoby Internetu m.in. http://pl.wikipedia.org