Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego Projekt wykonany przez studentów I roku ARI Politechniki Wrocławskiej: Natalia Czop Dawid Dąbrowski Aneta Górniak Andrzej Jakubiec Piotr Walczak 09 czerwca 2008
Centralne Twierdzenie Graniczne (CTG Lindeberga-Lévy’ego)
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE Rozważmy zmienną losową postaci: m – wartość oczekiwana σ – pierwiastek z wariancji
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE Sn oznacza , gdzie Xi są niezależnymi zmiennymi losowymi o: ● jednakowym rozkładzie ● takiej samej wartości oczekiwanej m ● skończonej wariancji σ 2 > 0
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE Wtedy zmienna losowa o takiej postaci zbiega według rozkładu do standardowego rozkładu normalnego, gdy n (liczba zmiennych losowych tworzących daną sumę) rośnie do nieskończoności.
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE Dla każdego przy
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE Gdzie: to dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE krzywa Gauss’a – funkcja gęstości prawdopodobieństwa standardowego rozkładu normalnego o wartości oczekiwanej równej zeru i wariancji równej 1.
Jak działa CTG ? Xi o rozkładzie Poissona
JAK DZIAŁA CTG? Losujemy n liczb o takim samym rozkładzie Sumę tych n liczb normalizujemy (aby rozkład zbiegał do rozkładu normalnego o parametrach m = 0, σ² = 1 ) Czynność powtarzamy N razy
JAK DZIAŁA CTG? („rysowanie ścieżek” – błądzenie losowe z prawdopodobieństwem z rozkładu Poissona, λ = 5)
JAK DZIAŁA CTG? („rysowanie ścieżek” – błądzenie losowe z prawdopodobieństwem z rozkładu Poissona, λ = 5)
JAK DZIAŁA CTG? („rysowanie ścieżek” – błądzenie losowe z prawdopodobieństwem z rozkładu Laplace’a, l=0, λ = 2)
JAK DZIAŁA CTG? („rysowanie ścieżek” – błądzenie losowe z prawdopodobieństwem z rozkładu Laplace’a, l=0, λ = 2)
Rozkład Poissona To rozkład dyskretny przedstawiający liczbę wystąpień zjawiska w czasie t, w określonej liczbie prób, gdy wystąpienia te są niezależne od siebie.
Rozkład Poissona
sprawdzamy czy histogram jest zbliżony do krzywej Gaussa. JAK DZIAŁA CTG? Rysujemy wykres: Tworzymy histogram na podstawie otrzymanych w wyniku błądzenia losowego sum zmiennych losowych sprawdzamy czy histogram jest zbliżony do krzywej Gaussa.
JAK DZIAŁA CTG? (liczba zmiennych losowych w sumie n = 200, liczba sum N = od 100 do 10 000)
JAK DZIAŁA CTG? (liczba zmiennych losowych w sumie n = 200, liczba sum N = od 100 do 10 000
JAK DZIAŁA CTG? (liczba zmiennych losowych w sumie n = 200, liczba sum N = od 100 do 10 000
JAK DZIAŁA CTG? (liczba zmiennych losowych w sumie n = od 10 do 200, liczba sum N = 10 000)
JAK DZIAŁA CTG? (liczba zmiennych losowych w sumie n = od 10 do 200, liczba sum N = 10 000)
JAK DZIAŁA CTG? (liczba zmiennych losowych w sumie n = od 10 do 200, liczba sum N = 10 000)
Dopasowanie krzywej Gaussa do wykresu rozkładu Poissona
Inne przykłady rozkładu Xi
Rozkład Laplace’a (podwójnie wykładniczy) Matematyczne zastosowania rozkładu Laplace'a można znaleźć w pracy Johnsona i Kotza (Continuous univariate distributions,1995).
Rozkład laplace’a (podwójnie wykładniczy)
Dopasowanie krzywej Gaussa do wykresu rozkładu laplace’a
Rozkład Pascala (ujemny dwumianowy) Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący czas oczekiwania na l-ty sukces . Jeśli l to liczba sukcesów, k - liczba porażek, a p – prawdopodobieństwo sukcesu (w badanych próbach Bernoulliego) to rozkład Pascala opisuje jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia l sukcesów w k+l próbach.
Rozkład Pascala (ujemny dwumianowy)
Dopasowanie krzywej Gaussa do wykresu rozkładu Pascala
Rozkład jednostajny Ciągły Rozkład prawdopodobieństwa, dla którego gęstość prawdopodobieństwa na przedziale (a,b) jest stała i różna od 0, a poza nim równa 0 ( gdzie b > a )
Rozkład jednostajny Ciągły
Dopasowanie krzywej Gaussa do wykresu rozkładu jednostajnego
Rozkład wykładniczy Rozkład zmiennej losowej opisujący sytuację, w której obiekt może przyjmować stany X i Y, przy czym obiekt w stanie X może ze stałym prawdopodobieństwem przejść w stan Y w jednostce czasu.
Rozkład wykładniczy
Dopasowanie krzywej Gaussa do wykresu rozkładu wykładniczego