Dr inż. Bożena Mielczarek Wycena opcji Dr inż. Bożena Mielczarek

Wahania ceny akcji Cena jednostki podlega niewielkim wahaniom dziennym (miesięcznym) wykazując jednak stały trend wznoszący. Cena może się doraźnie obniżać, jednak w dłuższym okresie czasu zaobserwujemy wyraźny średni wzrost. Badania wykazują, że cena jednostki jest dobrze opisana niesymetrycznym rozkładem, w którym wartość maksymalna jest zdecydowanie bardziej oddalona od wartości średniej, niż wartość minimalna. Przyjmuje się, że takim rozkładem może być rozkład lognormalny

Wahania ceny jednostki Pt = P0 eN Pt to cena w momencie t P0 to cena początkowa eN to wskaźnik wzrostu N to wartość uzyskiwana z rozkładu normalnego o średniej μ (ang. Drift=Dryf) i odchyleniu σ (ang. Volatility=zmienność) Parametry te uzyskuje się zwykle ze średniej rocznej stopy przyrostu ceny oraz odchylenia standardowego stopy przyrostu Jeżeli np. średni roczny przyrost ceny wynosi 12% a roczne odchylenie standardowe 30% to odpowiednie miesięczne parametry równają się 1% (=12/12) oraz 8,6% (=30/120,5) Pamiętajmy o pierwiastku!

Wahania ceny jednostki Aby wyznaczyć cenę Pt należy cenę początkową P0 przemnożyć przez wskaźnik eN (wskaźnik wzrostu). Wskaźnik ten uzyskamy generując najpierw wartość N z rozkładu normalnego a następnie wstawiając wyznaczoną wartość jako parametr funkcji EXP(). Formuła na pozyskiwanie wartości zmiennej losowej z rozkładu normalnego to: Rozkład.Normalny.ODW(LOS(), Średnia, Odchylenie) Formuła na pozyskiwanie wartości zmiennej losowej z rozkładu normalnego o średniej 0 i odchyleniu 1: Rozkład.Normalny.S.ODW(LOS(), Średnia, Odchylenie)

Stopa przyrostu ceny μ to średnia procentowa stopa zwrotu z akcji (dryf) σ to odchylenie standardowe dla wzrostu ceny (zmienność) Z to standaryzowana zmienna losowa o rozkładzie normalnym Wartości μ i σ podawane są w postaci liczby, np. μ =0.06 oznacza 6% średni wzrost ceny. Obie wielkości są mierzone dla tej samej jednostki czasu, np. 1 roku

Opcja to prawo a nie obowiązek Opcje Opcja to prawo a nie obowiązek Wartość opcji jest zależna od ceny waloru, będącego przedmiotem transakcji: określonego papieru wartościowego (akcja, obligacja, bon skarbowy), waluty, indeksu giełdowego, stopy procentowej etc. Walor ten nazywa się instrumentem pierwotnym (underlying instrument), a opcja (option) utworzona na jego bazie – instrumentem pochodnym (derivative instrument)

Opcje Opcja jest to umowa między nabywcą (posiadaczem) a sprzedawcą (wystawcą) dająca nabywcy prawo do kupna (opcja kupna) lub sprzedaży (opcja sprzedaży) instrumentu bazowego przed lub w ustalonym dniu w przyszłości po określonej cenie w zamian za opłatę. Pod koniec okresu, na jaki wystawiono opcję, czyli w terminie jej wygaśnięcia, kończy się prawo związane z opcją. Opcja europejska jest instrumentem terminowym, dla którego wykonanie może nastąpić tylko w ostatnim dniu okresu jej życia. Nie można jej wykonać wcześniej ani, oczywiście, później

Wycena opcji na akcję Polecenie 1: Chcemy prześledzić ścieżkę zmiany wartości ceny akcji spółki X w ciągu roku (z krokiem 1 miesiąca oraz z krokiem 1 roku). Należy wykorzystać notowania spółki X z pliku „Notowania.xlsx”, zakładka „Notowania 1” Obliczyć dryf i zmienność z pliku Notowania w ujęciu miesięcznym i rocznym Przeprowadzić dwie symulacje (1 rok) z wykorzystaniem modelu Hulla (model błądzenia geometrycznego): (1) z krokiem miesięcznym i (2) z krokiem rocznym Wykonać 500 powtórzeń dla obu symulacji Wyznaczyć średnią cenę akcji dla obu symulacji

Obliczanie dryfu i zmienności

Polecenie 1 Wykonujemy 500 powtórzeń

Wycena opcji na akcję Polecenie 2: Chcemy zbadać, jaka będzie „dobra” cena za opcję (wyceniamy opcję za pomocą symulacji) Musimy określić średnią wartość zysku z opcji, zdyskontowaną do chwili 0, przy założeniu, że cena akcji zmienia się w warunkach niezależnych od ryzyka. Wartość czynnika dyskontującego niezależnego od ryzyka to e(-r * t) gdzie r - stopa procentowa wolna od ryzyka, t – moment wygaśnięcia opcji na akcję

Polecenie 2 L4=MAX(K4-E8;0) N4=MAX(E8-K4;0)

Polecenie 3 Polecenie 3: Chcemy zbadać, jaka będzie „dobra” cena za opcję (wyceniamy opcję za pomocą modelu Blacka-Scholesa)

Polecenie 3 C17=ROZKŁAD.NORMALNY.S(C15) C18=ROZKŁAD.NORMALNY.S(C16)

Zadanie domowe W przypadku opcji azjatyckich, zysk z opcji zależy NIE od ceny akcji w dniu wygaśnięcia opcji, ale od średniej ceny akcji przez cały czas obowiązywania opcji. Np. jeżeli ceną wykonania opcji jest pe, to zysk z opcji wynosi MAX(pavg-pe ; 0) Aktualna cena akcji to 100 zł. Średnia roczna stopa zwrotu to 10% a roczne odchylenie standardowe to 33%. Jaka jest wartość opcji azjatyckiej, która wygasa za 52 tygodnie (1 rok) z ceną wykonania 100 zł. Proszę założyć, że stopa wolna od ryzyka to 6%.