Program Operacyjny Kapitał Ludzki 2007 – 2013 Projekt ,,Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT” jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki 2007 – 2013 CZŁOWIEK NAJLEPSZA INWYSTYCJA Publikacja jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie.

ŚREDNIE LICZB DODATNICH Projekt wykonywany przez uczniów Gimnazjum nr2 im. Powstańców Wielkopolskich w Wolsztynie ul. Mickiewicza 4 Uczniowska grupa projektowa o profilu matematyczno – fizycznym ID grupy: 98/4_MF_G1 Temat Projektowy: ŚREDNIE LICZB DODATNICH Rok szkolny 2011/2012 Semestr 4

AGENDA Informacje o projekcie: Realizatorzy i patroni projektu; Informacja o projekcie; Główne założenia i cel projektu. Przebieg prac badawczych i doświadczenia. Realizacja projektu. Wyniki prac badawczych.

COMBIDATA Poland sp. Z o.o. Realizatorzy projektu Uniwersytet Szczeciński – lider projektu COMBIDATA Poland sp. Z o.o. - Partner projektu

Patroni projektu Zachodniopomorski Kurator Oświaty Wielkopolski Kurator Oświaty Lubuski Kurator Oświaty

Projekt realizowany jest przez Uniwersytet Szczeciński w partnerstwie z Combidata Poland sp. z o.o. w ramach Programy Operacyjnego Kapitał Ludzki, Priorytet III ,,Wysoka jakość systemu oświaty”, Działanie 3.3 ,,Poprawa jakości kształcenia”, Poddziałanie 3.3.4. ,,Modernizacja treści i metod kształcenia projekty kursowe”. Projekt ,,Z FIZYKA, MATEMATYKĄ I PRZEDSIEBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT!!!” jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego.

Założenia projektu Projekt jest realizowany w województwach: zachodniopomorskim, wielkopolskim, lubuskim w okresie od października 2009r. – sierpnia 2012r. Zostaliśmy zakwalifikowani do projektu jako uczniowie klas pierwszych, gdyż będziemy uczestniczyć w projekcie praktycznie aż do skończenia gimnazjum, a dokładnie do sierpnia 2012r. , mając możliwość kompleksowego i bezpłatnego korzystania z działań, wydarzeń, atrakcji przewidzianych dla nas w projekcie. W naszej szkole zostały utworzone dwie Uczniowskie Grupy Projektowe, które skupiły wszystkich chętnych uczniów do rozwijania swojej wiedzy i umiejętności w obszarze wybranej kompetencji matematyczno – fizycznej.

Cel projektu W okresie realizacji projektu rozwijamy swoje kompetencje, a więc wiedzę i umiejętności w obszarze matematyki i fizyki poprzez udział w następujących działaniach projektowych: Zajęciach pozalekcyjnych naszej Uczniowskiej Grupy Projektowej prowadzonych przez opiekuna grupy; Wykładach pokazowych organizowanych w szkole, prowadzonych przez kadrę naukową uczelni wyższej; Festiwalach uczelnianych, w przypadku gdy efekty pracy naszej grupy zostaną nagrodzone przez ekspertów uczelni.

ŚREDNIE LICZB DODATNICH Temat projektu: ŚREDNIE LICZB DODATNICH

WYRÓŻNIAMY 3 PODSTAWOWE ŚREDNIE arytmetyczną harmoniczną geometryczną

ŚREDNIA ARYTMETYCZNA Średnią arytmetyczną liczb nazywamy liczbę: Inaczej mówiąc jest to iloraz sumy n liczb i liczby n (gdzie n to ilość sumowanych liczb).

Przykłady zastosowania Średnia arytmetyczna jest właśnie tym, co w potocznym języku określa się mianem średniej. Można ją również określić jako średnią potęgową rzędu 1. Na przykład średnią liczb -5,-3, 0 i 12 jest

Przykłady zastosowania Średnia arytmetyczna jest jedną z najbardziej intuicyjnych miar oceny populacji, stosowanych często w codziennym życiu – przykładem może być średnia ocen z matematyki ucznia szkoły podstawowej, który otrzymał następujące noty: 2, 4, 4, 5, 6

Przykłady zastosowania Średnia arytmetyczna liczb 4 i 8 wynosi Zatem zachodzi równość 6 - 4 = 8 - 6 Jeżeli liczby a i b potraktujemy jako długości odcinków i zbudujemy trapez o podstawach a i b, to długość odcinka przechodzącego przez punkty C i D, które są środkami ramion trapezu jest średnią arytmetyczną długości podstaw.

ŚREDNIA GEOMETRYCZNA Średnia geometryczna - w statystyce miara przeciętnego poziomu wartości cechy jednostek zbiorowości statystycznej używana dla cech przyjmujących wyłącznie wartości dodatnie.

Średnia geometryczna Średnia geometryczna z dwóch liczb dodatnich jest pierwiastkiem kwadratowym z ich iloczynu. Ogólnie średnią geometryczną definiuje się jako pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu wszystkich n wartości cechy: gdzie:a1, a2,..., an - wartości cechy jednostek n-elementowej zbiorowości.

Średnia geometryczna – -zastosowanie Średnią geometryczną liczb 2, 2, 5 i 7 jest:

ŚREDNIA HARMONICZNA Odwrotnością średniej arytmetycznej jest średnia harmoniczna z odwrotności wartości zmiennej. Do obliczenia średniej harmonicznej z szeregów rozdzielczych (punktowych lub przedziałowych) należy uwzględnić liczebności (wagi).

Wzory Średnią harmoniczną n liczb dodatnich a1, a2,…,an nazywamy liczbę : Istnieje również wariant zwany ważnością średnią harmoniczną. Na przykład średnią harmoniczna liczb 2, 2, 5 i 7 jest: Średnia harmoniczna jest średnią potęgową rzędu -1.

Zastosowanie Średnią harmoniczną stosuje się w przypadku gdy wartości zmiennej podane są w jednostkach względnych (np. m/s, cm/osoba), natomiast wagi są w jednostkach liczników tych jednostek względnych (np. m, cm).

Zastosowanie w EXEL’U Zwraca średnią harmoniczną zbioru danych. Średnia harmoniczna jest odwrotnością średniej arytmetycznej odwrotności. Spostrzeżenia Argumenty muszą być liczbami lub nazwami, tablicami albo odwołaniami, które zawierają liczby. Jeśli argument tablicowy lub odwołaniowy zawiera tekst, wartości logiczne lub puste komórki, to wartości te są ignorowane. Komórki o wartości zero są jednak włączane do obliczeń.

Zastosowanie w EXCEL’U Jeśli jakiś punkt danych ≤ 0, funkcja ŚREDNIA.HARMONICZNA zwraca wartość błędu #LICZBA!. Średnia harmoniczna jest zawsze mniejsza niż średnia geometryczna, która jest zawsze mniejsza niż średnia arytmetyczna. Równanie dla średniej harmonicznej przedstawia się tak:

Zastosowanie w EXCEL’U Przedstawienie wyników naszej grupy w skoku w dal w EXEL’U za pomocą średniej arytmetycznej, geometrycznej i harmonicznej.

Skok w dal Zdjęcia ukazujące ćwiczenia, których wyniki są umieszczone w tabeli

WYKORZYSTANIE W LITERATURZE I ZASOBACH INTERNETOWYCH INNYCH ŚREDNICH LICZB DODATNICH ORAZ ICH WARZONYCH ODPOWIEDNIKÓW

Średnia kwadratowa Średnia kwadratowa jest szczególnym przypadkiem innej miary, jest to mianowicie średnia potęgowa rzędu 2, jednak ze względu na jej znaczenie praktyczne ma odrębną nazwę.

Średnia kwadratowa Dla rozkładu dyskretnego średnia kwadratowa liczb   jest to pierwiastek ze średniej arytmetycznej kwadratów tych liczb. Ważona średnia kwadratowa jest to średnia kwadratowa z uwzględnieniem wag Poszczególnych składników.

Średnia kwadratowa W matematyce średnia kwadratowa różnic wartości zmiennej i wartości oczekiwanej jest odchyleniem standardowym tej zmiennej (dla populacji skończonej) gdzie n – liczebność populacji, x0 wartość oczekiwana zmiennej.

Ważona średnia kwadratowa Ważona średnia kwadratowa- jest to średnia kwadratowa z uwzględnieniem wag poszczególnych składników.

ZALEŻNOŚĆI MIĘDZY ŚREDNIMI Nierówność Cauchy'ego o średnich jest szczególnym przypadkiem nierówności o średniej potęgowej, więc dowód nierówności między średnimi potęgowymi jest jednocześnie dowodem nierówności Cauchy'ego, ale można przeprowadzić również osobne dowody, mniej lub bardziej zbliżone do dowodu nierówności o średniej potęgowej, dla poszczególnych nierówności zawartych w nierówności Cauchy'ego.

Nierówność Cauchy’ego Nierówność Cauchy'ego o średnich dla liczb dodatnich a1, a2, ..., an stwierdza, że ciąg: średnia kwadratowa, średnia arytmetyczna, średnia geometryczna, średnia harmoniczna liczb a1, a2, ..., an jest nierosnący. Jej nazwa pochodzi od nazwiska Augustina Louisa Cauchy’ego, francuskiego matematyka.

Nierówność Cauchy’ego Oznacza to, że:

Nierówność Cauchy’ego Równości w powyższym wyrażeniu zachodzą tylko wtedy, gdy liczby a1, a2, ..., an są równe. Pierwsza z nierówności zachodzi również dla dowolnych liczb rzeczywistych. Nierówność Cauchy'ego o średnich jest szczególnym przypadkiem nierówności o średniej uogólnionej.

ŚREDNI WAŻONY KOSZT KAPITAŁU Średni ważony koszt kapitału (z ang. Weighted Average Cost of Capital - WACC) wskaźnik finansowy, informujący o przeciętnym koszcie względnym kapitału zaangażowanego w finansowanie inwestycji przez przedsiębiorstwo. Podejmowane przez przedsiębiorstwa projekty inwestycyjne mogą być finansowane z wielu źródeł, np.: niepodzielone zyski emisja akcji dług.

Udział poszczególnych składników kapitału Udział poszczególnych składników kapitału w finansowaniu inwestycji może być zróżnicowany. Jednocześnie użycie każdego z tych składników wiąże się z poniesieniem określonego kosztu, np. zapłatą odsetek od kredytu lub wypłaceniem dywidendy z akcji.

Średni ważony koszt kapitału Średni ważony koszt kapitału uwzględnia zróżnicowanie struktury finansowania inwestycji oraz zróżnicowane koszty poszczególnych składników kapitałowych i wskazuje, jaki przeciętny koszt względny ponosi przedsiębiorstwo, angażując dany kapitał.

Wzór Średni ważony koszt składników kapitału dany jest wzorem: WACC - średni ważony koszt kapitału, Ki - koszt i-tego składnika kapitału, wi - udział i-tego składnika kapitału w źródłach finansowania, n - liczba składników kapitału,

SZYBKOŚĆ ŚREDNIA Najprostszą wielkością charakteryzującą cały ruch jest szybkość średnia w całym przedziale czasu, w którym odbywał się ruch. Jest to wielkość skalarna opisująca długość drogi przebytej w jednostce czasu określona dla całego czasu trwania ruchu. Cały ruch mógł trwać krócej niż jednostka czasu, np. ułamek tej jednostki.

Szybkość średnia Szybkość średnią zdefiniujemy jako iloraz przebytej drogi przez całkowity czas ruchu czyli przebytą drogę dzielimy przez czas, w ciągu którego ta droga została przebyta. Wzór

Zadanie przykładowe ZADANIE 1 Rowerzysta w trakcie swojej wycieczki zrobił krótką przerwę – na zorientowanie się w trasie dalszej jazdy. Nastąpiło to po przejechaniu 17,0 km. Pozostałą trasę przebył w czasie 1 godziny (z jaką dokładnością podany jest czas? – przyjmiemy dalej, że z taką samą jak w przykładzie pierwszym). Z jaką średnią szybkością (w metrach na sekundę) poruszał się on na tym odcinku?

Zadanie przykładowe ROZWIĄZANIE Czas wyrażamy w sekundach a drogę w metrach, szybkość będzie wyrażona w metrach na sekundę.

Zadanie przykładowe ROZWIĄZANIE CIĄG DALSZY Wynik otrzymany z kalkulatora przybliżamy do trzech cyfr znaczących, pierwszą odrzucaną cyfrą jest 7, pozostawioną cyfrę 4 powiększamy do 5. otrzymany wynik zapisany jest (i obliczony) z dokładnością do 0,01 metra na sekundę. Pozostawienie odrzuconych cyfr nie zwiększy dokładności. Prędkość średnia na pierwszym odcinku jest mniejsza niż na całej trasie.

Zadanie przykładowe ZADANIE 2 ROZWIĄZANIE Oblicz średnią arytmetyczną liczb -4, 6, -3, 2, 1. ROZWIĄZANIE ( (-4)+6+(-3)+2+1)/5=0.4 Średnia arytmetyczna liczb -4, 6, -3, 2, 1 wynosi 0,4.

Zadanie przykładowe ZADANIE 3 Średnia temperatura powietrza w grudniu, styczniu i lutym była równa -8,8˚C. Średnia temperatura stycznia wynosiła -10,9˚C, lutego -12˚C. Oblicz średnią temperaturę grudnia.

Zadanie przykładowe ROZWIĄZANIE Niech x oznacza średnią temperaturę powietrza w grudniu. ((-10,9)+(-12)+x)/3=-8,8 Równanie mnożymy obustronnie przez 3, aby pozbyć się 3 w mianowniku. -10.9+(-12)+x=-26.4 x=-26.4+10.9+12 x=-3.5 Sprawdzenie ((-10,9)+(-12)+(-3,5))/3=-26,43=-8,8 Średnia temperatura powietrza w grudniu wynosiła -3,5˚C.

Zadanie przykładowe ZADANIE 4 ROZWIĄZANIE Z matematyki Jaś ma następujące oceny: 4, 3, 5, 2, 3, 5, 4, 4, a Małgosia: 4, 5, 3, 4+, 3+. Jaką średnią ocen ma Jaś, a jaką Małgosia? ROZWIĄZANIE Średnia ocen Jasia (4+3+5+2+3+5+4+4)/8=30/8=3.75 Średnia ocen Małgosi (4+5+3+4,5+3,5)/5=20/5=4.0

Zadanie przykładowe ZADANIE 5 Średnia wieku rodziców i ich dwójki dzieci wynosi 23 lata. Gdyby uwzględnić wiek dziadka, to średnia wieku wszystkich pięciu osób byłaby równa 31 lat. Ile lat ma dziadek?

Zadanie przykładowe ROZWIĄZANIE Niech x oznacza wiek dziadka. Średnia wieku czterech osób wynosi 23 lata, zatem suma ich wieku równa jest 23 · 4 = 92 lata. Jeśli doliczymy wiek dziadka, wówczas średnia wieku pięciu osób wynosi 31 lat. Suma wieku pięciu osób wynosi 92 + x lat. (92+x)/5=31/·5 92+x=151 x=63 Dziadek ma 63 lata.

Źródła internetowe www.wikipedia.pl www.kompetencje.eduportal.pl www.zadanie.pl www.matematyka.pl www.sciaga.pl

KONIEC DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ