Rzuty Monge’a cz. 1 dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Utwory zasadnicze przestrzeni rzutowej Szereg punktów – zbiór wszystkich punktów A, B, C, ..., P leżących na prostej rzutowej. Oznaczamy: p(A, B, C, ..., P ), gdzie p – podstawa szeregu, punkty A, B, C, ..., P - elementy szeregu. A B C p Pęk płaszczyzn: p(, , , ...), przechodzących przez jedną prostą rzutową p –oś pęku, Płaszczyzny , , , ... – elementy pęku Pęk prostych: W(a, b, c, ...), W – wierzchołek pęku, proste a, b, c, ... – elementy pęku W  a b c  p       p W a b c Przestrzeń rzutowa – zbiór wszystkich punktów, prostych i płaszczyzn rzutowych. dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Utwory zasadnicze i przekształcenia rzutowe Układ płaski – zbiór wszystkich punktów i wszystkich prostych należących do danej płaszczyzny Wiązka – zbiór wszystkich prostych i wszystkich płaszczyzn przechodzących przez dowolny punkt (właściwy lub niewłaściwy)  W   l    W b a Między utworami można ustalić zależności geometryczne przekształcając elementy jednego zbioru w elementy drugiego zbioru, np. można złożyć kilka kolejnych przekształceń układ płaski[1]  wiązka [S1]  układ płaski [2]  układ płaski[1]  wiązka [S2] itd.... Taką zależność miedzy układami płaskimi nazywamy przekształceniem homologicznym lub rzutowym. dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Kolineacja środkowa Niech dane będą dwa układy płaskie [1]:A1, B1, ...,a1, b1,... oraz [2]: A2, B2, ...,a2, b2,... . k Między tymi układami zachodzi kolineacja środkowa jeżeli spełnione są następujące zależności: Każdemu punktowi A1 układu płaskiego [1] jest przyporządkowany w układzie płaskim [2] jeden i tylko jeden punkt A2 i na odwrót. Przyporządkowane sobie punkty A1 i A2 przynależą do jednego promienia wiązki [S]. Każdej prostej a1 układu płaskiego [1] jest przyporządkowana w układzie płaskim [2] jedna i tylko jedna prosta a2, i na odwrót. Przyporządkowane sobie proste a1 i a2 przynależą do jednej płaszczyzny , wiązki [S], a zatem proste a1 i a2 przecinają się w punkcie I na krawędzi k = 1  2. Jeżeli punkt A1 i prosta a1 układu płaskiego [1] przynależą do siebie, to przyporządkowane im odpowiednio elementy A2 i a2 w układzie płaskim [2] również przynależą do siebie, Kolineacja środkowa między układami płaskimi jest określona, jeśli jest dany środek kolineacji S, oś kolineacji k i para przyporządkowanych sobie punktów nie leżących na osi kolineacji albo trzy pary przyporządkowanych sobie punktów nie leżących na osi kolineacji. dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Powinowactwo osiowe Jeśli środek kolineacji S jest punktem niewłaściwym to mówimy o powinowactwie osiowym, a prostą k nazywamy osią powinowactwa. dr Renata Jędryczka 5 2017-03-28 5

Niezmienniki rzutu równoległego: przynależność elementów współliniowość punktów stosunek podziału odcinka równoległość prostych kąty i wymiary figur płaskich równoległych do rzutni 4. k a b’ b a’  Jeżeli punkt leży na prostej, to rzut tego punktu leży na rzucie tej prostej. 1. 2. A’ k A C C’ B B’  5. A’ k A C C’ B B’  Figura płaska równoległa do rzutni i jej rzut są figurami przystającymi. 3. dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Rzuty Monge’a – rzut punktu Rzuty prostokątne na dwie wzajemnie prostopadłe rzutnie: 1 i 2. 1 – rzutnia pozioma 2 – rzutnia pionowa Po rozłożeniu rzutni (sprowadzeniu przez obrót wokół osi x o 900 do jednej płaszczyzny) mamy: I II III IV 2 x A’’ A’ A’’ h 900 A x g A’ 1 A’ – rzut poziomy punktu A A’’ – rzut pionowy punktu A Odległość punktu od rzutni: poziomej nazywamy wysokością i oznacza się literą "h", od rzutni pionowej nazywamy głębokością i oznacza się "g". Aby na podstawie rzutu można było określić wymiary przedmiotu stosuje się często rzuty danego przedmiotu na trzy rzutnie, które są wzajemnie prostopadłe. dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Rzut prostej w rzutach Monge’a B’’ x A’’ B’ m’ a’ A’ n’ Proste: a – w położeniu ogólnym (przechodzi przez 3 ćw. przestrzeni) p – pozioma I i II ćw. c – czołowa I i IV ćw. m – celowa I i II ćw. n – pionowa I i IV ćw. dr Renata Jędryczka 2017-03-28

W rzutach wygląda to tak: Zadanie Narysuj rzuty prostej a przechodzącej przez trzy ćw. przestrzeni: I, II, III 2 Va Ha I II III IV 1 x Va’ Ha’’ a a’’ Va=Va’’ Va’ Ha=Ha’ Ha’’ W rzutach wygląda to tak: x a’

Wzajemne położenie prostych b’’ q’’ n’’ A’’ 1’’=2’’ r’’ a’’ x a’ q’ 2’ A’ m’ b’ n’ r’ 1’ Proste: a, b - przecinające się m, n - równoległe q, r - skośne dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Płaszczyzna Rzutem płaszczyzny w rzucie równoległym jest płaszczyzna. 1 x a 2 Rzuty płaszczyzny: a(A,B,C) a’’ x A’’ A’ B’ B’’ C’ C’’ a’ Płaszczyznę w rzutach możemy określić za pomocą jednej z poniższych możliwości: trzech niewspólniniowych punktów, a(A,B,C) punktu i prostej nie przynależnych do siebie, a(A,a) dwóch prostych równoległych, a(a,b), a ll b dwóch prostych przecinających się a (a,b) dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Rzuty płaszczyzny Płaszczyzna może przechodzić przez 3 lub 2 ćwiartki przestrzeni. Jeśli płaszczyzna: tworzy kąty ostre z płaszczyznami układu to mówimy, że jest w położeniu ogólnym, jest równoległa do jednej z rzutni to może być: pozioma (1) np.  lub czołowa (2) . jest prostopadła do którejś z rzutni, to mówimy, że jest poziom -rzutująca (1) np.  lub czołowo -rzutująca (2 ) np. b. ’ x ’’ dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Punkt i prosta na płaszczyźnie - twierdzenia Twierdzenie Punkt leży na płaszczyźnie jeśli leży na prostej leżącej w tej płaszczyźnie. Twierdzenie Prosta leży na płaszczyźnie jeśli co najmniej dwa jej punkty leżą na tej płaszczyźnie. dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Punkt i prosta na płaszczyźnie q’’ Q’’ m’’ a’’ 1’’ P’’ n’’ 1’’ r’’ 2’’ x P’ q’ 1’ Q’ 1’ r’ 2’ m’ n’ Dana jest: (Q,q) Narysuj prostą r   Dana jest (m,n), m || n. Wyznacz drugi rzut punktu P tej płaszczyzny a’ r  , bo Q , 1   P  , bo P  a   dr Renata Jędryczka dr Renata Jędryczka 14 2017-03-28 2017-03-28 14

Elementy przynależne - zadanie Dana jest płaszczyzna (m,n), m|| n. Narysuj rzuty prostych, poziomej p i czołowej c, tej płaszczyzny. m’’ m’ n’’ m’’ n’ x 1’’ 3’ 1’ c’ c’’ 3’’ n’’ P’’ 1’’ 2’’ x p’ 1’ 2’ n’ m’ dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Wzajemne położenie płaszczyzn Dwie płaszczyzny: mogą być równoległe przecinać się - mieć wspólną prostą zwaną krawędzią. m’’ Zadanie: Wyznacz krawędź płaszczyzn  (m,n) i   p2 k=    b’’ =k’’ n’’ 1’’ 2’’ x k’ 1’ 2’ n’ m’ dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Elementy wspólne Zadanie Wyznacz punkt P przebicia prostej p z płaszczyzną a(A, a) i jej określ widoczność względem tej płaszczyzny (w widoku z przodu i z góry). Plan konstrukcji: Przez prostą prowadzimy pomocniczą płaszczyznę . Wyznaczamy krawędź k płaszczyzn  i  (k =   ). Punkt przecięcia krawędzi k i danej prostej p jest szukanym punktem wspólnym P (P= k  p). (A,a)=a(a,b), A b || a 4’’ b’’ e  2 2’’ =5’’ a’’ e p 1’’ A’’ P’’ p’’ = ’’ = k’’ 3’’ x k P b’ a’  2’ A’ 1’ p’ P’ 5’ k’ 3’=4’ dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Źródła: Otto F., E., 1975, Podręcznij geometrii wykreślnej, PWN, Warszawa Przewłocki Stefan, 2000, Geometria wykreślna, Wyd. UWM, Olsztyn Strony WWW: Zasoby własne: http://www.kfit.uwm.edu.pl/geometria/ Warto zobaczyć: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html dr Renata Jędryczka 2017-03-28