Rezystancja zastępcza, połączenie trójkąt-gwiazda Wykłady z podstaw elektrotechniki i elektroniki Paweł Jabłoński

Rezystancja zastępcza 4 Połączenia rezystorów Rezystancja zastępcza Rezystory w obwodzie elektrycznym mogą być połączone na różne sposoby. W każdym przypadku istnieje możliwość wyznaczenia tzw. rezystancji zastępczej. Rezystancja zastępcza grupy rezystorów to rezystancja, która włączona w obwód w miejsce rozpatrywanej grupy nie zmienia rozpływu prądów i rozkładu napięć w pozostałej części obwodu. Rozróżniamy dwa typowe przypadki: Połączenie szeregowe, Połączenie równoległe.

Połączenia rezystorów Połączenie szeregowe Połączeniem szeregowym rezystorów nazywamy takie ich połączenie, w którym przez wszystkie rezystory płynie jeden i ten sam prąd. Naszym celem jest wyznaczenie rezystancji zastępczej, tj. zastąpienie grupy n szeregowo połączonych rezystorów R1, R2, …, Rn za pomocą jednego tylko rezystora R. R1 R2 Rn R

Rezystancja zastępcza p. szeregowego Połączenia rezystorów Rezystancja zastępcza p. szeregowego R1 R2 Rn U1 U2 Un U I A B Z prawa koła napięć Z prawa Ohma dla i-tego rezystora mamy Ui = RiI; uwzględniwszy to w poprzednim wzorze Rezystancja z definicji wynosi U/I, czyli Rezystancja zastępcza szeregowego połączenia rezystorów równa się sumie ich rezystancji. R U I A B

Połączenie równoległe Połączenia rezystorów Połączenie równoległe Połączeniem równoległym rezystorów nazywamy takie ich połączenie, w którym na zaciskach wszystkich rezystorów występuje jedno i to samo napięcie. Do zaznaczenia, że rezystory R1, R2, …, Rn połączone są równolegle stosujemy czasem zapis Naszym celem jest wyznaczenie rezystancji zastępczej, tj. zastąpienie grupy n równolegle połączonych rezystorów R1, R2, …, Rn za pomocą jednego tylko rezystora R. R1 R2 Rn R

Rezystancja zastępcza p. równoległego Połączenia rezystorów Rezystancja zastępcza p. równoległego Z pierwszego prawa Kirchhoffa Z prawa Ohma dla i-tego rezystora mamy Ii = U/Ri, stąd ostatni wzór przyjmuje postać Rezystancja z definicji wynosi U/I, czyli Odwrotność rezystancji zastępczej równoległego połączenia rezystorów równa się sumie odwrotności ich rezystancji. R1 R2 Rn U I1 I2 In A B I R U I A B

Połączenie równoległe dwóch rezystorów Połączenia rezystorów Połączenie równoległe dwóch rezystorów W przypadku dwóch rezystorów połączonych równolegle Po przekształceniu Pułapka: wzorując się na ostatniej zależności, część studentów zapisze dla trzech rezystorów NIEPOPRAWNIE R1 R2

Szeregowo kontra równolegle Połączenia rezystorów Szeregowo kontra równolegle Szeregowo Równolegle Rezystancja zastępcza jest większa od każdej jest mniejsza od każdej z wartości R1, R2, …, Rn z wartości R1, R2, …, Rn Konduktancja zastępcza Rezystancja w przypadku n jednakowych rezystorów R1

Połączenia rezystorów Połączenia mieszane Układ złożony z rezystorów połączonych szeregowo lub równolegle nazywamy układem o połączeniu mieszanym. Rezystancję zastępczą takiego układu wyznaczamy stosując na przemian wzory dla połączenia szeregowego i równoległego.

Redukcja układu połączeń Połączenia rezystorów Redukcja układu połączeń A B 1 2 3 A B A B A B A B 4 5

Połączenia rezystorów Przykład Wyznaczyć rezystancję zastępczą względem zacisków AB oraz AC. Wartości rezystancji w omach. A B C 1 2 3

Rezystancja RAB Połączenia rezystorów A B C 1 2 3 A B 2 3 1 A B 1 3 A

Rezystancja RAC Połączenia rezystorów A B C 1 2 3 A 2 3 1 C A C 1 4 A

Połączenia rezystorów Połączenia specjalne Istnieją układy rezystorów, w którym brak jest połączeń szeregowych i równoległych, czyli nie da się ich zredukować za pomocą poznanych dotychczas wzorów. Wtedy stosuje się tzw. zamianę „trójkąt-gwiazda” lub „gwiazda-trójkąt”.

Połączenie w gwiazdę i w trójkąt Połączenia rezystorów Połączenie w gwiazdę i w trójkąt R1 R2 R3 A B C Równoważność obydwu połączeń wymaga, aby ich rezystancja zastępcza względem każdej pary zacisków AB, BC i CA była jednakowa. Stąd mamy układ równań Trójkąt () A r1 r2 r3 B C Gwiazda (Y)

Zamiana trójkąt-gwiazda Połączenia rezystorów Zamiana trójkąt-gwiazda R1 R2 R3 A B C Rozwiązując powyższy układ równań ze względu na r1, r2 i r3, dostajemy wzory na zamianę -Y Jeżeli R1 = R2 = R3 = R, to A r1 r2 r3 B C

Zamiana gwiazda-trójkąt Połączenia rezystorów Zamiana gwiazda-trójkąt A r1 r2 r3 B C Rozwiązując wcześniejszy układ równań ze względu na R1, R2 i R3, dostajemy wzory na zamianę Y- Jeżeli r1 = r2 = r3 = rY, to R1 R2 R3 A B C

Połączenia rezystorów Przykład – mostek 40 10 25 50 16 A B Obliczyć rezystancję zastępczą RAB. Wartości rezystancji w omach. →Y 40 10 25 50 16 A B 4 25 20 16 A B 5

Zastosowanie połączenia tr-gw 5 Zastosowanie połączenia tr-gw

Zastosowanie połączenia tr-gw 5 Zastosowanie połączenia tr-gw

Zastosowanie połączenia tr-gw 5 Zastosowanie połączenia tr-gw