Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół Ogólnokształcących w Śremie ID grupy: 98/16_MF_G1 Opiekun: mgr Edyta Nowak-Polska Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Geometria trójkąta Semestr/rok szkolny: semestr II - 2010/2011

KONSTRUKCJE TRÓJKĄTÓW Z DANYCH

A. DWA KĄTY I ODCINEK

Trójkąt zbudowany z dwóch kątów i odcinka. Rysowanie odcinka Aby skonstruować trójkąt o danych 2 kątach i odcinku należy najpierw narysować odcinek. W tym przypadku wynosi on 4 cm.

Rysowanie pierwszego kąta. Etap 1 Jeśli chcemy narysować kąt o danej mierze, należy wybrać punkt na ramieniu kąta oraz wierzchołek i podać miarę. Na rysunku kąt 70 stopni.

Rysowanie drugiego kąta. Etap 2 Rysując następny kąt, należy również wybrać punkt na odcinku i wierzchołek, a następnie podać miarę. Drugi kąt wynosi 55 stopni.

Trójkąt Aby zakończyć pracę, należy połączyć wierzchołki trójkąta. Kończenie pracy Aby zakończyć pracę, należy połączyć wierzchołki trójkąta.

B. KĄT I DWA ODCINKI

Umieszczamy na rysunku odcinek AB

Na odcinku AB wyrysowujemy kąt.

Punkty C i B łączymy tak, aby powstał trójkąt

C.TRZY ODCINKI

RYSUJEMY ODCINEK AB.

NA ODCINKU AB UMIESZCZAMY ODCINEK CD.

PUNKTY A I C ŁĄCZYMY ODCINKIEM FE I POWSTAJE GOTOWY TRÓJKAT.

GOTOWE TRÓJKĄTY: Trójkąt zbudowany z Trójkąt zbudowany z dwóch kątów i odcinka. Trójkąt zbudowany z dwóch odcinków i kąta. Trójkąt zbudowany z trzech odcinków.

ODCINKI W TRÓJKĄCIE:

1. Wysokość TRÓJKĄTA

Wysokość trójkąta – najkrótszy odcinek łączący jeden z wierzchołków trójkąta z prostą zawierającą przeciwległy bok trójkąta, zwany podstawą. Słowem wysokość określa się również długość tego odcinka. Wysokość jest zawsze prostopadła do prostej zawierającej podstawę. Punkt przecięcia wysokości z podstawą nazywa się spodkiem wysokości. Powstaje on w wyniku rzutu prostokątnego wierzchołka na podstawę.

2. DWUSIECZNA KĄTA TRÓJKĄTA

Dwusieczna kąta trójkąta – półprosta, o początku w wierzchołku kąta trójkąta, która dzieli ten kąt na dwa kąty przystające. Dwusieczna jest zbiorem punktów równo odległych od ramion kąta i zawarta jest w jego osi symetrii. Punkt przecięcia dwusiecznych jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt.

BUDOWA okręgu wpisanego w trójkąt różnoboczny

BUDOWA okręgu wpisanego w trójkąt różnoboczny

BUDOWA okręgu wpisanego w trójkąt różnoboczny

BUDOWA okręgu wpisanego w trójkąt różnoboczny

BUDOWA okręgu wpisanego w trójkąt różnoboczny

BUDOWA okręgu wpisanego w trójkąt różnoboczny Rysujemy trójkąt różnoboczny. Konstruujemy dwie dwusieczne kątów wewnętrznych. Wyznaczamy punkt przecięcia dwusiecznych. Konstruujemy prostą prostopadłą do jednego z boków trójkąta. Rysujemy okrąg wpisany w trójkąt o promieniu r, który łączy punkt przecięcia dwusiecznych z dowolnym bokiem. W każdy trójkąt da się wpisać okrąg.

3. SYMETRALNA ODCINKA TRÓJKĄTA

Symetralna odcinka trójkąta – prosta prostopadła do danego odcinka trójkąta i przechodząca przez jego środek. Punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie.

TRÓJKĄT ABC Właściwości trójkąta: -różnoboczny -ostrokątny

TRÓJKĄT ABC Z SYMETRALNĄ ODCINKA

TRÓJKĄT ABC Z SYMETRALNYMI DWÓCH ODCINKÓW

OKRĄG OPISANY SKONSTRUOWANY NA TRÓJKĄCIE ABC

OKRĄG OPISANY NA TRÓJKĄCIE ABC ZE SKONSTRUOWANYM PROMIENIEM

W skrócie… Aby opisać okrąg na trójkącie należy skonstruować symetralne co najmniej dwóch boków trójkąta. Następnie w miejscu przecięcia się symetralnych wbijamy igłę cyrkla i bierzemy rozwartość pomiędzy punktem przecięcia symetralnych a wierzchołkiem trójkąta. Kreślimy okrąg. Na każdym trójkącie da się opisać okrąg!

4. ŚRODKOWA TRÓJKĄTA

Środkowa trójkąta – odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Czasem tak nazywa się też prostą zawierającą ten odcinek. Trójkąt ma trzy różne środkowe. Punkt przecięcia środkowych jest środkiem ciężkości trójkąta.

PROSTA EULERA Prosta Eulera – prosta, która przechodzi przez: ortocentrum (punkt przecięcia wysokości) danego trójkąta, środek okręgu opisanego na trójkącie, środek ciężkości trójkąta środek okręgu dziewięciu punktów. Istnienie takiej prostej udowodnił jako pierwszy Leonard Euler.

PROSTA EULERA Prosta Eulera przechodzi przez: punkt przecięcia wysokości (wyznaczony przez odcinki niebieskie), środek okręgu opisanego (linie zielone), punkt przecięcia środkowych trójkąta (linie pomarańczowe), środek okręgu dziewięciu punktów.

OKRĄG DZIEWIĘCIU PUNKTÓW Okrąg dziewięciu punktów znany także jako okrąg Feuerbacha lub okrąg Eulera jest to okrąg, który przechodzi przez środki boków dowolnego trójkąta. Okrąg Feuerbacha przechodzi ponadto przez spodki trzech wysokości oraz przez punkty dzielące na połowy trzy odcinki, które łączą wierzchołki tego trójkąta z jego ortocentrum.

OKRĄG DZIEWIĘCIU PUNKTÓW Punkty niebieskie – środki boków trójkąta Punkty czerwone – spodki wysokości trójkąta Punkty zielone – dzielące na połowy trzy odcinki, które łączą wierzchołki trójkąta z jego ortocentrum

Trójkąt egipski I pitagorejski

Trójkąt Pitagorejski Trójkąt pitagorejski, to taki trójkąt, którego boki są wyrażone liczbami naturalnymi a, b, c związanymi warunkiem: a2+b2=c2. Będą to trójkąty prostokątne. Przykłady trójkątów pitagorejskich: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25). Jeśli pomnożymy długości boków każdego z tych trójkątów przez dowolną liczbę naturalną to otrzymamy również trójkąty pitagorejskie.

Trójkąt egipski pitagorejski Najwcześniej znanym trójkątem pitagorejskim był trójkąt egipski. Posiada wszystkie własności trójkąta pitagorejskiego jednak długości jego boków muszą wynosić odpowiednio 3,4,5.

Zastosowanie w starożytnym egipcie Trójką egipski służył kiedyś do praktycznego wyznaczania kątów prostych w terenie. Odgrywało to poważną rolę w życiu ówczesnego Egiptu. Regularne wylewy Nilu, niosąc olbrzymie ilości żyznego mułu, zacierały granice pomiędzy poszczególnymi gospodarstwami. Gdy wody zaś opadły, należało na nowo je wyznaczyć. Dlatego też sprawa umiejętności odmierzania kątów prostych była Egipcjanom bardzo potrzebna

Wyznaczanie kątów prostych przez egipcjan Do wyznaczenia kąta prostego w terenie potrzebny im był tylko sznur i kawałek patyka, przy czym sznur ten miał węzły w jednakowych odstępach i posiadał długość 5 takich odstępów – jednostek. Najpierw wyznaczano w terenie za pomocą sznura odcinek BC = 3 jednostkom. Następnie z punktu C, jako środka, zakreślano łuk promieniem równym 4 jednostkom, trzymając przy tym patyk przy czwartym węźle i kreśląc tym patykiem przy naprężonym sznurze. W taki sam sposób wykreślano łuk z punktu B promieniem równym 5 jednostkom. Końcowa czynność polegała na wytyczeniu kierunku CA .

Zastosowanie trójkąta egipskiego we współczesnym budownictwie Murarze stawiając ściany domu, muszą stale sprawdzać, by wznosiły się one prostopadle, to jest zachowywały pion, oraz stykały się w narożnikach pod katem prostym. Na ogół, aby sprawdzić, czy kat prosty jest w tym przypadku zachowany, stosuje się tzw. kątownicę, którą od czasu do czasu przykłada się do narożnika i w miarę potrzeby wyrównuje cegły. Murarz odmierza za pomocą miary wzdłuż jednej ściany odległość 30 cm, wzdłuż drugiej 40 cm, po czym sprawdza, czy odległość między końcami tych odłożonych wzdłuż ścian odcinków wynosi 50 cm. Jeżeli tak jest – narożnik tworzy kąt prosty.

Własności trójkąta równobocznego Trójkąt równoboczny to trójkąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość. Taki trójkąt ma następujące własności: - wszystkie kąty są równe i mają miarę 60°, - wysokość trójkąta równobocznego h=(a pierwiastka z 3):2 - wysokość trójkąta równobocznego dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne, - wysokości trójkąta i dwusieczne jego kątów zawierają się w symetralnych boków tego trójkąta, - wysokości trójkąta równobocznego dzielą się w stosunku 1:2, - punkt przecięcia wysokości jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt oraz środkiem okręgu opisanego na trójkącie.

Własności trójkąta równoramiennego Trójkąt równoramienny to trójkąt, którego 2 boki mają taką samą długość. Ma on następujące właściwości: -kąty przy podstawie są równe -wysokość dzieli postawę i kąt przy wierzchołku na dwie równe części - kąty przy podstawie są przystające a ich miara jest mniejsza od miary kąta prostego.

Twierdzenie pitagorasa

Zapis twierdzenia pitagorasa

Węzły na trójkącie prostokątnym

Zastosowanie trójkąta pitagorejskiego w starożytnym egipcie

Geometryczny dowód twierdzenia pitagorasa

Ilustracja geometryczna twierdzenia pitagorasa

Co o nim wiemy? Pitagoras Pochodził z Samos Grecki filozof, matematyk i mistyk. Przypisuje mu się podróże do Egiptu i Babilonii, gdzie miał zapoznać się z tamtejszą matematyką. Pitagoras wprowadził określenie filozof.

Szkoła pitagorejska Kroton Złote wiersze Założył w Krotonie szkołę pitagorejczyków w roku 529 p.n.e., drugą po założonej wcześniej na Samos. Od ok. 509 p.n.e. przebywał w Metaponcie, choć według niektórych tylko 40 dni. Najbardziej pewnym źródłem informacji o zwyczajach i nauce Pitagorasa są przede wszystkim "Złote wiersze", których jest co najmniej przypuszczalnym autorem

Idee nieśmiertelności i Wędrówki dusz Śmierć w Metaponcie Pitagorejczycy głosili idee nieśmiertelności oraz wędrówki dusz, zaś drugi pogląd zanikł wśród bardziej współczesnych "wyznawców" i pochodził raczej od orfików. Pitagoras zmarł w Metaponcie w domu zapaśnika Milona, ocalony z pogromu Krotony.

Twierdzenie talesa Twórcą tego twierdzenia był Tales z Miletu uznawany za prekursora podstaw nauki i filozofii europejskiej oraz jednego z pierwszych filozofów. Twierdzenie to jest jednym z najważniejszych twierdzeń geometrii euklidesowej.

Treść twierdzenia: Jeżeli ramiona kąta przecięte są prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta, są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.

Założenia twierdzenia Jeśli dwa trójkąty mają równe wysokości, to stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości ich podstaw. Jeśli dwa trójkąty mają wspólną podstawę i równe wysokości, to ich pola są równe.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia talesa Jeżeli ramiona kąta przecięte są dwiema prostymi nie pokrywającymi się z tymi ramionami i zachodzi którykolwiek z warunków: gdzie: A to wierzchołek kąta Punkty przecięcia pierwszej prostej to B (z pierwszym ramieniem) i C (z drugim ramieniem) Punkty przecięcia drugiej prostej to D (z pierwszym ramieniem) i E (z drugim ramieniem) to proste są równoległe.

Zastosowanie Twierdzenie Talesa wykorzystuje się w wielu różnych dziedzinach. Z jego pomocą możemy poznać wysokość budynków lub innych konstrukcji. Właśnie tak Tales zmierzył wysokość piramid. W matematyce praktyczne zastosowanie twierdzenia Talesa możemy znaleźć na przykład przy dzieleniu odcinka na części w danym stosunku.

Przykłady zastosowania Pomiar wysokości piramidy Według legendy Tales wyznaczył wysokość piramidy w Egipcie na podstawie długości cienia rzucanego przez kij, czym wprawił w zdumienie kapłanów. Oto jak tego dokonał. Na podstawie wniosku z twierdzenia Talesa zachodzi proporcja |OA|:|OB| = |AA′|:|BB′| skąd |BB′|=|AA′|·|OB|:|OA|. Znając |AA′| – długość kija, mierząc |OA| – długość jego cienia i |OB| – długość cienia piramidy, natychmiast wyliczamy jej wysokość

Przykłady zastosowania Pomiar odległości statku od brzegu Nieco inne rozumowanie pozwala obliczyć odległość statku znajdującego się na morzu. Z wniosku z twierdzenia Talesa mamy: (|A′A|+x):|B′A′| = x:|BA| skąd x=|A′A|·|BA|:(|B′A′|-|BA|). Mierząc długości odcinków występujących w tej równości wyznaczamy x.

Przykłady zastosowania Podział odcinka w danym stosunku Dane są dwa odcinki o długościach a i b. Dany odcinek AB podzielić w stosunku a:b. Rzut oka na rysunek i twierdzenie Talesa pozwalają stwierdzić, że punkt P dzieli odcinek w wymaganym stosunku. Powyższa konstrukcja była podstawą greckiej arytmetyki – pozwalała mnożyć i dzielić odcinki, które Grecy utożsamiali z liczbami.

Przykłady zastosowania figur geometrycznych w architekturze Mozaiki GEOMETRYCZNE Przykłady zastosowania figur geometrycznych w architekturze

MOZAIKA Mozaika – dekoracja w postaci ornamentu lub obrazu, wykonana z drobnych, o różnej kolorystyce (dwu lub wielobarwne), fakturze i kształcie kamyczków, kawałków szkła lub ceramiki. Elementy są przyklejone do podłoża przez ułożenie na niezwiązanej zaprawie, wapiennej, cementowej lub żywicy pochodzenia roślinnego (mastyks z drzewa Pistacia lentiscus). Stosowana jest do zdobienia posadzek, ścian, kopuł, sklepień, apsyd w budownictwie sakralnym i świeckim.

Zastosowanie zdobnicze Technika znana była już w starożytności. Najstarsze, znalezione pochodzą sprzed pięciu tysięcy lat (Uruk). W starożytnej Grecji pierwsze mozaiki układano z otoczaków znalezionych na brzegach rzek i morza. Technika ta zwana była "opus barbaricum". Mozaiki miały kolorystykę biało-czarną z mniejszymi polami żółtymi, brązowymi i czerwonymi. W okresie hellenistycznym stosowano technikę "opus segmentatum", polegającą na zastosowaniu odpadów kamiennych powstałych przy pracach rzeźbiarskich i kamieniarskich

Doskonalenie mozaiki – zastosowanie płytek regularnych Kolejnym krokiem było zastosowanie regularnych płytek, kostek (tesseer) z marmuru i innych kamieni, nawet kamieni szlachetnych, kamieni półszlachetnych, złota. Chcąc jak najdokładniej odwzorować obraz używano niejednokrotnie bardzo małych elementów, nawet o krawędzi 1 mm. Technika ta znana była pod nazwą "opus vermiculatum" (łac. vermis – robak). Zachowały się do czasów współczesnych mozaiki w Pompejach, będące przykładem zastosowania tej techniki. Mozaiki były używane w sztuce wczesnochrześcijańskiej i bizantyjskiej a także sztuce islamu. W niektórych miejscach tradycja zdobień mozaiką przetrwała do XIX w., np. w Bazylice św Marka w Wenecji

Mozaiki w Bazylice św. Marka w Wenecji Turyści zwiedzający Bazylikę Św. Marka w Wenecji zazwyczaj zadzierają wysoko głowy, podziwiając wspaniałe mozaiki na sklepieniu świątyni. Matematycy - przeciwnie - wędrując po bazylice, uporczywie wpatrują się w posadzkę. Tam mozaiki nie są może tak efektowne, ale dla nich znacznie ciekawsze. Pochodzą z XV wieku, a ich autorem jest Paolo Uccello (właśc. Paolo di Dono) - wybitny artysta włoskiego renesansu, uznawany za twórcę perspektywy.

Mozaiki w Bazylice

Opis mozaiki Na zdjęciu powyżej widzimy najstarsze w historii przedstawienie bryły zwanej dwunastościanem gwiaździstym małym w otoczeniu archimedesowych graniastosłupów sześciokątnych. Wizerunek ten jest dużo starszy niż nazwa bryły, którą nadał w XIX wieku Arthur Cayley. On też pierwszy opisał jej własności. Jest to przykład gwiaździstego wielościanu foremnego (wszystkie ściany są przystającymi foremnymi pięciokątami gwiaździstymi i wszystkie naroża są przystające). Takie bryły (niewypukłe odpowiedniki wielościanów platońskich) nazywamy wielościanami Keplera-Poinsota (od nazwisk ich odkrywców). Na początku XIX w. August Cauchy wykazał, że takich brył jest tylko cztery. Wybierającym się do Wenecji podpowiadamy, że znajdą tę mozaikę w wejściu do lewej nawy świątyni (na samym końcu trasy zwiedzania bazyliki).

Opis mozaiki Kolejna mozaika przedstawia równie piękny wielościan, choć matematycznie mniej interesujący, bo mniej regularny.  Jeśli przyjrzymy się dokładniej, zauważymy, że jest to dwunastościan z doklejonymi ostrosłupami pięciokątnymi o foremnych ścianach bocznych.

Wrażenie trójwymiarowości Warto też zwrócić uwagę na wrażenie trójwymiarowości, jakiemu ulegamy patrząc na "kratkę" w dolnej części pierwszego zdjęcia. Tę mozaikę rzadko można oglądać w oryginale, znajduje się bowiem poza trasą turystyczną, w nawie głównej przed ołtarzem i na codzień zaścielona jest dywanem. Oprócz unikatowych mozaik z wielościanami w wielu miejscach na posadzce bazyliki powtarzają się motywy geometrycznych parkietaży. Wśród nich kilka daje wrażenie trójwymiarowych dzięki zastosowaniu sugestywnej przestrzennej perspektywy, inne przedstawiają złudzenia optyczne polegające na różnej interpretacji wklęsłości i wypukłości ścian sześcianu. Są też mozaiki przedstawiające węzły zasupłane z jednego lub kilku okręgów. Więcej o tego typu mozaikach przeczytasz w tekście Mozaikowe węzły z Akwilei.

Zestawienie obrazów mozaikowych

Przykłady mozaikowe

Podsumowanie W projekcie staraliśmy się poznać jak najwięcej własności trójkątów oraz ich zastosowań technicznych. Poszerzyliśmy opis tematu o pracę z tablicą interaktywną oraz prace konstrukcyjne w GeoGebrze. Podsumowaniem prezentacji jest opis mozaiek geometrycznych stosowanych do dekoracji posadzek i sufitów w budowlach od starożytności po czasy współczesne.