Zespół Szkół Ogólnokształcących w Śremie 97/54_MF_G1 Zespół Szkół Technicznych w Słubicach 97/23_MF_G1 Kompetencja: Matematyczno-Fizyczna Temat projektowy: Liczby Fibonacciego IV semestr/ rok szkolny 2011/2012

LICZBY FIBONACCIEGO

Leonardo Fibonacci Leonardo Fibonacci urodzony ok. 1170 w Pizie zmarł 1240. Był to matematyk, który w 1202 roku napisał on swoje głośną pracę Liber Abaci (Księga Rachunków)- dzieło o arytmetyce i algebrze, w której można znaleźć wiele ciekawych matematycznych problemów (jak na przykład zagadka o dwóch ptakach),równania diofantyńskie (równanie z dwoma niewiadomymi) pojawiły się tam również zadania związane z ciągiem liczb Fibonacciego, jednakże niewiadomo, kto był jego twórcą.

CIĄG FIBONACCIEGO Jest to ciąg określony wzorem rekurencyjnym z czego wynika że każdy wyraz tego ciągu (począwszy od trzeciego) jest sumą dwóch poprzednich;

CIĄG FIBONACCIEGO Wzór na ogólny wyraz tego ciągu można otrzymać metodą funkcji tworzących. Ciąg można zdefiniować jako i dla ciągu fn obliczyć wzór na wyraz n-ty. Funkcja tworząca dla ciągu jest postaci:

CIĄG FIBONACCIEGO Mniej popularne twierdzenia na temat Ciągu Fibonacciego: Pomijając jednocyfrowe liczby z Ciągu Fibonacciego zawsze cztery albo pięć następujących po sobie wyrazów ciągu ma tę samą liczbę cyfr w układzie dziesiętnym; Jedynymi liczbami w całym ciągu Fibonacciego, będącymi kwadratami liczb całkowitych są 1 i 144; Co trzecia liczba Fibonacciego jest podzielna przez 2, co czwarta – przez 3. Ogólniej: jeśli numer n dzieli się przez k, to liczba Fn dzieli się przez Fk. Zachodzi jeszcze silniejszy związek: największy wspólny dzielnik dwóch liczb Fibonacciego jest liczbą Fibonacciego, której numer jest równy największemu wspólnemu dzielnikowi numerów tych liczb: Każda niezerowa liczba całkowita ma wielokrotność będącą liczbą Fibonacciego; Istnieje nieskończenie wiele liczb n dla których zachodzi podzielność n | Fn. W szczególności można pokazać, że , jeżeli

CIĄG FIBONACCIEGO Podstawiając otrzymuje się:

CIĄG FIBONACCIEGO Tak więc ; wyrażenie można przedstawić jako : gdzie , wtenczas z czego wynika, że a podstawiając otrzymujemy tzw. Wzór Bineta.

WZÓR BINETA Wzór ten jest wzorem na jawny ogólny wyraz Ciągu Fibonacciego

CIĄG FIBONACCIEGO wybrane tożsamości

TRÓJKĄT PASCALA Jest to układ liczb, którego nazwa pochodzi od nazwiska Blaise'a Pascala gdzie wartości znajdujące się na zewnątrz trójkąta to 1, a każda wartość znajdująca się wewnątrz jest sumą dwóch znajdujących się bezpośrednio nad nią; iloraz dwóch sąsiednich wyrazów dąży do złotej liczby.

CIĄG FIBONACCIEGO A ZŁOTA LICZBA Złotą liczbą nazywamy dodatni pierwiastek równania : Ilorazy kolejnych wyrazów Ciągu Fibonacciego równe są przybliżeniom złotej liczby, np.:

ZŁOTA LICZBA I PROPORCJA zastosowanie Zasada złotego podziału stosowana jest od starożytności w architekturze np. Okna w renesansowych budowlach mają szerokość do wysokości w stosunku 5:8 W budowie licznych pałaców i świątyń np. Palazzo Rucelai, Santa Maria Novella, Palazzo Strozzi, Partenon na Akropolu Partenon na Akropolu wykorzystywano złotą proporcje Sposób ten przejęli od starożytnych artyści renesansowi, choć nie traktowali go już w tak dosłowny sposób. Co prawda istniała opcja estetyczna, według której plan i proporcje kościoła podłużnego powinny odpowiadać kształtom i proporcjom ludzkiego ciała, a proporcje dobrze zbudowanego człowieka powinny odpowiadać prostym figurom geometrycznym, kołu i kwadratowi Złota proporcja wg. Leonarda da Vinci

CIĄG FIBONACCIEGO A LICZBY LUCASA Ciąg liczb Lucasa opiera się na tej samej zasadzie co liczby Fibonacciego, jednakże różnią je 2 pierwsze wyrazy ciągu: w ciągu liczb Lucasa są to liczby 2 i 1; wzór rekurencyjny: Niech Fn oznacza n-ty wyraz ciągu Fibonacciego, a Ln n-ty wyraz ciągu Lucasa. Widoczne są wtedy zależności:

CIĄG FIBONACCIEGO interpretacja geometryczna Ciąg Fibonacciego może być geometrycznie interpretowany przez coraz większe kwadraty jako wymiar jednostki. Jeżeli numer jeden doda się do numeru jeden wynikiem jest dwa - co jest długością boku kwadratu „2”. Jeśli długości boku kwadratów „1” i „2” są sumowane, rezultatem jest długość boku kwadratu „3”, itd.. A więc ciąg można zinterpretować jako długości kwadratów jak na obrazku poniżej, oraz można opisać na nich spiralę, której każdy łuk ma promień o tej samej wartości co kwadrat, w który jest wpisany.